第五周第二次課-分塊矩陣和矩陣的秩

幾何與代數(shù)

主講:王小六

東南大學(xué)線性代數(shù)課程

第二章矩陣第三節(jié)

分塊矩陣回顧：

方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)……?第二章矩陣§2.3分塊矩陣一.基本概念1001201045001763210065400§2.3分塊矩陣1001201045001763210065400=E3

BC

O2分塊矩陣二.基本運(yùn)算分塊加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=第二章矩陣§2.3分塊矩陣設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,為常數(shù).A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.則A=2.分塊數(shù)乘第二章矩陣§2.3分塊矩陣設(shè)矩陣A=A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.則AT=3.分塊轉(zhuǎn)置第二章矩陣§2.3分塊矩陣3.分塊乘法設(shè)A為ml矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1qA21

A22…A2q

…………Ap1

Ap2…Apq,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bq1

Bq2…Bqr,其中Ai1,Ai2,…,Aiq的列數(shù)分別與B1j,B2j,…,Bqj的行數(shù)相等.(i=1,2,…,p;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cp1

Cp2…Cpr,其中Cij=AikBkj,則AB=k=1q第二章矩陣§2.3分塊矩陣k1k2…kq

k1k2…kq10

1012011041112

0B=,求AB.10

00010012101101例.設(shè)A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11EB21

B22其中E=,10011211A1=,1012B11=,10

11B21=,412

0B22=.于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22,B11

EA1B11+B21

A1+B22

=第二章矩陣§2.3分塊矩陣于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22B11

EA1B11+B21

A1+B22

=,而A1B11=121110123402=,A1B11+B21=340210

11+A1+B22=1211412

0+2411=,333

1=.B11

EA1B11+B21

A1+B22

從而AB==.10

1012012

4331

13

1第二章矩陣§2.3分塊矩陣二.常用的分塊法1.將給定矩陣分為2×2的分塊矩陣?yán)僭O(shè)A,B分別是s階和t階可逆矩陣，證明：矩陣可逆，并求其逆矩陣。M=AOCB第二章矩陣§2.3分塊矩陣A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,稱為分塊對(duì)角矩陣(或準(zhǔn)對(duì)角矩陣),其中A1,A2,…,As都是方陣.2.分塊對(duì)角矩陣?yán)?100002100002000001200034.若A1

,A2,…，As都可逆，則A是否可逆？第二章矩陣§2.3分塊矩陣A=[1,2,…,

n].3.A=a11

a21

am1

a12

a22

am2

……

…a1n

a2n

amn

…………,1=,a11

a21

am1

…

n=,a1n

a2n

amn

…

2=,a12

a22

am2

…第二章矩陣§2.3分塊矩陣β1

=[a11,

a12,…,

a1n],β1

β2…βmA=.4.a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

…………

am1

am2…amn

A=β2

=[a21,

a22,

…,

a2n],βm

=[am1,

am2,

…,

amn],…第二章矩陣§2.3分塊矩陣?yán)?/p>

假設(shè)A,B分別是s×n和n×t矩陣。利用下列分法寫出乘積AB。(1)將A的每一行視作一塊，將B視作一塊；(2)將A的每個(gè)元素視作一塊，將B的每一行視作一塊；(3)將A視作一塊，將B的每一列視作一塊；(4)將A的每一列視作一塊，將B的每個(gè)元素視作一塊；第二章矩陣§2.3分塊矩陣?yán)僭O(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量，若A2x+3Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩陣C，使得AB=BC.第二章矩陣§2.3分塊矩陣特別地，若取

0

…010…0η=:=ei,那么Aei=

則有

Aη=x11+x22+…+xn

n.

如果A=[1,2,…,

n]，

x1

x2…xnη=.第i個(gè)分量i特別地，若取

ξ

=[0,…,0,1,0,…,0]:=εi,則εiA=

則有

ξA=x1β1+x2β2+…+xnβn.

如果

ξ

=[x1,x2,…,xn]，

β1

β2…βnA=.第i個(gè)分量βi例假設(shè)A=(aij)4×5,B=.求一對(duì)矩陣C,D,使得B=CAD.a22a24a25a42a44a45

第二章矩陣§2.3分塊矩陣

第二章矩陣第四節(jié)

矩陣的秩§2.4矩陣的秩問題：在求解線性方程組時(shí)，增廣矩陣(A,b)

階梯形矩陣(A1,b1),

A1

和(A1,b1)的非零行數(shù)與初等行變換有關(guān)嗎？初等行變換基本概念1.k階子式這樣的子式共有

個(gè).k階子式mnk行k列第二章矩陣§2.4矩陣的秩例如:A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的1階子式有34個(gè):A的2階子式有36個(gè):0413,0112,4132,20

01,24

03,21

02,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,第二章矩陣§2.4矩陣的秩2041

01324082的3階子式有14個(gè):204

013408201

012402241

032482041132082====0.第二章矩陣§2.4矩陣的秩2.矩陣A的秩(rank)記為r(A)或秩(A)

r(A)=r

A中至少有一個(gè)r階子式D不為零，A的所有更高階子式(若存在)等于零.

204101324082而3階子式全為0,因此它的秩為2.例如有一個(gè)2階子式20010,第二章矩陣§2.4矩陣的秩第二章矩陣§2.4矩陣的秩注:(1)零矩陣的秩規(guī)定為0.第二章矩陣§2.4矩陣的秩(2)n階方陣A的秩等于n

A是可逆陣.(3)矩陣As×t的秩滿足：r(A)≤min(s,t)如果矩陣的秩等于它的行數(shù)，則稱是行滿秩的；類似有列滿秩的概念.可逆矩陣也稱為滿秩矩陣注:(4)r(AT)=r(A).(5)如果A的每一個(gè)k階子式都等于零，則(6)如果A的有一個(gè)k階子式不等于零，則r(A)<k.r(A)≥k.問題:假若一個(gè)56的矩陣中所有3階子式都等于零,那么它的4階子式中會(huì)出現(xiàn)非零的嗎?答:絕對(duì)不會(huì)!

因?yàn)槊總€(gè)4階子式都可以按行展開,通過一些3階子式的組合得到.第二章矩陣§2.4矩陣的秩命題2.1r(A)=r

當(dāng)且僅當(dāng)A

中存在非零的r階子式，但A中所有r+1階子式（如果存在的話）都等于零.第二章矩陣§2.4矩陣的秩例

120501

2474

1015316414的秩=?注:對(duì)于一個(gè)階數(shù)很高且比較復(fù)雜的矩陣來說,

按照定義去求它的秩是一件很麻煩的事.第二章矩陣§2.4矩陣的秩4

08290

30120

004700000例.的秩為

.3注:

可以證明

命題2.2

階梯形矩陣的秩等于其非零行的數(shù)目.

而任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行

變換化為階梯形矩陣.初等行變換是否改變

矩陣的秩？第二章矩陣§2.4矩陣的秩二.初等變換和矩陣的秩引理2.2若矩陣A經(jīng)過初等行變換變成B，則r(A)≤r(B).引理2.3若矩陣AB，則BA.初等行變換初等行變換由引理2.2和引理2.3，得命題2.3若矩陣AB，則r(A)=r(B).

初等行變換例

120501

2474

101531