數(shù)學(xué)本質(zhì)概念因數(shù)與倍數(shù)

數(shù)學(xué)本質(zhì)概念

因數(shù)與倍數(shù)指導(dǎo)教授：林宜臻老師學(xué)生：廖冠惠490021010

歐妍汝491550231因數(shù)☆因數(shù)，又稱「約數(shù)」，不限正負(fù)☆甲數(shù)能被乙數(shù)整除時(shí)，乙數(shù)就是甲數(shù)的因數(shù)☆若，則稱b、c為a的因數(shù)

Ex:15=3×5，3、5為15的因數(shù)因數(shù)☆1是任何整數(shù)的因數(shù)☆大於1的任何整數(shù)其因數(shù)中，最小的是1，最大的是它本數(shù)☆1是任何整數(shù)的因數(shù)，也是任何幾個(gè)整數(shù)的公因數(shù)

倍數(shù)☆與「因數(shù)」是相對來說

甲數(shù)是乙數(shù)的因數(shù)，乙數(shù)就是甲數(shù)的倍數(shù)

☆甲數(shù)能被乙數(shù)整除時(shí)，甲數(shù)就是乙數(shù)的倍數(shù)☆若，則稱a為b、c的倍數(shù)

Ex:15=3×5，15為3、5的倍數(shù)倍數(shù)☆0是任何數(shù)的倍數(shù)☆一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無限多個(gè)☆任何整數(shù)的倍數(shù)中，最小的是本數(shù)，最大的是無限大公因數(shù)與最大公因數(shù)☆一個(gè)整數(shù)是幾個(gè)整數(shù)共同的因數(shù)，這個(gè)整數(shù)叫做這幾個(gè)整數(shù)的「公因數(shù)」

☆最大公因數(shù)Greatestcommondivisor，縮寫gcd

Highestcommonfactor

，縮寫hcf

某幾個(gè)整數(shù)的共有因數(shù)中，最大的！☆兩個(gè)整數(shù)中，如果有一數(shù)是另一數(shù)的因數(shù)，這個(gè)數(shù)就是這兩數(shù)的最大公因數(shù)

求最大公因數(shù)的方法排列法短除法質(zhì)因數(shù)分解法輾轉(zhuǎn)相除法排列法☆比較適合初學(xué)者使用

◎求12和8的最大公因數(shù)?

12的因數(shù)有:1,2,3,4,6,12

8的因數(shù)有:1,2,4,8

其中1,2,4皆是12和8的公因數(shù)，而4即為最大公因數(shù)。

<最大公因數(shù)的寫法：（12,8）=4>

短除法☆最常被使用的方法

◎請找出12,24和60的最大公因數(shù)△將最左邊的數(shù)字相乘，就能找到最大公因數(shù)

質(zhì)因數(shù)分解法☆先將數(shù)各別做質(zhì)因數(shù)之分解，並列為標(biāo)準(zhǔn)式，再從兩標(biāo)準(zhǔn)式中找出同時(shí)存在的基數(shù)，並要取最小指數(shù)的部份

◎求12和8的最大公因數(shù)?

最大公因數(shù)：

輾轉(zhuǎn)相除法☆又名「歐幾里德演算法」☆適合用來處理數(shù)字比較大的數(shù)☆它是已知最古老的演算法,其可追溯至前300年。它首次出現(xiàn)於歐幾里德的《幾何原本》中，而在中國則可以追溯至東漢出現(xiàn)的《九章算術(shù)》。

輾轉(zhuǎn)相除法◎求1280和1620的最大公因數(shù)

1.先用1620除以1280，得到1餘340

2.再用1280除以340，得到3餘260

3.如此輾轉(zhuǎn)相除,最後整除前是除以20，20便是最大公因數(shù)

公倍數(shù)與最小公倍數(shù)☆一個(gè)數(shù)是幾個(gè)數(shù)的共同倍數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做它們的「公倍數(shù)」

☆最小公倍數(shù)Leastcommonmultiple，縮寫lcm

共有倍數(shù)中最小的一個(gè)！☆幾個(gè)整數(shù)中，如果有一個(gè)數(shù)是其餘各數(shù)的公倍數(shù)，這一個(gè)數(shù)就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

求最小公倍數(shù)的方法排列法短除法質(zhì)因數(shù)分解法排列法☆比較適合初學(xué)者使用

◎求3和4的最小公倍數(shù)?

