概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章 條件分布、相互獨立的隨機變量

三、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布一、問題的提出四、相互獨立的隨機變量第三章多維隨機變量及其分布

條件分布、相互獨立的隨機變量五、二維隨機變量的推廣二、二維離散型隨機變量的條件分布六、小結(jié)一、問題的提出

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量設(shè)有兩個隨機變量X,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.二、離散型隨機變量的條件分布實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1

設(shè)

(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的

j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…條件分布律具有概率的一切性質(zhì).i=1,2,…例1

在一汽車工廠中，一輛汽車有兩道工序是由機器人完成的.其一是緊固3只螺栓，其二是焊接2處焊點.以X表示螺栓緊固的不良的數(shù)目，以Y表示焊點焊接的不良的數(shù)目.據(jù)積累的資料知(X,Y)具有分布律:(1)求在X=1條件下，Y的條件分布律；(2)求在Y=0條件下，X的條件分布律.解由上述分布律的表格可得即在X=1條件下Y的條件分布律為同理可得在Y=0條件下X的條件分布律為例2

一射手進行射擊，擊中目標的概率為p，(0<p<1)，射擊進行到擊中目標兩次為止.以X

表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y

表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.解依題意，{Y=n}

表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.{X=m}表示首次擊中目標時射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合分布律為n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為

pP{X=m,Y=n}=？為求條件分布律，先求邊緣分布律.X的邊緣分布律是：m=1,2,…Y的邊緣分布律是：n=2,3,…于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布律邊緣分布律n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時，三、連續(xù)型隨機變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.定義2設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為

f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使

的x,稱為已知

X=x的條件下，Y的條件概率密度.為在已知

條件X=x下，Y的條件分布函數(shù).稱定義2為在已知

條件Y=y下，X的條件分布函數(shù).稱同樣，對一切使

的

y,定義為已知

Y=y的條件下，X的條件概率密度.例3

設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解

X的邊緣密度為

當(dāng)|x|<1時,有即當(dāng)|x|<1時,有例4

設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度四、相互獨立的隨機變量隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B獨立.

設(shè)

X,Y是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨立

.兩隨機變量獨立的定義是：用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.其中是X,Y的聯(lián)合概率密度，幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨立.對任意的x,y,

有若(X,Y)是連續(xù)型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：分別是X的邊緣概率密度和Y

的邊緣概率密度.在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.若(X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有例5

設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解x>0

即：對一切x,y,均有：故X,Y

獨立y>0若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨立.例6一負責(zé)人到達辦公室的時間均勻分布在8~12時,他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在7~9時,設(shè)他們兩人到達的時間相互獨立,求他們到達辦公室的時間相差不超過5分鐘的概率.解設(shè)X為負責(zé)人到達時刻,Y為秘書到達時刻由假設(shè)X和Y的概率密度為

由于X和Y相互獨立，得(X,Y)的概率密度為