等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)課件

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)提煉】1.數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)定義：對(duì)于數(shù)列{an}，一般地，稱_____________為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(2)表示：常用符號(hào)Sn表示，即Sn=_____________.a1+a2+a3+…+ana1+a2+a3+…+an2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式應(yīng)用條件公式首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)___________首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)______________【即時(shí)小測(cè)】1.思考下列問題(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則a1與S1有什么關(guān)系？提示：a1=S1.(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式(包含首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù))是關(guān)于n的二次函數(shù)嗎？提示：不一定.當(dāng)d≠0時(shí)，Sn=na1+d=n2+(a1-)n是關(guān)于n的二次函數(shù)；當(dāng)d=0時(shí)，Sn=na1=a1n是關(guān)于n的一次函數(shù).2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+2，則a10的值為(

)A.19

B.20

C.100

D.102【解析】選A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19.3.等差數(shù)列{an}中首項(xiàng)a1=1，公差d=-2，則前10項(xiàng)的和S10=(

)A.-20B.-40

C.-60

D.-80【解析】選D.S10=10×1+×(-2)=-80.4.等差數(shù)列{an}中，若a1=-2，a9=12，則S9=______.【解析】S9==45.答案：455.2+6+10+14+…+(4n+2)+(4n+6)=______

【解析】數(shù)列2，6，10，14，…，4n+2，4n+6是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，共有n+2項(xiàng).所以原式==2n2+8n+8.答案：2n2+8n+8【知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式觀察圖形，回答下列問題：?jiǎn)栴}1：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩種形式中，一共涉及哪幾個(gè)量？怎樣由已知量求未知量？問題2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩種形式分別適合在什么情況下使用？【總結(jié)提升】1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn)(1)兩個(gè)公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，通項(xiàng)和前n項(xiàng)和.(2)依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”.(3)當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用Sn=較為簡(jiǎn)便；當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用Sn=na1+較好.知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：?jiǎn)栴}1：當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an有怎樣的關(guān)系？問題2：數(shù)列的通項(xiàng)公式何時(shí)采用分段形式？【總結(jié)提升】1.an與Sn的關(guān)系當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1，所以Sn-Sn-1=an.當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1.綜上可知，an=2.對(duì)an與Sn的關(guān)系的兩點(diǎn)說明(1)這一關(guān)系對(duì)任何數(shù)列都適用.(2)若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1與利用a1=S1求得的a1相同，則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)也適合n=1的情況，數(shù)列的通項(xiàng)公式用an=Sn-Sn-1表示.若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1與利用a1=S1求得的a1不相同，則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)不適合n=1的情況，數(shù)列的通項(xiàng)公式采用分段形式即an=類型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算【典例】1.(全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a5=3，則S5=(

