測量不確定度基礎(chǔ)知識(shí)課件

測量不確定度基礎(chǔ)知識(shí)一.隨機(jī)變量的幾個(gè)重要特征值隨機(jī)變量的概率分布對(duì)隨機(jī)變量的可能值及其出現(xiàn)的概率作出全面描述，但對(duì)于測量而言，關(guān)心的只是測量結(jié)果最佳值和分散性，即隨機(jī)變量的重要特征值——數(shù)學(xué)期望和散度（方差）1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量X所有可能值與其相應(yīng)概率的乘積之和，稱數(shù)學(xué)期望。（理論真值）

應(yīng)用于測量，可以理解為：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是所有可能值與其相應(yīng)概率為權(quán)的加權(quán)平均值。如果是等精度(權(quán)或概率相等)無限次測量，則所得結(jié)果的平均值為數(shù)學(xué)期望值。

有限次測量所得結(jié)果可看作無限次測量所得結(jié)果的子樣，其平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望。是數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值

2隨機(jī)變量的方差

隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望的偏差的平方的數(shù)學(xué)期望，稱隨機(jī)變量的方差。同樣，有限次測量可看作無限次測量的子樣，其方差依概率收斂，是母體方差的估計(jì)值。

隨機(jī)變量的方差反應(yīng)了隨機(jī)變量可能值與它的數(shù)學(xué)期望為中心的離散程度，那么，在多次重復(fù)測量中，方差亦是表征測量值與數(shù)學(xué)期望μ的離散程度。因?yàn)榉讲钆c測量值量綱不同，在實(shí)際應(yīng)用中，以方差的正平方根σ（標(biāo)準(zhǔn)差，亦稱均方根差）來表征測量值與“真值”的離散程度。

σ是不確定度評(píng)定的參數(shù)。

1）方差的性質(zhì)（1）常數(shù)的方差等于零（2）隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差，等于隨機(jī)變量的方差（3）常數(shù)與隨機(jī)變量之乘積的方差，等于該常數(shù)的平方與隨機(jī)變量的方差之乘積(4)隨機(jī)變量的方差，等于該隨機(jī)變量平方的數(shù)學(xué)期望與該隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的平方之差

(5)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差，等于它們方差之和這一性質(zhì)稱為方差的可加性，可以推廣到有限多個(gè)隨機(jī)變量，前提是相互獨(dú)立。

(6)兩個(gè)任意隨機(jī)變量之和的方差，等于它們的方差及它們的兩倍協(xié)方差之和。

(7)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的方差為:由方差定義和性質(zhì)，很容易得到其傳播定律：

獨(dú)立、線性函數(shù)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)差等于各分量（含各自系數(shù)）標(biāo)準(zhǔn)差的‘方、和、根’。獨(dú)立、乘除冪函數(shù)關(guān)系的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差等于各分量相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差（含各自冪指數(shù)為系數(shù)）的‘方、和、根’

。附證明（5）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差，等于它們方差之和（6）兩個(gè)任意隨機(jī)變量之和的方差，等于它們的方差及它們的兩倍協(xié)方差之和。協(xié)方差定義為:如果兩個(gè)隨機(jī)變量x、y獨(dú)立，則：有：(7)

兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的方差為:式（1）是相互獨(dú)立、線性函數(shù)關(guān)系的隨機(jī)變量方差傳播公式。式（2）是相互獨(dú)立、非線性函數(shù)關(guān)系的隨機(jī)變量方差傳播公式。上述兩式都是嚴(yán)格成立的。如果在（2）式兩邊均除于，并用表示各隨機(jī)變量的相對(duì)方差，則有：顯然是近似的，它是認(rèn)為誤差相對(duì)它的量值而言是較小的量，而取泰勒展開的一階近似（若用求偏導(dǎo)方法，亦然）。同樣，如果誤差相對(duì)于測量值是個(gè)很小的量，真誤差可以用微分表示。設(shè)函數(shù)式為：微分得：平方得：式中：若相互獨(dú)立，有：式中偏導(dǎo)數(shù)稱為靈敏系數(shù)，用表示。靈敏系數(shù)表達(dá)函數(shù)式中各輸入量的不確定度以多大比率貢獻(xiàn)給輸出量y。取其絕對(duì)值。令=則：該式為獨(dú)立量方差合成定理。計(jì)算公式合成不確定度綜合影響加減函數(shù)乘冪函數(shù)抗拉強(qiáng)度溶液制備色譜比較標(biāo)準(zhǔn)曲線其中：相互獨(dú)立隨機(jī)性質(zhì)分量綜合影響(如A、B類)的標(biāo)準(zhǔn)差等于各分量標(biāo)準(zhǔn)差的‘方、和、根’。獨(dú)立、線性函數(shù)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)差等于各分量（含各自系數(shù)）標(biāo)準(zhǔn)差的‘方、和、根’。獨(dú)立、乘除冪函數(shù)關(guān)系的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差等于各分量相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差（含各自冪指數(shù)為系數(shù)）的‘方、和、根’

