高中數(shù)學(xué)高考2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理數(shù)試題精編版（解析版）

2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(廣東卷)理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷(共40分)一.選擇題：本大題共8題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0,x∈R},N＝{x|x2－2x＝0,x∈R},則M∪N＝().A.{0}B.{0,2}C.{－2,0}D.{－2,0,2}【答案】D【解析】∵M＝{－2,0},N＝{0,2},∴M∪N＝{－2,0,2}.故選D.【考點定位】本題考查集合的中并集運算,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是一元二次方程和集合的并集運算，屬于容易題．解題時要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現(xiàn)錯誤．2.定義域為R的四個函數(shù)y＝x3,y＝2x,y＝x2＋1,y＝2sinx中,奇函數(shù)的個數(shù)是().A.4B.3C.2【答案】C【考點定位】本題考查函數(shù)中的奇偶性判斷,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的奇偶性，屬于容易題．解題時一定要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是函數(shù)的奇偶性，即奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點對稱，且；偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點對稱，且．3.若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2＋4i,則在復(fù)平面內(nèi),z對應(yīng)的點的坐標是().A.(2,4)B.(2,－4)C.(4,－2)D.(4,2)【答案】C【解析】由iz＝2＋4i,得z＝＝4－2i,故z對應(yīng)點的坐標為(4,－2).故選C.【考點定位】本題考查復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)平面，屬于容易題．解題時一定注意分子和分母同時乘以的共軛復(fù)數(shù)，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)平面，即，，（，）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點．4.已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝().A.B.2C.D.【答案】A【考點定位】本題考查統(tǒng)計中的期望,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是數(shù)學(xué)期望，屬于容易題．解題時一定要看清楚是求數(shù)學(xué)期望還是求方差，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是數(shù)學(xué)期望，即若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望．5.某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是().A.4B.C.D.6【答案】B【解析】方法一：由三視圖可知,原四棱臺的直觀圖如圖所示,其中上.下底面分別是邊長為1,2的正方形,且DD1⊥面ABCD,上底面面積S1＝12＝1,下底面面積S2＝22＝4.又∵DD1＝2,∴V臺＝(S1＋＋S2)h＝(1＋＋4)×2＝.學(xué)科網(wǎng)方法二：由四棱臺的三視圖,可知原四棱臺的直觀圖如圖所示.在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中,四邊形ABCD與四邊形A1B1C1DAB＝2,A1B1＝1,且D1D⊥平面ABCD,D1D＝2.分別延長四棱臺各個側(cè)棱交于點O,設(shè)OD1＝x,因為△OD1C1∽△ODC所以,即,解得x＝2.＝V棱錐O－ABCD－＝×2×2×4－×1×1×2＝.【考點定位】本題考查立體幾何中的三視圖與體積,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的體積，屬于中等題．解題時要看清楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯誤．本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出幾何體的體積即可．6.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.下列命題中正確的是().A.若α⊥β,mα,nβ,則m⊥nB.若α∥β,mα,nβ,則m∥nC.若m⊥n,mα,nβ,則α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β【答案】D【考點定位】本題考查立體幾何中的線,面垂直平行,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是空間點、線、面的位置關(guān)系，屬于容易題．解題時一定要注意選“正確”還是選“錯誤”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解決空間點、線、面的位置關(guān)系這類試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊圖形進行檢驗，也可作必要的合情推理．7.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于,則C的方程是().A.B.C.D.【答案】B【解析】由曲線C的右焦點為F(3,0),知c＝3.由離心率,知,則a＝2,故b2＝c2－a2＝9－4＝5,所以雙曲線C的方程為.故選B.【考點定位】本題考查解析幾何中雙曲線的標準方程,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是雙曲線的標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題．解題時要注意、、的關(guān)系，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，即雙曲線（，）的左焦點，右焦點，其中，離心率．8.設(shè)整數(shù)n≥4,集合X＝{1,2,3,…,n},令集合S＝{(x,y,z)|x,y,z∈X,且三條件x＜y＜z,y＜z＜x,z＜x＜y恰有一個成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,則下列選項正確的是().A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈SC.(y,z,w)S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)S,(x,y,w)S【答案】B【解析】由(x,y,z)∈S,不妨取x＜y＜z,要使(z,w,x)∈S,則w＜x＜z或x＜z＜w.當(dāng)w＜x＜z時,w＜x＜y＜z,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.當(dāng)x＜z＜w時,x＜y＜z＜w,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.綜上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.故選B.【考點定位】本題考查集合與新概念,屬于拔高題【名師點晴】本題主要考查的是新概念，屬于難題．在新概念的問題中抓住新概念的實質(zhì)把其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題加以解決，這是解決新概念問題的一個基本方向，要注意準確理解試題中給出的新概念的含義．解決新概念這類試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值進行檢驗，也可作必要的合情推理．學(xué)科網(wǎng)第Ⅱ卷(共110分)二.填空題：本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.(一)必做題(9～13題)9.不等式x2＋x－2＜0的解集為__________.【答案】{x|－2＜x＜1}【解析】x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0,解得－2＜x＜1,故原不等式的解集為{x|－2＜x＜1}.故填{x|－2＜x＜1}.【考點定位】本題考查二次不等式,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是一元二次不等式，屬于容易題．解題時要注意的系數(shù)是否為正數(shù)，如果的系數(shù)是負數(shù)，一定要化為正數(shù)，否則很容易出現(xiàn)錯誤．10.若曲線y＝kx＋lnx在點(1,k)處的切線平行于x軸,則k＝__________.【答案】－1【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線問題,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條直線的位置關(guān)系，屬于中等題．解題時一定要抓住重要字眼“在處”和“平行”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：=1\*GB3①切點在曲線上；=2\*GB3②切點在切線上；=3\*GB3③切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率．