)A.5

B.7

C.9

D.112.(安徽高考)已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1+(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________.3.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的有關(guān)未知數(shù)：(1)d=，an=，Sn=-，求a1及n.(2)a1=，a15=-，Sn=-5，求n和d.【解題探究】1.典例1中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算可以利用等差數(shù)列的什么性質(zhì)？提示：利用等差數(shù)列的性質(zhì)得2a3=a1+a5，所以S5=5a3，即可求解.2.典例2中，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若是，其首項(xiàng)和公差分別是什么？提示：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為.3.典例3中，解題的依據(jù)是什么？用到什么數(shù)學(xué)思想？提示：依據(jù)是以下三個(gè)公式an=a1+(n-1)d，Sn=，Sn=na1+d.解題基本思想是方程的思想.【解析】1.選A.因?yàn)閍1+a3+a5=3a3=3，所以a3=1，所以S5==5a3=5.2.當(dāng)n≥2時(shí)，an=an-1+且a2=a1+，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差是的等差數(shù)列，所以S9=9×1+×=9+18=27.答案：273.(1)方法一：由題意得由①得a1=2-，代入②整理得n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)，所以a1=2-=-3.方法二：a1=an-(n-1)d=-(n-1)×=2-，所以Sn=整理得n2-7n-30=0，下同方法一.(2)因?yàn)閍15=+(15-1)d=-，所以d=-.又Sn=na1+·d=-5，解得n=15，或n=-4(舍).【方法技巧】等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.類型二an與Sn關(guān)系的應(yīng)用【典例】數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足Sn=(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解題探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，為求an應(yīng)整理為何種形式？提示：先根據(jù)Sn=得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作差消去Sn.應(yīng)整理為an+1-an=f(n)或=g(n)的形式.【解析】由Sn=得4Sn=(an+1)2①所以4Sn+1=(an+1+1)2②②-①得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2，4an+1=+2an+1--2an，(-)-2(an+1+an)=0，(an+1+an)(an+1-an-2)=0，因?yàn)閍n>0，所以an+1-an=2，又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1，故{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an=2n-1.【延伸探究】1.(變換條件)本例中的條件Sn=改為log2(Sn+1)=n+1，其他條件不變，結(jié)果又如何？【解析】因?yàn)閘og2(Sn+1)=n+1，所以Sn=2n+1-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=22-1=3不適合上式，所以an=2.(改變問法)本例條件不變，試證明數(shù)列是等差數(shù)列.【證明】由已知得2=an+1，所以2=Sn-Sn-1+1(n≥2)，化簡(jiǎn)可得(-1)2=Sn-1，(+-1)(--1)=0，又S1=1，{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以-=1(n≥2)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.3.(變換條件、改變問法)本例條件Sn=改為Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，其他條件不變，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【證明】因?yàn)镾n2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，n∈N*，所以令n=1得S12-(-1)·S1-6=0，即a12+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3，由于數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，所以a1=2.由Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，由數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)可得Sn-n2-n=0，即Sn=n2+n，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n，當(dāng)n=1時(shí)，a1=2也適合上式，所以an=2n，n∈N*因?yàn)閍n+1-an=2(n+1)-2n=2，n∈N*，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.【方法技巧】1.由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟第一步：令n=1，則a1=S1，求得a1；第二步：令n≥2，則an=Sn-Sn-1；第三步：驗(yàn)證a1與an的關(guān)系：(1)若a1適合an，則an=Sn-Sn-1.(2)若a1不適合an，則an=2.Sn與an的關(guān)系式的應(yīng)用(1)“和”變“項(xiàng)”.首先根據(jù)題目條件，得到新式(與條件相鄰)，然后作差將“和”轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”之間的關(guān)系，最后求通項(xiàng)公式.(2)“項(xiàng)”變“和”.首先將an轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-1，得到Sn與Sn-1的關(guān)系式，然后求Sn.類型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題【典例】1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<-1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為________.2.(長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通項(xiàng)an.(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.【解題探究】1.典例1中，如何判斷a6與a7的符號(hào)？進(jìn)一步可判斷前多少項(xiàng)和的符號(hào)？提示：由Sn有最大值可知公差d<0，所以a6>a7，所以a6>0，a7<0，進(jìn)一步可判斷S11>0，S12<0.2.典例2中，(1)關(guān)鍵是計(jì)算等差數(shù)列的哪些關(guān)鍵量？(2)求Sn的最大值的基本方法是什么？提示：(1)關(guān)鍵是計(jì)算等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.(2)求Sn的最大值的基本方法：①分析項(xiàng)的符號(hào)變化規(guī)律；②類比二次函數(shù)求最值的方法.【解析】1.因?yàn)?lt;-1，且Sn有最大值，所以公差d<0，a6>0，a7<0，a6+a7<0，所以當(dāng)1≤n≤6時(shí)，an>0；當(dāng)n≥7時(shí)，an<0，S1<S2<S3<…<S6>S7>S8>…，又因?yàn)镾11==11a6>0，S12==6(a6+a7)<0，所以使Sn>0的n的最大值為11.答案：112.(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)方法一：因?yàn)閍n=-2n+5=2(-n)，所以當(dāng)1≤n≤2時(shí)，an>0；當(dāng)n≥3時(shí)，an<0，所以n=2時(shí)，Sn取到最大值4.方法二：Sn=na1