。3）隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差方差的量綱是被測量量綱的平方，因此用方差的正平方根σ(x)表征測量值與數(shù)學(xué)期望μ的平均離散程度，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，亦即單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差，也是分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

由于子樣方差的平均值不是母體方差平均值——的無偏估計(jì)，而才是母體方差無偏估計(jì)。所以子樣方差的平方根s(x)稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，它是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ(x)的估計(jì)值，但不是無偏估計(jì)。因?yàn)樽訕臃讲畹臄?shù)學(xué)期望為：

若對(duì)某量x進(jìn)行n次重復(fù)測量，算術(shù)平均值作為結(jié)果最佳值，則平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的。∵兩邊取方差，有：于是：或：測量的隨機(jī)誤差的其它表達(dá)方式①平均誤差：各真誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值。②或然誤差（亦稱中誤差）：各真誤差取絕對(duì)值后，按大小排列，位于中間的那個(gè)誤差（偶數(shù)時(shí)為中間兩個(gè)平均值）。③極差：最大值減最小值。

4）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)如果兩輸入量x、y相關(guān)，協(xié)方差定義為:測量學(xué)中采用它的樣本估計(jì)值協(xié)方差是反映兩輸入量x、y相互關(guān)連的程度，所以用相關(guān)系數(shù)表示更為方便，等于協(xié)方差除于兩相關(guān)量標(biāo)準(zhǔn)差的積:測量學(xué)中同樣采用它的樣本估計(jì)值

如果兩輸入量x、y相關(guān)，n次獨(dú)立測量結(jié)果平均值的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)分別為:相關(guān)系數(shù)是一個(gè)純數(shù)，取值區(qū)間為[-1，+1]。在不確定度評(píng)定中，若有必要，可以由上式求得或用實(shí)驗(yàn)方法求得近似值。例如，如果兩輸入量x、y相關(guān)，x變化，使y變化了，則相關(guān)系數(shù)近似為:二.測量不確定度（一）有關(guān)概念測量不確定度—與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的一個(gè)參數(shù)，用以表征合理地賦予被測量之值的分散性。通常用標(biāo)準(zhǔn)差（u）表示

不確定度評(píng)定中常用名詞標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量結(jié)果不確定度。不確定度的A類評(píng)定：對(duì)觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以評(píng)定不確定度的方法。不確定度的B類評(píng)定：評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度的非統(tǒng)計(jì)分析方法。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：當(dāng)結(jié)果由若干其它量得來時(shí)，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。測量結(jié)果中的不確定度，并未包括未識(shí)別的系統(tǒng)效應(yīng)的影響。當(dāng)結(jié)果由若干其它量得來時(shí)，該測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于這些量的方差和協(xié)方差加權(quán)的正平方根，權(quán)的大小取決于這些量的變化及測量結(jié)果影響的程度。

擴(kuò)展不確定度：確定測量結(jié)果區(qū)間的量，期望測量結(jié)果以合理地賦予的較高置信水平包含在此區(qū)間內(nèi)。包含因子：為獲得擴(kuò)展不確定度，作為合成不確定度乘數(shù)的數(shù)字因子（亦有稱覆蓋因子、擴(kuò)展因子）包含區(qū)間：基于可獲得的信息，能賦予某量的值所處的區(qū)間，該區(qū)間與一定高的概率相聯(lián)系。置信水平（包含概率）：與包含區(qū)間相聯(lián)系的概率。

