2022-2023學(xué)年福建省永泰縣城關(guān)中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省永泰縣城關(guān)中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．觀察圖，點數(shù)所成數(shù)列的一個通項公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察為平方數(shù)數(shù)列.【詳解】由題意，依次點數(shù)為1、4、9、16，為完全平方數(shù)，故.故選：B.2．若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系求解，【詳解】由題意得，則，故選：A3．已知，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點（左、右頂點除外），若的周長為8，則（

）A．1 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】因為是橢圓上一點，所以的周長，由橢圓方程得，又，解得，所以，故選：C4．圓與圓的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因為圓變形為所以，圓的圓心為，半徑為，圓變形為圓，所以，圓的圓心為，半徑為，因為，所以，圓與圓相交，其公共點的個數(shù)為.故選：C5．設(shè)，是雙曲線C：的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C的漸近線上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出漸近線，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，由列方程解出參數(shù)，求出，即可求面積.【詳解】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，由得，又，∴的面積.故選：A6．已知等比數(shù)列單調(diào)遞增，且，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的通項公式計算和即可求解.【詳解】因為為等比數(shù)列且單調(diào)遞增，所以解得（舍去）或，所以，故選：C7．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，邊上的高所在直線方程為，得到邊所在直線的方程，再與邊上的中線所在直線方程聯(lián)立求得點C，設(shè)，由點B在AC的高線上和AB的中線上求解.【詳解】解：因為，邊上的高所在直線方程為，所以，所以邊所在直線的方程為，即.又邊上的中線所在直線方程為，由，解得，所以.設(shè)，則線段的中點，則解得即，所以所在直線的方程為.故選：D8．已知圓，直線，若上存在點，過作圓的兩條切線，切點分別為，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的性質(zhì)可確定，且當(dāng)為圓心到直線的距離時，取得最大值，由此可構(gòu)造不等式解得的范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，，，，，，，當(dāng)取得最小值，即為圓心到直線的距離時，取得最大值，存在點使得，則此時，則，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、多選題9．在同一直角坐標(biāo)系下，直線與圓的位置可能為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)圓心的位置可確定的正負(fù)，由此可確定直線斜率的正負(fù)，進(jìn)而確定可能的圖象.【詳解】對于ABC，由圓的圖象知圓心位于第一象限，，，直線斜率，則A正確，BC錯誤；對于D，由圓的圖象知圓心位于第四象限，，，直線斜率，則D正確.故選：AD.10．已知數(shù)列的前項和為，若，則當(dāng)取得最小值時，的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【分析】由題知時，；時，；時，，進(jìn)而根據(jù)題意求解即可得答案.【詳解】解：因為的解集為，所以，對于數(shù)列，當(dāng)時，；時，；時，，所以，數(shù)列的前項和為取得最小值時，或.故選：BC11．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，直線是雙曲線的一條漸近線，關(guān)于直線對稱的點為，以為直徑的圓與直線有公共點，則雙曲線的離心率的取值可能為（

）A． B． C． D．2【答案】ABC【分析】求出、到直線距離均為，求出且，則以為直徑的圓與直線有公共點，得，即可構(gòu)造齊次不等式，得出離心率范圍.【詳解】不妨設(shè)直線的方程，即，則到直線的距離，設(shè)與直線交于點，關(guān)于直線對稱的點為，則為的中點，且，，又∵為的中點，故，且，∵以為直徑的圓與直線有公共點，與直線的距離為，故，故，即.故選：ABC12．若對任意的且，總存在，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（

