《正弦定理》設(shè)計賴啟煥

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計福州金山中學(xué)賴起煥一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修5第一章《解三角形》的內(nèi)容,本課內(nèi)容——正弦定理的探究證明和簡單應(yīng)用顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛，起到承上啟下的作用。對于正弦定理，首先讓學(xué)生回憶任意三角形中有“大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能得到這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然地引出三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。這樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。二、學(xué)情分析

知識層面：初中學(xué)生已有三角形的定性關(guān)系，在高中階段學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、和運算的有關(guān)知識。能力層面：高中生思維活躍,求知欲旺盛,已經(jīng)具有較強的概括能力，但分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想仍需強化。情感層面：學(xué)生對數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但合作交流有所不足。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：(1)發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，掌握證明正弦定理的方法；(2)簡單運用正弦定理解三角形。2.過程與方法：(1)體會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；(2)體會分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。3.情感、態(tài)度與價值觀：(1)體會由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識事物規(guī)律；(2)體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)中的對稱美。四、教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：1.正弦定理的形式和證明.

2.正弦定理的運用教學(xué)難點：1.正弦定理中鈍角三角形的證明2.正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個數(shù)五、教學(xué)過程教學(xué)用具：希沃平臺，白板，多媒體（幾何畫板）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖或備注回顧就知引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，從角與角，邊與邊，邊與角三方面復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)正弦定理做好鋪墊。角的關(guān)系：三角形內(nèi)角和為180?邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊邊角關(guān)系：大角對大邊，小角對小邊三角函數(shù)（sincostan）請學(xué)生回答以下三個問題：1）三角形中三個角之間有什么關(guān)系呢？2）三角形中邊與邊之間有什么關(guān)系呢？3）三角形中邊與角之間又有哪些對應(yīng)關(guān)系？引出課題：定量研究三角形中邊角關(guān)系回顧復(fù)習(xí)已有知識，引出課題，為解決“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形”問題做理論鋪墊,使用PPT，和白板的批注功能。創(chuàng)設(shè)情境提出問題創(chuàng)設(shè)情境提出問題：高二（8）班的三角形模型壞了，只剩下如圖所示的一部分，班長小王想要修好這個模型，他量得∠A=47?，∠C=80?，已知AC的長為1m,但他不知道AB，BC的長度，你能幫助他解決這個問題嗎？引導(dǎo)學(xué)生理清題意，研究設(shè)計方案，并畫出圖形，探索解決問題的方法．

師：角B的度數(shù)是多少呢？生：180-47-80=53師：在三角形中，我們常用的求長度的方法有哪些？生：勾股定理（直角三角形→作高→三角函數(shù)）創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活情境，提出問題，激發(fā)學(xué)生興趣引出課題，使用PPT，和幾何畫板。解決問題引導(dǎo)學(xué)生作高，利用直角三角形，用兩種方法表示高，列出方程，求解，同時得到a/sinA=b/sinB，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索。師：作CD垂直AB于D，則CD/BC=sinBCD/AC=sinA即CD=asinBCD=bsinA已知角A和B，已知b=1，我們可以列方程求得a，請同學(xué)們自己列方程，利用計算器求解。生：asinB=bsinAb=1即a=sinA/sinBa=sin47?/sin53?≈師：好的，我們利用高CD，求得BC的長度。那么能否求出AB的長呢？生：作高BE。作AE垂直AC于E，則BE/BC=sinCBE/AB=sinA即AE=bsinCAE=csinBbsinC=csinB即c=bsinC/sinB=sin80?/sin53?≈師：很好。我們再來研究一下這兩個等式asinB=bsinAbsinC=csinB得到a即a在這個銳角三角形中，這個等式恒成立，但是否在任意的三角形中等式都成立呢？讓我們一起來探討一下。方案一：利用幾何畫板工具，改變?nèi)切涡螤?，直觀演示不管三角形怎么變，都有上式成立；方案二：幾何證明直接從解決問題入手，教師先加以引導(dǎo)，有指向性的引導(dǎo)學(xué)生，利用做高法解決實際問題，使用白板的批注功能進(jìn)行講解。引出探究課題，提出問題，引發(fā)懸念。利用幾何畫板工具，改變?nèi)切涡螤?，直觀演示考察直角三角形的邊角關(guān)系?？紤]直角三角形請學(xué)生填寫以下表格：直角三角形中證明較為簡單，請學(xué)生自己動手，加以驗證。使用白板的批注功能填表。三角形a/sinAb/sinBc/sinC直角三角形填空：ccc證明過程:sinA=a正弦定理及其推導(dǎo)鈍角三角形中

作CDAB于D，有師：在銳角三角形和直角三角形中我們已經(jīng)得到A都成立，那么在鈍角三角形中呢？若成立，試證明。生：aaa師：在三角函數(shù)中，利用誘導(dǎo)公式，sinB生：相等師：那么在鈍角三角形中a依然成立所以，在任意三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即a這就是正弦定理將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，適當(dāng)降低難度，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流尋求問題結(jié)論和解決辦法，使用白板的批注功能。