(二).不確定度的主要來源1).被測量的定義不完善2).復(fù)現(xiàn)被測量的定義的方法不理想3).抽樣的代表性不夠4).賦予計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值不準(zhǔn)5).引用的數(shù)據(jù)或其它參量不準(zhǔn)6).測量方法和測量程序的近似性和假定性7).測量儀器的分辯力或鑒別力不夠8).對(duì)模擬儀器的讀數(shù)存在人為偏離9).對(duì)測量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不周全，或?qū)Νh(huán)境條件的測量與控制不完善10).在表面上看來完全相同的條件下，被測量重復(fù)觀測值的變化(三).測量不確定度評(píng)定方法1).確定被測量和測量方法測量原理、環(huán)境條件、所用儀器設(shè)備、測量程序和數(shù)據(jù)處理等。2).建立數(shù)學(xué)模型所謂建立數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)被測量的定義和物理模型（測量方案），用一個(gè)函數(shù)關(guān)系將測量過程模型化，以確定被測量與有關(guān)量之間的函數(shù)關(guān)系。一個(gè)被測量可能依賴若干個(gè)有關(guān)量，為此，先要識(shí)別出所有被測的輸入量，然后通過數(shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系），用所有的已知輸入量計(jì)算輸出量（最終的待測量）。只有評(píng)定了所有各輸入量的不確定度，才能給出被測量值（輸出量）的不確定度。建立物理模型和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上就給出了被測量值的不確定度主要來源。如果對(duì)被測量不確定度有貢獻(xiàn)的分量未包括在數(shù)學(xué)模型中，應(yīng)特別加以說明，如環(huán)境因素的影響。3).求被測量的最佳估值不確定度評(píng)定時(shí)對(duì)測量結(jié)果的不確定度評(píng)定，而測量結(jié)果應(yīng)理解為被測量之值的最佳估計(jì)。4).確定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

包括不確定度的A類評(píng)定和B類評(píng)定。5).確定各個(gè)輸入分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度對(duì)輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)

由數(shù)學(xué)模型對(duì)各輸入量求偏導(dǎo)數(shù)確定靈敏系數(shù)，然后由輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量求輸出量對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。6).求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度利用不確定度傳播率，對(duì)輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量進(jìn)行合成。

7).求擴(kuò)展不確定度根據(jù)被測量的概率分布和所需的置信水準(zhǔn)，確定包含因子，由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算擴(kuò)展不確定度。

8).報(bào)告測量結(jié)果的不確定度報(bào)告測量不確定度時(shí)，必須給出測量結(jié)果。最終不確定度的修約是直接進(jìn)位，而不是舍去。如下圖所示(四).不確度評(píng)定流程建立數(shù)學(xué)模型求最佳值B類評(píng)定擴(kuò)展不確定度列出各不確定度分量的表達(dá)式

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定測量結(jié)果和不確定度報(bào)告建議：什么樣的計(jì)算公式就用什么樣的數(shù)學(xué)模型注意：測量值應(yīng)修正離異值應(yīng)剔除不確定度因素尋找原則：不遺漏、不重復(fù)、抓住大的。建議：1.考慮輸入量的A；2.列出B，先列后忽略；3.若有幾個(gè)輸入量可用魚刺圖園形截面積試棒抗拉強(qiáng)度的不確定度來源

拉力F

直徑d

重復(fù)性A

重復(fù)性A

試驗(yàn)機(jī)誤差測徑儀誤差試驗(yàn)機(jī)校準(zhǔn)測徑儀校準(zhǔn)不確定度不確定度

被測量

溫度效應(yīng)應(yīng)變率效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)溶液的制備的不確定度來源

體積純度溫度容器不確定度重復(fù)性

A

重復(fù)性A重復(fù)性A

皮重量總重量

天平線性天平線性

靈敏度靈敏度天平分辨率天平分辨率天平砝碼不確定度質(zhì)量天平砝碼不確定度

1.數(shù)學(xué)表達(dá)式

被測量(輸出量)y與各輸入量的函數(shù)關(guān)系為:

2.求最佳值

(1).求各輸入量的最佳值

1).等精度測量測試條件不變、精度相等的測量。若對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測量的測得值有:

則其測量結(jié)果最佳值為算術(shù)平均值應(yīng)予修正

2).不等精度測量

在不同的條件下或不同的測量次數(shù)下所進(jìn)行的精度不等的測量。測量結(jié)果最佳值為加權(quán)算術(shù)平均值

式中:____各測量值的權(quán),與各自方差成反比，

c為系數(shù),一般取1(2).求被測量(輸出量)y的最佳值1).函數(shù)關(guān)系只有一個(gè)輸入量的直接測量，即

Y=cxx的最佳值就是y的最佳值2).

