2022-2023學(xué)年江西省名校高一年級上冊學(xué)期第三次大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省名校高一上學(xué)期第三次大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式確定集合后再求交集即可．【詳解】由題意，，所以．故選：A．2．已知集合A，B，C，其中A有10個元素，C有15個元素，則滿足的集合B的個數(shù)為（

）A．32 B．31 C．30 D．5【答案】C【分析】由題意，集合B的個數(shù)可以看成由個元素構(gòu)成的集合的非空真子集的個數(shù)，從而可得出答案.【詳解】解：因為集合A，B，C，其中A有10個元素，C有15個元素，且，所以集合B的個數(shù)可以看成由個元素構(gòu)成的集合的非空真子集的個數(shù)，有個，所以集合B的個數(shù)為30.故選：C.3．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的根式部分得，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，故，故定義域為.故選：D4．已知關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，變換得到，令，確定函數(shù)為偶函數(shù)，故，計算得到答案.【詳解】由題意得，則，令，則上式可化為，令，則，故為偶函數(shù)，關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，即函數(shù)的圖象與有唯一交點，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標(biāo)為0，故．故選：C5．函數(shù)部分圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由函數(shù)的奇偶性排除部分選項，然后再由的解及解的個數(shù)判斷.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除AD，令，得，且只有一個解，排除C，故選：B6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可【詳解】，，，，故選：A.7．牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度．若℃，現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃，大約還需要（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．9分鐘 B．10分鐘C．11分鐘 D．12分鐘【答案】B【分析】根據(jù)已知條件代入公式計算可得，再把該值代入，利用對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式即可求解.【詳解】解：由題意，℃，由一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，可得，所以，又水溫從75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水溫從75℃降至45℃，大約還需要10分鐘.故選：B.8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，，，，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】D【分析】先畫出分段函數(shù)圖像，確定，，，的范圍，由結(jié)合對數(shù)運算可得，與分別利用均值不等式求最小值，確認取等條件相同，即可得最小值.【詳解】函數(shù)圖像如圖所示，，，，，由，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.所以的最小值為.故選：D二、多選題9．下列命題為真命題的是（

）A．不論取何實數(shù)，命題“”為真命題B．不論取何實數(shù)，命題：“二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”為真命題C．“四邊形的對角線垂直且相等”是“四邊形是正方形”的充分不必要條件D．“”是“”的既不充分也不必要條件【答案】ABD【分析】結(jié)合一元二次函數(shù)和一元二次不等式的性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)充分條件、必要條件的概念可判斷CD.【詳解】對于，關(guān)于的一元二次方程滿足，即有不等實根，顯然，即，因此不等式的解集為，當(dāng)時，，故A正確.對于，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，即軸，故B正確.對于，對角線垂直且相等的四邊形不一定是正方形可能為菱形，反之成立.故錯誤.對于，令，則，即充分性不成立，令，則，而，故必要性也不成立，即“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：ABD.10．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（

）A．B．為奇函數(shù)C．D．的值域為【答案】AC【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的周期的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于，故正確.對于，取.1，則，而，故，所以不為奇函數(shù)，故B錯誤.對于，故C正確.對于，由可知，為周期函數(shù)，且周期為1，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則的值域為，故D錯誤，故選：AC【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題中定義進行求解是解題的關(guān)鍵.11．已知函數(shù).則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)的定義域上單調(diào)遞減 D．若實數(shù)，滿足，則【答案】AB【分析】利用函數(shù)解析式，求解可得可判斷A，利用可判斷B，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱中心可判斷D.【詳解】對于A選項，對任意的，，所以函數(shù)的定義域為，又因為，所以，故A正確；對于B選項，因為函數(shù)滿足，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C選項，對于函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，因為函數(shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故C不正確；對于D選項，因為實數(shù)a，b滿足，則，可得，即，故D錯誤.故選：AB.12．已知函數(shù)則以下判斷正確的是（