）A．至少存在一個等比數(shù)列不是“數(shù)列”B．至少存在兩個常數(shù)列為“數(shù)列”C．若是“數(shù)列”，則也是“數(shù)列”D．對任意的，總是“數(shù)列”【答案】ABD【分析】對于A，若，然后根據(jù)“數(shù)列”的定義判斷，對于B，由判斷，對于C，舉例判斷，對于D，設(shè)，然后根據(jù)“數(shù)列”的定義判斷.【詳解】對于，若，則是等比數(shù)列，由，得，則不是“數(shù)列”.對于，由，得或1，所以至少存在兩個常數(shù)列為“數(shù)列”.對于C，若，則是“數(shù)列”，令，設(shè)，則，故不是“數(shù)列”.對于D，設(shè)，由，得，所以對任意的總是“數(shù)列”.故選：ABD三、填空題13．已知直線：與直線：互相垂直，則它們的交點坐標(biāo)為_________.【答案】【分析】利用互相垂直求出，然后兩直線聯(lián)立即可求出交點坐標(biāo).【詳解】因為直線：與直線：互相垂直，所以，解得，聯(lián)立，解得直線和的交點坐標(biāo)為，故答案為：14．法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了猜想：是質(zhì)數(shù).這種具有美妙形式的數(shù)被稱為費馬數(shù)，因為隨著n的增大，迅速增大，所以要判斷費馬的猜想是否正確非常不容易，一直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出，才證明費馬的猜想是錯誤的.若數(shù)列滿足，則滿足的最小正整數(shù)_________.【答案】11【分析】將代入得到通項公式，然后解不等式即可.【詳解】又故答案為：1115．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為________．【答案】【分析】依題意可得，其中表示圓上的點與定點的距離的平方，求出圓心的坐標(biāo)，即可求出，從而求出的取值范圍，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】解：因為，又實數(shù)，滿足，所以點在以為圓心，半徑的圓上，又表示圓上的點與定點的距離的平方，因為，所以，即，所以，所以，所以，即.故答案為：16．已知F是橢圓C：的左焦點，M是橢圓C上任意一點，Q是圓E：上任意一點，則的最小值_________.【答案】-2【分析】設(shè)出橢圓的另一焦點，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得，轉(zhuǎn)化為三點共線能取最小值的問題，再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：橢圓方程為：，，，，又圓方程可化為：，圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)橢圓的右焦點為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，，共線時，取得等號，的最小值為，故答案為：.四、解答題17．已知直線經(jīng)過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且均不為0．(1)求直線的一般式方程；(2)若直線與直線平行，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)直線方程的截距式方程，將點代入計算即可；（2）由（1）知直線的斜率存在且不為0，所以利用兩直線平行的性質(zhì)求解出參數(shù)，注意討論即可.【詳解】（1）由題意設(shè)直線方程為：將點代入得：所以直線方程為：所以直線l的一般式方程為：（2）由（1）知直線l的斜率存在且不為0,所以若直線與直線平行則所以或當(dāng)時，直線滿足題意當(dāng)時，直線與直線重合不滿足題意所以18．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用基本量列方程求解即可；（2）由裂項相消法求和.【詳解】（1）為等差數(shù)列，則，，.∴，故，故.（2），∴19．已知是雙曲線上的兩點．(1)若是坐標(biāo)原點，直線經(jīng)過的右焦點，且，求直線的方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）討論斜率是否存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程，然后根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)點差法求解中點弦問題即可.【詳解】（1）由題知：雙曲線焦點在軸上，，所以右焦點為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時設(shè)，,,不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，，聯(lián)立方程，消去得：，所以，因為，所以解得，所以直線的方程為；（2）設(shè)，因為在雙曲線上，所以，化簡得：，所以，所以因為是中點，所以所以，即，所以直線的方程為，即20．已知橢圓C：的離心率為，短軸長為.(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B分別為橢圓C的上頂點和右頂點，P是橢圓C上異于A，B的任意一點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率可得，然后根據(jù)橢圓的短軸長即可求解；(2)根據(jù)（1）的方程，求出直線的方程，設(shè)出與直線平行的方程，當(dāng)所設(shè)直線與橢圓相切時，的面積最大，將所設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式等于零求出所設(shè)直線方程，在求出兩平行線間的距離即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，所以，又因為短軸長為，所以，，所以橢圓C的方程.（2）由（1）可知：，則，直線的方程為，也即，設(shè)與直線平行的方程為，聯(lián)立方程組，整理可得：，當(dāng)直線與橢圓相切時，的面積最大，也即滿足，解得：，因為直線的方程為，所以時，兩平行線間距離最大，兩平行線與之間的距離，所以面積的最大值為.21．在數(shù)列中，，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）利用分組求和和錯位相減求解即可.【詳解】（1）由題意可得，因為，所以，所以，所以，即，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列前項和為，則①，②，①-②得，所以，又，所以.22．已知圓W經(jīng)過三點．(1)求圓W的方程．(2)若經(jīng)過點的直線與圓W相切，求直線的方程．(3)已知直線與圓W交于M，N（異于A點）兩點，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)直線經(jīng)過定點，且該定點的坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，代入A，B，C三點坐標(biāo)列出方程組，即可求得圓的方程；（2）由圓的方程可得圓心和半徑，直線的斜率不存在時，不符合題意，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程；（3）當(dāng)直線斜率不存在時，不滿足；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與圓方程聯(lián)立，得，由此利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、直線方程，結(jié)合已知條件即可證明直線過定點．【詳解】（1）設(shè)圓W的方程為，則，解得則圓W的方程為．（2）由（1）可知，圓W的圓心坐標(biāo)為，半徑為3．若直線的斜率不存在，則直線的方程為，圓心