函數(shù)關(guān)系有幾個(gè)輸入量的間接測量，即被測量y是通過測量各輸入量而求得則可：

（1）先求出被測量y的各分量的估計(jì)值

,然后求平均值（2）或先求出各輸入量

的最佳值，再求出y的最佳值

3).對(duì)于組合測量，被測量y需用最小二乘法求出最佳值。

3.不確定度A類評(píng)定用對(duì)觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

(1).求各輸入量的單次測量標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量x在相同條件下進(jìn)行n次獨(dú)立測量，其(測量列)標(biāo)準(zhǔn)偏差采用貝塞爾公式計(jì)算。式中：——該輸入量n次測量的算術(shù)平均值

——該輸入量每個(gè)測量值的殘差

(2).求各輸入量的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差值可作為實(shí)驗(yàn)室該測量能力的A類評(píng)定值

(測量列)的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差隨著測量次數(shù)的增加而趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值；平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差則將隨著測量次數(shù)的增加而減小。例原子吸收法測量某樣品的鐵含量測量次數(shù)測量值(%)殘差(%)測量次數(shù)測量值(%)殘差(%)10.420.01690.400.00420.430.026100.430.02630.400.004110.420.01640.430.026120.410.00650.420.016130.39-0.01460.430.026140.39-0.01470.39-0.014150.400.00480.30-0.104平均值0.404

測量結(jié)果平均值為:

測量列標(biāo)準(zhǔn)差為:平均值標(biāo)準(zhǔn)差為:不確定度A類評(píng)定幾點(diǎn)說明①如果為客戶所做的某項(xiàng)測量不是實(shí)驗(yàn)室的常規(guī)測量，則不確定度的A類評(píng)定應(yīng)隨該項(xiàng)測量實(shí)時(shí)進(jìn)行。但實(shí)驗(yàn)室常常是在類似的條件下，用相同的設(shè)備相同的方法，在常規(guī)基礎(chǔ)上做基本類似性質(zhì)的測量。在這種情況下，通常不需要每次測量都進(jìn)行A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定，可以直接引用預(yù)先評(píng)定的結(jié)果。對(duì)隨機(jī)變量x根據(jù)n個(gè)測量結(jié)果的有限樣本所估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差sest，就是對(duì)整體樣本的標(biāo)準(zhǔn)差σ（x）的估計(jì)值。如果隨后的測量只作幾次測量（典型情況是n′＝3），而且將n′次測量的平均值作為結(jié)果提供給客戶，則應(yīng)由原先的實(shí)驗(yàn)獲得的標(biāo)準(zhǔn)差除以次數(shù)n′的平方根，以求得算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差u(x)。如果為用戶測量只作m次,則該測量結(jié)果A類評(píng)定值為：如果為用戶測量只作單次,則該測量結(jié)果A類評(píng)定值應(yīng)是原先估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差乘上修正因子,若k取1，則為：T------學(xué)生分布修正因子如果評(píng)定實(shí)驗(yàn)室測量能力時(shí),n=10次,取k=1時(shí),T=1.06;如果評(píng)定實(shí)驗(yàn)室測量能力時(shí),n=5次,取k=1時(shí),T=1.14;

實(shí)際測量結(jié)果A類評(píng)定值必須是測量列標(biāo)準(zhǔn)差除予為用戶測量實(shí)際的次數(shù)m標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)測量次數(shù)的修正因子T

nk=1k=2k=3

nk=1k=2k=331.322.27121.051.131.2841.201.663.07131.041.121.2551.141.442.21141.041.111.2361.111.331.84151.031.101.2171.091.261.63161.031.091.2081.081.221.51171.031.091.1891.071.191.43181.031.081.17101.061.161.36191.031.081.16111.051.141.32201.031.071.15