3的倍數(shù)有:3,6,9,12,15,18,21,24…

4的倍數(shù)有:4,8,12,16,20,24…

其中12,24皆是3和4的公倍數(shù)，而12為最小公倍數(shù)。

<最小公倍數(shù)的寫法：﹝3,4﹞=12>

短除法☆最常被使用的方法

◎請找出8,12和15的最小公倍數(shù)△將在之外的數(shù)字相乘，就能找到最小公倍數(shù)

質(zhì)因數(shù)分解法☆先將數(shù)各別做質(zhì)因數(shù)之分解，並列為標(biāo)準(zhǔn)式，再從兩標(biāo)準(zhǔn)式中找出所有存在的基數(shù)，並要取各數(shù)最大指數(shù)的部份

◎求168和90的最小公倍數(shù)?

最小公倍數(shù)：

因數(shù)分解的思考大家有看過機(jī)器人嗎？有些機(jī)器人是可以分解的，有些則不行讓我們來看看以下這些機(jī)器人吧！因數(shù)分解的思考★每一個(gè)數(shù)我們都可以把它視為一個(gè)機(jī)器人?！镉械臋C(jī)器人製作比較簡單，不能分解，我們把它稱為「質(zhì)數(shù)」?！锩恳粋€(gè)「質(zhì)數(shù)」機(jī)器人，僅有兩個(gè)因數(shù)，一個(gè)是1，一個(gè)是它本身。因數(shù)分解的思考★有的機(jī)器人製作較精細(xì)，可以拆解，我們把它稱為「合數(shù)」機(jī)器人?！?/p>

例如：可以將頭與身體分開成兩部份的機(jī)器人。

因數(shù)分解的思考★有一些「合數(shù)」機(jī)器人，可以拆解的更細(xì)。

★

例如：可以將頭與身體和四肢都分開成的機(jī)器人。

因數(shù)分解的思考◎由以上我們可得知：我們所介紹的數(shù)字機(jī)器人，最少有兩個(gè)因數(shù)「1」(一個(gè))、「它本身」(機(jī)器人)。b.

不能拆解的機(jī)器人相當(dāng)於「質(zhì)數(shù)」?？梢圆鸾獾臋C(jī)器人相當(dāng)於「合數(shù)」。c.拆解的每一部份，視為一個(gè)因數(shù)：拆成兩部分則有

2+2(1，本身)=4個(gè)因數(shù)拆成三部分則有3+2=5個(gè)因數(shù)拆成四部分則有4+2=6個(gè)因數(shù)

：

：

以下類推質(zhì)數(shù)與合數(shù)是什麼?

質(zhì)數(shù):一個(gè)大於1的正整數(shù)，若只有1和本身兩個(gè)正因數(shù)，則這正整數(shù)叫做「質(zhì)數(shù)」。

20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19。

1不是質(zhì)數(shù)

質(zhì)數(shù)除了２之外，必為奇數(shù)。（換句話說，２是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶數(shù)）合數(shù):一個(gè)大於１的整數(shù)，除了１和它本身二個(gè)因數(shù)之外，還有其它因數(shù)的，叫做合數(shù)。

20以下的合數(shù)便是

4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。

一起來找質(zhì)數(shù)吧~古早古早的方法-「埃拉托散尼篩法」

生為現(xiàn)代人…-

看能不能被比它小的質(zhì)數(shù)整除，如果不能被整除，則這個(gè)數(shù)就稱為「質(zhì)數(shù)」。一起來找質(zhì)數(shù)吧~最大的質(zhì)數(shù)是什麼?

有二十五萬八千七百一十六個(gè)位數(shù)

全部印出來，要印滿八頁報(bào)紙

答案揭曉---2859733－1掐指一算即知道~讓質(zhì)數(shù)無所遁形吧!

質(zhì)數(shù)都是6的倍數(shù)加或減1的數(shù)目（除了2和3之外）

質(zhì)數(shù)好好玩~有吃又有拿1玩法一1.準(zhǔn)備１到２４的數(shù)字卡，並將全班分成二組進(jìn)行比賽。2.比賽開始，每組輪流取一張數(shù)字卡，直到數(shù)字卡取完，並將各組的牌分別排在黑板的左右兩邊。3.比賽下列幾道題目：各組派一人上臺將指定的數(shù)字卡挑出來，兩組比賽多者獲勝。玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。4.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。4.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。4.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。24d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。4.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。24d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。9.15.21.25.27.33.35e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。4.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