11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n的值為4,則輸出s的值為__________.【答案】7【考點定位】本題考查算法,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是程序框圖，屬于容易題．解題時一定要抓住重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．12.在等差數(shù)列{an}中,已知a3＋a8＝10,則3a5＋a7【答案】20【解析】因為數(shù)列{an}的等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.故填【考點定位】本題考查數(shù)列中的等差數(shù)列,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題．解題時要抓住關(guān)鍵字眼“等差”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差數(shù)列的性質(zhì)，即等差數(shù)列中，若（、、、），則．13.給定區(qū)域D：令點集T＝{(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點},則T中的點共確定__________條不同的直線.【答案】6【解析】由區(qū)域D：畫出可行域如圖所示.滿足條件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T中的點共確定6條不同的直線.【考點定位】本題考查線性規(guī)劃,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于中等題．線性規(guī)劃類問題的解題關(guān)鍵是先正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合確定目標函數(shù)何時取得最值．解題時要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯誤；畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要通過特殊點驗證，防止出現(xiàn)錯誤．學(xué)科網(wǎng)(二)選做題(14～15題,考生從中選做一題)14.(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則l的極坐標方程為__________.【答案】【考點定位】本題考查參數(shù)方程與極坐標,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標方程化為極坐標方程和圓的切線，屬于容易題．解決此類問題的關(guān)鍵是參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系方程，并把幾何問題代數(shù)化，再將直角坐標方程化為極坐標方程即可．15.(幾何證明選講選做題)如圖,AB是圓O的直徑,點C在圓O上.延長BC到D使BC＝CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6,ED＝2,則BC＝__________.【答案】【考點定位】本題考查幾何證明中的直角三角形的射影定理,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是直徑所對的圓周角、切線的性質(zhì)、弦切角和直角三角形的射影定理，屬于中等題．解題時一定要注意靈活運用圓的性質(zhì)，否則很容易出現(xiàn)錯誤．凡是題目中涉及長度的，通常會使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識．三.解答題：本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明.證明過程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)已知函數(shù),x∈R.(1)求的值；(2)若cosθ＝,θ∈,求.【答案】(1)(2)【考點定位】本題考查三角函數(shù)中的化簡求值,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的余弦公式、二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中等題．解題時要注意角的范圍，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是兩角和的余弦公式、二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即，，，．17.(本小題滿分12分)某車間共有12名工人,隨機抽取6名,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；(2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)樣本均值為.(2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間12名工人中有12×＝4名優(yōu)秀工人.(3)設(shè)事件A：從該車間12名工人中,任取2人,恰有1名優(yōu)秀工人,則P(A)＝.【考點定位】本題考查概率與統(tǒng)計,屬于基礎(chǔ)題【名師點晴】本題主要考查的是莖葉圖、樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)）和古典概型，屬于中等題．解題時一定要抓住重要字眼“恰有”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)）和古典概型，即平均數(shù)：，．學(xué)科網(wǎng)18.(本小題滿分14分)如圖(1),在等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝6,D,E分別是AC,AB上的點,CD＝BE＝,O為BC的中點.將△ADE沿DE折起,得到如圖(2)所示的四棱錐A′BCDE,其中A′O＝.圖(1)圖(2)(1)證明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)詳見解析(2)所以A′O2＋OD2＝A′D2,所以A′O⊥OD.同理可證A′O⊥OE,又OD∩OE＝O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)傳統(tǒng)法：過O作OH⊥CD交CD的延長線于H,連結(jié)A′H,因為A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD.所以∠A′HO為二面角的平面角.結(jié)合題圖(1)可知,H為AC中點,故OH＝,從而A′H＝,所以cos∠A′HO＝.所以二面角A′－CD－B的平面角的余弦值為.向量法：以O(shè)點為原點,建立空間直角坐標系O－xyz如圖所示.則A′(0,0,),C(0,－3,0),D(1,－2,0),所以＝(0,3,),＝(－1,2,).設(shè)n＝(x,y,z)為平面A′CD的法向量,則即解得令x＝1,得n＝(1,－1,).由(1)知,＝(0,0,)為平面CDB的一個法向量,所以cos〈n,〉＝,即二面角A′－CD－B的平面角的余弦值為.【考點定位】本題考查立體幾何中的線面垂直與二面角,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．19.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1,,n∈N*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n,有.【答案】(1)(2)(3)詳見解析【考點定位】本題考查數(shù)列中的等差數(shù)列與裂項求和,屬于能力題【名師點晴】本題主要考查的是數(shù)列的通項公式、數(shù)列的裂項求和和不等式的證明，屬于難題．本題通過將的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系式，利用等差數(shù)列的定義可得通項公式，再根據(jù)不等式的通項的特點進行放縮，利用裂項相消法可證不等式．解題時一定要抓住重要字眼“正整數(shù)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式，即，等差數(shù)列的定義：（常數(shù)），等差數(shù)列的通項公式：．學(xué)科網(wǎng)20.(本小題滿分14分)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程；(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.【答案】(1)(2)x0x－2y－2y0＝0(3)(3)由拋物線定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋1,|BF|＝y(tǒng)2＋1,所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1.聯(lián)立方程消去x整理得y2＋(2y0－x02)y＋y02＝0.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1＋y2＝x02－2y0,y1y2＝y(tǒng)02,所以|AF|·|BF|＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1＝y(tǒng)02＋x02－2y0＋1.又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0＝y(tǒng)0＋2.所以y02＋x02－2y0＋1＝2y02＋2y0＋5＝.所以當(dāng)y