某實(shí)驗(yàn)室事先對(duì)某一電流量進(jìn)行n＝10次重復(fù)測量，測量值列于下表。計(jì)算得到測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差s（x）＝0.074mA。①在同一系統(tǒng)中在以后做單次（n′＝1）測量，測量值x＝46.3mA，求測量結(jié)果的不確定度A類u（x）。

②在同一系統(tǒng)中在以后做3次（n′＝3）測量，mA，求測量結(jié)果的不確定度A類u（x）。

[解]①對(duì)于單次測量，則不確定度A類為：

測量結(jié)果為46.3mA

②

對(duì)于3次測量，則3次測量平均值的不確定度A類為：

0.043mA，測量結(jié)果為45.4mA

表3.3對(duì)某一電流量進(jìn)行n＝10次重復(fù)測量的測量值次數(shù)12345678910平均值mA46.446.546.446.346.546.346.346.446.446.446.39

②合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差

采用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，如果測量次數(shù)太少，其本身就有較大的不確定度。如果測量系統(tǒng)比較穩(wěn)定，而又無法在重復(fù)條件下增加測量次數(shù)，為了獲得可靠的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，在規(guī)范測量中，可以采用合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差的方法得到可靠的測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差。

例如：測量m組（或m臺(tái)）相同的樣本，每組進(jìn)行n獨(dú)立測量，其合并樣本的方差等于各組樣本方差的平均值。其中

或

每組平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：

如果各組測量次數(shù)不同，則合并樣本的方差，等于各組樣本方差與其自由度乘積的和除于總自由度，即為：

其中—j組自由度（測量次數(shù)減1）顯然，采用合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差的方法，自由度比各組測量自由度大為增加，在不增加各組測量次數(shù)情況下，可以得到更為可靠的測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差。如果測量是破壞性試驗(yàn)，只能作一次測量，也可以考慮使用一批均勻的樣本，作成若干件樣品，該若干件樣品的測量值作為一組測量列，由它計(jì)算得到測量系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差u(x)。日常校準(zhǔn)工作，不必對(duì)每個(gè)受檢點(diǎn)進(jìn)行A類評(píng)定?？蛇x擇變動(dòng)性最大或標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)不確定度合成影響最大的受檢點(diǎn)，例如：儀器準(zhǔn)確度以絕對(duì)誤差表示的，可對(duì)該量程最大檢定點(diǎn)進(jìn)行多次測量，作A類評(píng)定，用以代表該量程各檢定點(diǎn)；儀器儀表準(zhǔn)確度以相對(duì)誤差表示的，可對(duì)該量程最小檢定點(diǎn)進(jìn)行多次測量，作A類評(píng)定，用以代表該量程各檢定點(diǎn)。⑤如果測量無法作A類評(píng)定或評(píng)定不充分（A類評(píng)定結(jié)果很?。瑧?yīng)評(píng)定設(shè)備分辨率的影響，二者取大者，但不得重復(fù)。⑥若技術(shù)規(guī)范規(guī)定的測量方法有重復(fù)性限r(nóng)，而重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果又滿足它的要求，則可用r/2.83作為A類評(píng)定。各被測量A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定步驟運(yùn)算說明

數(shù)學(xué)公式1對(duì)所有測量結(jié)果進(jìn)行修正（修正已識(shí)別的系統(tǒng)效應(yīng)）2計(jì)算修正后的測量結(jié)果的平均值。即修正后的測量結(jié)果之和被測量次數(shù)n除（如果忽略了步驟1,則應(yīng)補(bǔ)加修正）3對(duì)每一個(gè)測量結(jié)果求殘差，即將每一個(gè)結(jié)果減去其平均值4求殘差平方和除以測量次數(shù)n減1。其結(jié)果稱為方差V。5取正平方根給出一組測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差

6計(jì)算平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，參加標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成若有離異值，則事先予以剔除如果有幾個(gè)輸入量，也可以先計(jì)算輸出量合成標(biāo)準(zhǔn)偏差，然后參加標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成