定理形成深化概念思考：直接應(yīng)用正弦定理至少需要已知三角形中的幾個元素才能解三角形？從方程的角度看問題，知三求一師：利用正弦定理，我們至少需要幾個元素才能解三角形？生：三個從引入部分解決實際問題入手，學(xué)生已經(jīng)體會利用正弦定理和方程思想出發(fā)．從對稱的角度看正弦定理，加強學(xué)生對正弦定理的理解。考慮正弦定理的變形情況。a=ksinAb=ksinBc=ksinC正弦定理a比例系數(shù)k=？師：直角三角形中，k等于斜邊的長度，同時直角三角形外接圓的直徑也等于斜邊，那k與三角形外界圓有關(guān)系嗎？讓我們來看一下這個實驗。利用幾何畫板工具，改變R的大小，或改變?nèi)切涡螤睿l(fā)現(xiàn)k=2R師：請同學(xué)們回去自己利用三角形外接圓證明一下正弦定理，并證明k=2R是學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理中的對稱美，加強記憶和理解，探討比例系數(shù)k值，加深問題深度，啟發(fā)學(xué)生自主探索其他證明方法。此處為多媒體與數(shù)學(xué)學(xué)科的融合點，利用幾何畫板工具，改變R的大小，或改變?nèi)切涡螤睢?/p>

范例教學(xué)

（１）正弦定理可以用于解決已知兩角和任意一邊求另兩邊和一角的問題．例１：∠A=60°，∠B=45°，解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°由正弦定理，得b=c=（２）正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題..變式教學(xué)：a=10改為c=10例2a=3，b=4，∠A=30°，求其他邊和角。解：由正弦定理得sin所以∠B≈41.8°或∠B≈138.2°當(dāng)∠B≈41.8°時∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°c=asin當(dāng)∠B≈138.2°∠C≈180°-30°-138.2°=11.8°c=變式訓(xùn)練：1.在△ABC中，∠B=135°，a=2，b=1，求A解：（大邊對大角，無解）sinA=√2>12.在△ABC中，∠A=45°，a=2，b=√2，求B解：3.在△ABC中，∠B=45°，a=2，b=√2，求A解：4.在△ABC中，∠B=45°，a=√3，b=√2，求A解：A=60°或120°解決教學(xué)難點：教師畫圖講解引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：(1)已知兩角一邊，解三角形，解的情況唯一；(2)已知兩邊及一邊對角，解三角形，何時有一解？兩解？何時無法構(gòu)成三角形？

教師利用希沃平臺的白板功能進(jìn)行演示講解。師：請同學(xué)們以小組為單位，分別解決這四道變式訓(xùn)練題。學(xué)生完成練習(xí)后，教師利用希沃平臺，將典型的幾種答案拍照上傳，在平臺上同時對比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實時進(jìn)行批注講評，指出學(xué)生面對多解性問題時的錯誤。師生共同填表總結(jié)：掌握正弦定理在解三角形問題中的應(yīng)用，并學(xué)會通過作圖法判定解的情況．解決教學(xué)難點.教師利用希沃平臺的白板功能進(jìn)行演示講解通過小組合作的方式，提高學(xué)生合作能力，共同探討有助于學(xué)生互相學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題。教師利用希沃平臺，將典型的幾種答案拍照上傳，在平臺上同時對比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實時進(jìn)行批注講評，指出學(xué)生面對多解性問題時的錯誤。解決教學(xué)難點，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)，分類討論以及數(shù)形結(jié)合的能力。利用白板功能實時進(jìn)行批注講評

歸納小結(jié)（１）正弦定理：（２）正弦定理的運用師生共同總結(jié)(1)正弦定理形式(2)解決兩類問題(3)結(jié)合圖像解決三角形中的問題鞏固知識，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力。使用PPT

課后作業(yè)(1)課本練習(xí)A1、2(2)用其它方法證明正弦定理（提示：嘗試?yán)脠A內(nèi)接三角形）學(xué)生課后完成.鞏固知識，培養(yǎng)自主探究能力．六、教學(xué)反思本節(jié)課是正弦、余弦定理教學(xué)的第一街課，重點是正弦定理的探究原因如下：教學(xué)的目的不僅是傳授知識與技能，更主要的是再此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的能力，特別是思維能力；素材適合于學(xué)生教學(xué)“觀察與分析”，“歸納與猜想”，“實驗與證明”等思維能力的訓(xùn)練，正弦定理的探究包含利用向量方法證明定理。缺點是，課堂思維容量大，教學(xué)進(jìn)度受學(xué)生的思維水平的影響；教學(xué)中容易出現(xiàn)突發(fā)事件影響教學(xué)進(jìn)度；故要求教師靈活處理隨機事件的能力高，在組織教學(xué)中，采取“讓學(xué)生走上講臺”、“讓學(xué)生自學(xué)課本”、“師生、生生討論”等模式，