）A．若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點D．函數(shù)的圖象與直線有且只有一個公共點【答案】AC【分析】作出的圖像如圖所示，B可直接由圖像或二次函數(shù)單調(diào)性判斷；AC零點及交點問題均可以通過與交點個數(shù)判斷；D通過圖像或者聯(lián)立方程求解即可判斷.【詳解】當(dāng)，故的圖像如圖所示，對AC，函數(shù)有3個零點，相當(dāng)于與有3個交點，故的取值范圍是，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，AC對；對B，函數(shù)在上先增后減，B錯；對D，如圖所示，聯(lián)立可得解得或，由圖右側(cè)一定有一個交點，故函數(shù)的圖象與直線不止一個公共點，D錯.故選：AC三、填空題13．集合，，若，則實數(shù)的值組成的集合為______．【答案】【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由，通過分類討論求解實數(shù)的值.【詳解】解得，由，∴集合，，且，∴或或，時，方程沒有實數(shù)根，∴；時，方程的解為，∴；時，不成立，∴．所以實數(shù)組成的集合為．故答案為：14．已知冪函數(shù)的圖象過點，且當(dāng)時，恒有，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，代入已知點，建立方程，解得函數(shù)解析式，結(jié)合其單調(diào)性，解決不等式恒成立問題，可得答案.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以，所以在上恒成立，只需，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：.15．已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若對于任意，不等式恒成立，則的最小值是______.【答案】【分析】先利用函數(shù)的解析式和奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的解析式可知，然后利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，然后參變分離求最值即可.【詳解】解：由題意得在上單調(diào)遞增，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，所以，得，即恒成立.因為，所以，即的最小值是.故答案為：.16．已知函數(shù)若方程恰有四個不同的實根，則的取值范圍是______.【答案】【分析】方程分離參數(shù)后，畫出的的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】∵恰有四個不同的實根，即：∴和恰有四個不同的交點，又∵當(dāng)時，當(dāng)時，，∴如圖所示，又∵，，，∴故答案為：.四、解答題17．已知集合，．(1)若，均有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，設(shè)，，求證：是成立的必要條件．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意有，分和兩種類型討論.（2）命題成立，則為假命題，先求出為真命題的條件，就可得到為假命題的條件.【詳解】（1）．因為，均有，所以．當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)時，，由，有或，解得或，所以．綜上，或，即的取值范圍是．（2）證明：若，為真命題，則，為假命題．先求，為真命題時的范圍，因為，所以，即．由，，得．則，解得，所以．因為，為假命題，所以．綜上，若，則是成立的必要條件．18．已知函數(shù)的定義域為，對任意，都有，且當(dāng)時，.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）令代入方程得，令代入方程得即可證；（2）由定義法先證函數(shù)在單調(diào)遞增，恒成立等價于，由單調(diào)性及奇偶性得，故恒成立等價于，恒成立，等價于恒成立.【詳解】（1）證明：令得，得，故是奇函數(shù)；（2）設(shè)任意且，，，且當(dāng)時，，故，故函數(shù)在單調(diào)遞增，由函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在單調(diào)遞增.對任意的，恒成立，即，由函數(shù)單調(diào)性得，故對任意恒成立.設(shè)，，要使恒成立，則，故或，所以實數(shù)的取值范圍為.19．為了進一步增強市場競爭力，某企業(yè)計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某部手機.經(jīng)過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)（單位：千部）手機，需另投入可變成本萬元，且由市場調(diào)研知，每部手機售價萬元，且全年生產(chǎn)的手機當(dāng)年能全部銷售完.（利潤=銷售額－固定成本－可變成本）(1)求2023年的利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：千部）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2023年的年產(chǎn)量為多少（單位：千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)90，8070萬元.【分析】（1）代入分段函數(shù)化簡即可.（2）分別求分段函數(shù)的最值，取最大值即可.【詳解】（1）（2），當(dāng)時，；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故當(dāng)產(chǎn)量為90千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為8070萬元20．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值（1）求?的值；（2）設(shè)①若時，，求實數(shù)的取值范圍；②若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）由二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值，從而可求得；（2）①不等式分離參數(shù)得，可換元設(shè)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值，進而得的范圍；②化簡方程，換元設(shè)和，轉(zhuǎn)化關(guān)于的二次方程，由根的分布知識求解．【詳解】（1），對稱軸是，又，所以在上單調(diào)遞增，則，解得．（2）由（1），，①即，，令，記，，，即的取值范圍是.②由得，即，且，令，則方程化為，又方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖象可知，有兩個根且或，記，則或，解得．故的取值范圍是．21．已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）若對任意都有成立，求t的取值范圍；（3）若存在，且，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的定義和條件，求出k的值之后再驗證是否滿足函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，可以判斷出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，之后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值處理；（3）假設(shè)存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由在上遞增，方程在上有兩個不等實根，可得的不等式組，解不等式即可得到實數(shù)的取值范圍，即可得到判斷存在性.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即對定義域內(nèi)任意恒成立，所以，即，顯然，又當(dāng)時，的定義域關(guān)于原點對稱．所以為滿足題意的值．（2）由（1）知，其定義域為，可以判斷出在上為增函數(shù)．所以在上為增函數(shù)，對任意都有成立，則有，所以，所以，所以求t的取值范圍為；（3）由（2）知在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上的值域為，所以，且，所以，即是方程的兩實根，

問題等價于方程在上有兩個不等實根，令，對稱軸則，即，解得．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化以及一元二次方程在給定區(qū)間上解的問題，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義確定函數(shù)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.22．已知，函數(shù).(1)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；(2)設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的