4.不確定度的B類評(píng)定用不同于對(duì)觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用信息以前的測量數(shù)據(jù)有關(guān)資料與儀器特性的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)制造廠的技術(shù)說明書校準(zhǔn)或其它證書與技術(shù)文件提供的數(shù)據(jù)引自手冊的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)及其不確定度規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的技術(shù)文件所給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性限…….根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)信息或資料,先分析該B類不確定度分量的置信區(qū)間半寬a,以及包含因子k,則該分量為:B類不確定度少不了測量儀器引進(jìn)的因素,可參考下表計(jì)算。B類不確定度分量信息例分量來源分布半寬a包含因子k校準(zhǔn)證書給出設(shè)備的U、p正態(tài)

U校準(zhǔn)證書給出設(shè)備U、k正態(tài)

Uk校準(zhǔn)證書給出設(shè)備U、p、

t分布

U檢定證書給出“等”，查檢定系數(shù)表U、p

U檢定證書給出“級(jí)”，則最大允許誤差A(yù)A若兩次檢定值之差d,則穩(wěn)定性d均勻d/2儀器、儀表分辨率δ

均勻

δ/2兩次測量重復(fù)性限r(nóng)正態(tài)r/r/2兩次測量復(fù)現(xiàn)性限R正態(tài)

R/R/2單測檢驗(yàn)限R

t

分布

R查單測檢驗(yàn)溫度系數(shù)不對(duì)稱均勻··例1.儀器制造廠說明書給出儀器的準(zhǔn)確度（或誤差）為1%。我們就可以假定這是對(duì)儀器最大誤差限值的說明，而且所有測量值的誤差值是等概率地（矩形分布）處于該限值范圍[0.01，0.01]內(nèi)。（因?yàn)榇笥?%誤差限的儀器，屬于不合格品，制造廠不準(zhǔn)出廠。）矩形分布的包含因子

，儀器誤差的區(qū)間半寬度a＝0.01(1%)。因此，標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為：例2.制造商給出A級(jí)100mL單標(biāo)線容量瓶的允差為0.1mL。歐洲分析化學(xué)中心(EURACHEM)認(rèn)為其服從三角分布，則區(qū)間半寬為a=0.1mL，包含因子。由此引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為：例3.如1000gF1等砝碼，檢定證書給出檢定合格。

由《JJG2053-1990質(zhì)量計(jì)量器具檢定系統(tǒng)框圖》可知，1000gF1等砝碼的質(zhì)量總不確定度（置信概率99.73%）z＝20mg。因此，包含因子k＝3。由此引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為：5.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定

若測量不確定度具有若干個(gè)分量時(shí)，則總不確定度應(yīng)由所有各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（A類評(píng)定和B類評(píng)定結(jié)果）來合成，稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度即合成標(biāo)準(zhǔn)(偏)差，由合成方差的平方根給出。根據(jù)數(shù)學(xué)模型可列出各輸入量的不確定度分量表達(dá)式

(1).直接測量的評(píng)定對(duì)于的直接測量,則:如果，c為常數(shù)，則：

C稱靈敏系數(shù)，說明x對(duì)y的不確定度貢獻(xiàn)率是倍。如發(fā)現(xiàn)各分量中有一個(gè)分量占支配地位時(shí)（該分量大于其次那個(gè)分量三倍以上），合成不確定度就決定于該分量。

AG06例如在校驗(yàn)臺(tái)上用標(biāo)準(zhǔn)電能表校準(zhǔn)被校電能表的示值誤差。根據(jù)測量原理，電能表示值誤差的不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型為式中，是被檢表的相對(duì)誤差，（％），是輸出量；是三相電能表標(biāo)準(zhǔn)裝置上測得的相對(duì)誤差，（％），是輸入量。輸入量WO的不確定度的來源主要有如下方面：①在重復(fù)條件下測量結(jié)果不重復(fù)引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uA；②標(biāo)準(zhǔn)電能表的誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uB1；③標(biāo)準(zhǔn)電能表檢定裝置讀數(shù)分辨力引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uB2。

uA、uB1和uB2互不相關(guān)，采用方和根方法合成輸入量WO的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：(2).間接測量的評(píng)定