玩法一之續(xù)集a.質(zhì)數(shù)數(shù)字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23b.有２的因數(shù)的數(shù)字卡。2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22.24c.１張數(shù)字卡中因數(shù)最多者。24d.是奇數(shù)而且又是合數(shù)的數(shù)字卡。9.15.21.25.27.33.35e.只有３個(gè)因數(shù)的數(shù)字卡。94.將數(shù)字卡加到３０或５０，重複進(jìn)行1到3的步驟。

質(zhì)數(shù)好好玩~有吃又有拿2玩法二１.二人一組，仿照籃球遊戲「滿江紅」的玩法。規(guī)定每人基本分?jǐn)?shù)為一分。２.輪流投擲骰子，若骰子點(diǎn)數(shù)為一點(diǎn)則加一分，為二點(diǎn)則加二分，依此類推。３.當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)為質(zhì)數(shù)時(shí)，則「爆炸」，分?jǐn)?shù)再從一分算起。例：點(diǎn)數(shù)為３點(diǎn)數(shù)為２點(diǎn)數(shù)為５

（∵11為質(zhì)數(shù)，此時(shí)總分再從1分算起）４.總分先達(dá)一百分者為勝利者。質(zhì)數(shù)好好玩~有吃又有拿3玩法三<體驗(yàn)>１.

全班圍成一個(gè)大圓圈。２.輪流報(bào)數(shù)，如遇質(zhì)數(shù)不報(bào)數(shù)，改為拍手。如：

1，(拍手)，(拍手)，4，(拍手)，6，(拍手)，8，9，10，(拍手)，12......

３.為避免數(shù)字太大，不易判別是否為質(zhì)數(shù)，由１數(shù)到100即從頭數(shù)起。４.速度宜越來越快。５.凡錯(cuò)誤老淘汰，直至產(chǎn)生冠軍。P.S也可以將遊戲改為遇到3的倍數(shù).4的倍數(shù)…拍手或是站起來等。質(zhì)數(shù)好好玩~有吃又有拿4玩法四1.分組比賽，（2人或3人為佳），先決定先後順序及棋子顏色。２.利用亂數(shù)表在棋盤的方格內(nèi)填上１到９９的數(shù)字，不得重覆。３.比賽開始，棋子由起點(diǎn)前進(jìn)一格，前進(jìn)方向?yàn)榛蛉缬鲑|(zhì)數(shù)在前可跳進(jìn)更前一格。４.先將棋子移進(jìn)終點(diǎn)者為勝。５.可將圈內(nèi)數(shù)字擦掉，再填上新數(shù)字，重覆比賽。質(zhì)因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：一個(gè)質(zhì)數(shù)如果是某一個(gè)整數(shù)的因數(shù)，它是該整數(shù)的「質(zhì)因數(shù)」。例如：2是質(zhì)數(shù)，2也是20的因數(shù)，所以2是20的質(zhì)因數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)，所以１不會是任何整數(shù)的質(zhì)因數(shù)。質(zhì)因數(shù)分解：將一個(gè)整數(shù)表示成其質(zhì)因數(shù)連乘積的活動稱之為「質(zhì)因數(shù)分解」，依據(jù)算術(shù)基本定理：每一個(gè)正整數(shù)，都可以表示為其質(zhì)因數(shù)的連乘積

以60為例，60的質(zhì)因數(shù)分解紀(jì)錄可以是3×2×2×5，也可以是2×5×2×3或5×2×2×3…

短除法是質(zhì)因數(shù)分解法的簡要紀(jì)錄。1.用短除法求最大公因數(shù)：330，1055

10，35

2，7（30，105）＝3×5＝15

質(zhì)因數(shù)分解法和短除法的關(guān)係

30＝

3×5×2330，1055

10，35

2，7

105＝3×5×7

當(dāng)剩餘的兩數(shù)互質(zhì)

,就可以停止短除法了

28，12，5624，

6，28

2，

3，14

不用再做下去囉!因?yàn)?.3.14三數(shù)已經(jīng)互質(zhì)啦~耶!!!8＝

2×2×212＝

2×2×356＝

2×2×2×7綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明五年級N-2-04

能理解因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)。5-n-03能理解因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)?！褚?-n-07（幾個(gè)一數(shù)），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經(jīng)驗(yàn)，理解因數(shù)、倍數(shù)的概念。

●用列表的方式，尋找兩數(shù)的公因數(shù)與公倍數(shù)。學(xué)童應(yīng)知道兩整數(shù)的乘積一定是此兩數(shù)的公倍數(shù)。綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明六年級N-3-01

