高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 生活的優(yōu)化問題舉例課件 新人教A版選修22

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達標(biāo)檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)知識點生活中的優(yōu)化問題問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點點落實1.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為

.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是

.3.解決優(yōu)化問題的基本思路是：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的

過程.優(yōu)化問題求函數(shù)最值數(shù)學(xué)建模答案返回類型一面積、容積的最值問題解析答案題型探究

重點難點個個擊破例1

請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，abcd是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得abcd四個點重合于圖中的點p，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，e，f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)ae＝fb＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積s(cm2)最大，則x應(yīng)取何值？當(dāng)且僅當(dāng)x＝30－x，即x＝15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積s(cm2)最大，則x＝15.(2)若廣告商要求包裝盒容積v(cm3)最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.解析答案反思與感悟反思與感悟令v′>0，得0<x<20；令v′<0，得20<x<30.1.這類問題一般用面積公式，體積公式等作等量關(guān)系，求解時應(yīng)選取合理的邊長x作自變量，并利用題目中量與量之間的關(guān)系表示出其他有關(guān)邊長，這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來了.2.這類問題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段)為正，建立x的不等式(組)求定義域.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練1

某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場.如圖，圓形廣場的圓心為o，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點m.點a為上半圓弧上一點，過點a作l的垂線，垂足為點b.市園林局計劃在△abm內(nèi)進行綠化.設(shè)△abm的面積為s(單位：m2)，∠aon＝θ(單位：弧度).(1)將s表示為θ的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積s最大時，試確定點a的位置，并求最大面積.解s′＝5000(2cos2

θ＋cos

θ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).解析答案類型二利潤最大問題解析答案例2

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為r(x)萬元，且r(x)＝(1)求年利潤w(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.解當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.反思與感悟解析答案解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有：(1)利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝

＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；所以a＝2.解析答案(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解析答案解由(1)可知，該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).解析答案于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點.所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.例3

已知a、b兩地相距200km，一只船從a地逆水行駛到b地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v＝12km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？類型三費用(用材)最省問題解析答案反思與感悟解設(shè)每小時的燃料費為y1，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2，當(dāng)v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.設(shè)全程燃料費為y，由題意，得令y′＝0，得v＝16，∴當(dāng)v0≥16，即v＝16km/h時全程燃料費最省，ymin＝32000(元)；解析答案反思與感悟當(dāng)v0<16，即v∈(8，v0]時，y′<0，即y在(8，v0]上為減函數(shù)，綜上，當(dāng)v0≥16時，v＝16km/h全程燃料費最省，為32000元；反思與感悟1.用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實際作答.2.利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用c(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：c(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式；解析答案解設(shè)隔熱層厚度為xcm，而建造費用為c1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.當(dāng)0<x<5時，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時，f′(x)>0，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.返回解析答案1.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為(

)a.4 b.6

c.4.5 d.8解析答案達標(biāo)檢測

1234解析設(shè)底面邊長為x，高為h，a2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y1＝17x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)(

)a.9千臺 b.8千臺

c.6千臺 d.3千臺解析答案1234c解析構(gòu)造利潤函數(shù)y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數(shù)y在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點.3.將一段長100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為________cm.1234解析答案1234解析答案解析設(shè)彎成圓形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100－x，設(shè)正方形與圓形的面積之和為s，12344.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；1234解析答案解設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？1234解析答案1234解根據(jù)(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘故x＝12時，f(x)取得極大值.因為f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以定價為30－12＝18，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變