1).輸入量不相關(guān)（彼此獨(dú)立）的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成

被測量y是由測量各輸入量求得，設(shè)各輸入量相互獨(dú)立，則：

式中為不確定度傳播系數(shù)或靈敏系數(shù),用

c表示。含義是輸入量xi的單位變化引起的輸出量y的變化量。不同，各輸入量對(duì)輸出量y的不確定度貢獻(xiàn)也不同。先求出各個(gè)輸入量的不確定度分量，然后，計(jì)算傳播系數(shù)（靈敏系數(shù)），最后計(jì)算由此引起的被測輸出量y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量

ⅰ)規(guī)則1:當(dāng)加減函數(shù)關(guān)系，用絕對(duì)不確定度表示比較方便，有：例如:y=(p-q+r)，其中p=6.02，q=6.45，r=9.04;標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為:u(p)=0.13,u(q)=0.05，u(r)=0.22.

則有y=6.02-6.45+9.04=7.61ⅱ)規(guī)則2:當(dāng)乘冪函數(shù)關(guān)系，則可對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù)后求偏導(dǎo)，顯然用相對(duì)不確定度表示十分方便，有：

例園形截面積試棒抗拉強(qiáng)度的計(jì)算公式為，式中F是拉力，由萬能試驗(yàn)機(jī)讀數(shù)，d是用園形截面積試棒的直徑，不考慮溫度效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)，求抗拉強(qiáng)度測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

分析可知，輸入量F

和d互不相關(guān)，相關(guān)函數(shù)r(F，d)＝0，應(yīng)用規(guī)則2

，相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示為：

例y=(op/qr)，其中o=2.46，p=4.32，q=6.38，r=2.99,標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為:u(o)=0.02，u(p)=0.13，u(q)=0.11，u(r)=0.07.則有:y=(2.46×4.32)/(6.38×2.99)=0.56ⅲ)規(guī)則3:在進(jìn)行不確定度分量合成時(shí)，為方便起見，可將原始的數(shù)學(xué)模型分解，將其變?yōu)橹话ㄉ鲜鲈瓌t之一所覆蓋的形式。

如：表達(dá)式（x1＋x2）/(x3+x4)應(yīng)分解成兩個(gè)部分：（x1＋x2）和(x3+x4)。每個(gè)部分的臨時(shí)不確定度用規(guī)則1計(jì)算，然后將這些臨時(shí)不確定度用規(guī)則2合成為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

例：被測量，且各輸入量相互獨(dú)立無關(guān)，若已知：

x1=20，x2=80，x3=40，x4=4；u(x1)=0.02，u(x2)=0.10，u(x3)=0.04u(x4)=0.003。求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)

解：先求出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，因輸入量互不相關(guān)，采用方和根方法計(jì)算：然后再采用方和根方法求被測量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)：

2).輸入量相關(guān)（彼此不獨(dú)立）的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成

各輸入量相互不獨(dú)立，則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

令r為相關(guān)系數(shù)則：

為便于討論，設(shè)只有兩個(gè)相關(guān)輸入量:

即如果兩輸入量

相關(guān)，在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，方差的表達(dá)式就要增加一個(gè)相關(guān)項(xiàng)。相關(guān)項(xiàng)的大小等于相關(guān)系數(shù)乘上兩相關(guān)量平均值標(biāo)準(zhǔn)差積的兩倍標(biāo)準(zhǔn)差為：相關(guān)系數(shù)為0相關(guān)系數(shù)為1相關(guān)系數(shù)為-1如果兩輸入量，分別經(jīng)n次獨(dú)立測量，其結(jié)果平均值的協(xié)方差:測量結(jié)果平均值的相關(guān)系數(shù)，等于平均值的協(xié)方差除于兩相關(guān)量平均值標(biāo)準(zhǔn)差的積:(2).組合測量的評(píng)定

最小二乘法簡介如果兩個(gè)物理量X、Y存在線性關(guān)系，y=a+bx，對(duì)X、Y獨(dú)立測得n對(duì)數(shù)據(jù)（n大于欲求的參數(shù)a、b的數(shù)目）。由于測量存在誤差，如果將這些數(shù)據(jù)代方程，顯然結(jié)果是矛盾的。為求得最佳值，根據(jù)最小二乘法原理，應(yīng)是使所有測得值的誤差的平方和最小的值。

y=a+bx的誤差方程為：

將上列各式兩邊平方，然后相加，得殘差的平方和：

欲使：，則需使上式對(duì)a、b求偏導(dǎo)全為零，即：和亦即：和即：解得：和于是:

將a、b值代入誤差方程，可求得殘差和殘差的平方和，y的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(y)為：

a、b標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差s(a)、s(b)為：參數(shù)a、b是由同一組測量結(jié)果計(jì)算得到，兩者存在一定的相關(guān)性。對(duì)等式（1）兩邊求方差得：相關(guān)系數(shù)r為：

由于y的變動(dòng)性引起x的不確定度估計(jì)方法1）由算得的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)對(duì)式(1)微分，并考慮a、b相關(guān)，有：

式中是a,b的協(xié)方差。

2）由校準(zhǔn)數(shù)據(jù)估計(jì)

式中：

p為測量次數(shù)

式中：P——為測量次數(shù)（測量被測量濃度x的次數(shù)）n——建立標(biāo)準(zhǔn)曲線的測量總次數(shù)（響應(yīng)值總次數(shù)）

——建立標(biāo)準(zhǔn)曲線時(shí)，不同標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度平均值

——建立標(biāo)準(zhǔn)曲線時(shí)，第i次標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度

——被測溶液濃度值（平均值）

——建立標(biāo)準(zhǔn)曲線時(shí)，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)溶液濃度對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值

——每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)溶液濃度代入y=bx+a后得到的值

——每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)溶液濃度對(duì)應(yīng)的幾個(gè)響應(yīng)值，減去該濃度計(jì)算得到的值。

6.擴(kuò)展不確定度的評(píng)定測量不確定度的定義注1指出，測量不確定度是“標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)?；蛘f明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度”。也就是說，測量不確定度需要用兩個(gè)數(shù)來表示：一個(gè)是測量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個(gè)是置信概率（或稱置信水準(zhǔn)），表明測量結(jié)果落在該區(qū)間有多大把握。到目前我們僅給出了標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量和合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定方法，標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的置信概率都比較低。例如服從正態(tài)分布的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的置信概率p68％左右，服從矩形分布的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的置信概率p58％左右。為了提高測量的可靠性，需要將置信區(qū)間進(jìn)行擴(kuò)大，以提供一個(gè)較高的置信概率。因此，可將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)乘以包含因子（覆蓋因子、范圍因子）k，以給出擴(kuò)展不確定度（范圍不確定度）U(y)：

它并沒有提供不確定度的任何新的信息，只是以前不確定度評(píng)定所提供的信息的一種不同表示形式。擴(kuò)展不確定度也可以用相對(duì)不確定度表示，通常用％表示：

包含因子（覆蓋因子、擴(kuò)展因子）k的選擇

1).當(dāng)被測量的Y可能值y及其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

的概率分布近似為正態(tài)分布，且

的有效自由度較大（50）時(shí)，在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度確定后，直接給出相應(yīng)的包含因子k即可，并按式:

計(jì)算擴(kuò)展不確定度U。通常取k=2~3。k=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的置信概率p=95.45%；k=3時(shí)，對(duì)應(yīng)的置信概率p=99.73%。對(duì)于普通的檢測和校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室，如果沒有特殊的要求，通常取包含因子k=2。

2）如果合成不確定度中包含一項(xiàng)占支配地位的分量，這時(shí)合成不確定度的概率分布就依占支配地位的分量的概率分布。例為矩形分布，則包含因子應(yīng)取為k＝1.65，即U＝1.65才對(duì)應(yīng)95％的置信水平。

3）如果合成不確定中A類評(píng)定的分量占的比重較大，而且作A類評(píng)定時(shí)重復(fù)測量次數(shù)n較少，則包含因子k必須用查t分布表獲得。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度為；----分量的自由度，含靈敏系數(shù)，即

對(duì)于A類評(píng)定時(shí)，分量自由度一般等于測量次數(shù)與被測量個(gè)數(shù)之差：n-t：對(duì)于B類評(píng)定，分量自由度實(shí)際上是臆測所估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性。認(rèn)為所估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差越可靠，則自由度就大；反之亦然。

ζ—u(x)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，亦即