能認(rèn)識質(zhì)數(shù)、合數(shù)，並做質(zhì)因數(shù)分解。6-n-01能認(rèn)識質(zhì)數(shù)、合數(shù)，並作質(zhì)因數(shù)的分解（質(zhì)數(shù)＜20，質(zhì)因數(shù)＜10，被分解數(shù)＜100）?！裨?-n-03，製作整數(shù)的因數(shù)表時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)有一些整數(shù)不能再被分解，這些數(shù)稱為質(zhì)數(shù)，他們的因數(shù)只有1與自己而已。大於1且不是質(zhì)數(shù)的整數(shù)（或有3個(gè)以上因數(shù)的整數(shù)）稱為合數(shù)。

●在對一數(shù)做因數(shù)分解的練習(xí)裡，發(fā)現(xiàn)遇到質(zhì)數(shù)就必須停下來。同時(shí)在紀(jì)錄分解的樣式及整理中（此時(shí)的質(zhì)因數(shù)乘積不寫成指數(shù)形式），發(fā)現(xiàn)不管怎麼分解，形式都一樣。

綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明六年級N-3-01

能認(rèn)識質(zhì)數(shù)、合數(shù)，並做質(zhì)因數(shù)分解。6-n-01能認(rèn)識質(zhì)數(shù)、合數(shù)，並作質(zhì)因數(shù)的分解（質(zhì)數(shù)＜20，質(zhì)因數(shù)＜10，被分解數(shù)＜100）。●例：60＝6×10＝（2×3）×（2×5）＝2×2×3×5，或60＝15×4＝（3×5）×（2×2）＝2×2×3×5＝22×3×5等。（★）

●牽涉因數(shù)分解的細(xì)目（參見6-n-02），都應(yīng)遵循如下原則：質(zhì)因數(shù)＜10，被分解數(shù)＜100。

●讓學(xué)童熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)之倍數(shù)（小於200）。並可從活動中，讓學(xué)童掌握2、3、5的倍數(shù)規(guī)則。綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明六年級N-3-02

能理解最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)與兩數(shù)互質(zhì)的意義，並用來將分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù)。6-n-02能認(rèn)識兩數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)與兩數(shù)互質(zhì)的意義，理解最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的計(jì)算方式，並能將分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù)?！褡畲蠊驍?shù)、最小公倍數(shù)的初步教學(xué)，以列舉觀察為主，待學(xué)童熟悉其意義後，再介紹短除法，計(jì)算兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，數(shù)目大小原則參見6-n-01。

●兩數(shù)的最大公因數(shù)是1稱為互質(zhì)。注意區(qū)辨互質(zhì)與質(zhì)數(shù)的不同。例如14與15雖然都是合數(shù)，但兩者互質(zhì)。綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明七年級N-3-01

能認(rèn)識質(zhì)數(shù)、合數(shù)，並做質(zhì)因數(shù)分解。7-n-09能理解質(zhì)數(shù)的意義，並認(rèn)識100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)?！衲芾斫赓|(zhì)數(shù)的定義，並能檢驗(yàn)100以內(nèi)的任何數(shù)是否為質(zhì)數(shù)。綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明七年級N-3-02

能理解最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)與兩數(shù)互質(zhì)的意義，並用來將分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù)。7-n-10能理解因數(shù)、質(zhì)因數(shù)、倍數(shù)、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，並熟練質(zhì)因數(shù)分解的計(jì)算方法。●能由尋找正整數(shù)的正因數(shù)和正倍數(shù)的過程理解短除法、和質(zhì)因數(shù)分解的計(jì)算方法?！窠虒W(xué)以熟練質(zhì)因數(shù)分解的計(jì)算方法為主，正整數(shù)位數(shù)不宜過高?！窭?8的標(biāo)準(zhǔn)分解式：248224212263綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明七年級N-3-02

能理解最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)與兩數(shù)互質(zhì)的意義，並用來將分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù)。7-n-10能理解因數(shù)、質(zhì)因數(shù)、倍數(shù)、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，並熟練質(zhì)因數(shù)分解的計(jì)算方法。所以48=2×2×2×2×3（或2．2．2．2．3），其中2、3稱為48的質(zhì)因數(shù)，而1、2、3、4、6、8、12、16、24、48皆為48的因數(shù)，且48則為1、2、3、4、6、8、12、16、24、48的倍數(shù)?！窭呵?6，48的的最大公因數(shù)。

仿上，36的因數(shù)有1、2、3、4、6、9、12、18、36，綱要結(jié)構(gòu)年級階段能力指標(biāo)分年細(xì)目說明七年級N-3-02

能理解最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)與兩