路線最短問題

路線最短問題兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短考查知識點(diǎn)----“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。原型----“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路----找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。

我想試試

羅賽蒂那個說“我想試試”的小孩他將登上山巔，那個說“我不成”的小孩，在山下停步不前。“我想試試”每天辦成很多事，“我不成”就真一事無成。因此你務(wù)必說“我想試試”，將“我不成”棄于埃塵。不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總化歸到“兩點(diǎn)之間線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對稱點(diǎn)”?；虬丫€段之和化歸到“垂線段最短”。路線最短問題兩點(diǎn)之間線段最短垂線段最短利用費(fèi)馬點(diǎn)求最短利用對稱性作垂線段折變直定義最短路線問題

考查知識點(diǎn)----“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。原型----“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路----找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。類型一：飲馬問題原型兩點(diǎn)之間線段最短利用對稱“折”變“直”A·B·A'·類型一：動點(diǎn)在一條直線上1、（2009年達(dá)州）在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.ABCDQ·P·2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為（）A、

B、

C、

D、3（動點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A‘，連A’D交BC于P，涉及勾股定理及相似）例3：已知：拋物線的對稱軸為x=-1,與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)其中

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長最?。埱蟪鳇c(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)D是線段上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．

求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試

說明S是否存在最大值，若存在，

請求出最大值；若不存在，請說

明理由．·P學(xué)得怎樣？演練一下：一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．再試試144頁：第4題（面對面）C'類型二：動點(diǎn)在兩條直線上P是銳角AOB內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠AOB的兩邊OA，OB上各取一點(diǎn)Q，R，組成三角形，使三角形PQR周長最小。(如圖所示)D·P·ABC·QRO直接利用兩點(diǎn)之間線段最短求最短路線1、如圖C為線段BD上一動點(diǎn)分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD連接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD為x，（1）試用x的代數(shù)式表示AC+CE的長（2）請問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE值最?。浚?）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式ABCDE造橋選址問題：A、B兩點(diǎn)位于一條河的兩岸，假定河的兩岸筆直且平行如圖，先要在河上垂直于河岸修建一座橋，問橋建在何處，才能使由A點(diǎn)經(jīng)過這座橋到B點(diǎn)的路程最短？A··B·B飲馬問題2：如圖，某人從A地到河邊L飲馬，然后沿著筆直的河邊走固定的距離a，最后回到營地B，此人怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使所走的路程最短？B·aA·A·A·P類型二：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6 若點(diǎn)P在邊AC上移動，則BP的最小值是（）垂線段最短“折線段”變“垂線段”ABCP∟P從直線外一點(diǎn)向這條直線所引的所有線段中，垂線段最短11、(09陜西)如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是____（2）幾何拓展：如圖2,△ABC中，AB=2，∠BAC=30,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，這個最小值為；解：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時(shí)BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．立體圖形上最短路線問題方法：曲面變平面。11．如圖3,長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是:

B.25

C.10

D.35

A.方法：曲面變平面。

練習(xí)：如圖，已知：圓錐的底面半徑為

，母線SA長為2，M為SA的中點(diǎn)，有一根繩子從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面繞一周到達(dá)M點(diǎn)，問繩子最短是多少？在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．1．當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°的時(shí)候，則費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn)．

2．如果三個內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120°的點(diǎn)．正三角形的費(fèi)馬點(diǎn)剛好是正三角形的中心

費(fèi)馬點(diǎn)的問題例2(2009北京)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長AC到點(diǎn)D，使CD=AC，過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC的延長線于點(diǎn)E．(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF，EF，若過B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等