質(zhì)量常用統(tǒng)計技術三

質(zhì)量常用統(tǒng)計技術方差分析回歸分析試驗設計上海質(zhì)量教育培訓中心2005年第一節(jié)方差分析

一、幾個概念二、單因子方差分析

一、幾個概念

在試驗中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C、…等表示。因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標表示，記為A1，A2，…，Ak。試驗中所考察的指標（可以是質(zhì)量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）用Y表示。Y是一個隨機變量。單因子試驗：若試驗中所考察的因子只有一個。[例2.1-1]現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件的平均強度是否相同？

工廠量件強度

甲

乙

丙

10310198110

113107108116

82928486三個工廠的零件強度

在這一例子中，考察一個因子：因子A：工廠該因子有三個水平：甲、乙、丙試驗指標是：零件強度這是一個單因子試驗的問題。每一水平下的試驗結果構成一個總體，現(xiàn)在需要比較三個總體均值是否一致。如果每一個總體的分布都是正態(tài)分布，并且各個總體的方差相等，那么比較各個總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來解決。二、單因子方差分析

假定因子A有r個水平，在Ai水平下指標服從正態(tài)分布，其均值為，方差為，i=1,2,…,r。每一水平下的指標全體便構成一個總體，共有r個總體，這時比較各個總體的問題就變成比較各個總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗如下假設是否為真：當不真時，表示不同水平下的指標的均值有顯著差異，此時稱因子A是顯著的，否則稱因子A不顯著。檢驗這一假設的分析方法便是方差分析。方差分析的三個基本假定1.在水平下，指標服從正態(tài)分布；2.在不同水平下，各方差相等；3.各數(shù)據(jù)相互獨立。設在一個試驗中只考察一個因子A，它有r個水平，在每一水平下進行m次重復試驗，其結果用表示，i=1,2,…,r。常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式：單因子試驗數(shù)據(jù)表記第i水平下的數(shù)據(jù)均值為，總均值為。此時共有n=rm個數(shù)據(jù)，這n個數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動（差異）可以用總離差平方和ST去表示記第i水平下的數(shù)據(jù)和為Ti，；引起數(shù)據(jù)波動動（差異）的的原因不外如如下兩個：一是由于因子子A的水平不不同，當假設設H0不真時，各個個水平下指標標的均值不同同，這必然會會使試驗結果果不同，我們們可以用組間間離差平方和和來表示，也也稱因子A的的離差平方和和：這里乘以m是是因為每一水水平下進行了了m次試驗。。二是由于存在在隨機誤差，，即使在同一一水平下獲得得的數(shù)據(jù)間也也有差異，這這是除了因子子A的水平外外的一切原因因引起的，我我們將它們歸歸結為隨機誤誤差，可以用用組內(nèi)離差平平方和表示：：Se：也稱為誤差差的離差平方方和可以證明有如如下平方和分分解式：ST、SA、Se的自由度分別用、、表示，它們也有分解式：，其中：因子或誤差的的離差平方和和與相應的自自由度之比稱稱為因子或誤誤差的均方和和，并分別記記為：兩者的比記為：當時認為在顯著性水平上因子A是顯著的。其中是自由度為的F分布的1-α分位數(shù)。單因子方差分分析表各個離差平方方和的計算：：其中是第i個水平下的數(shù)據(jù)和；T表示所有n=rm個數(shù)據(jù)的總和。

進行方差分析析的步驟如下下：（1）計算因因子A的每一一水平下數(shù)據(jù)據(jù)的和T1，T2，…，Tr及總和T；（2）計算各類數(shù)據(jù)的平方和；

（3）依次計計算ST，SA，Se；（4）填寫方方差分析表；；（5）對于給定的顯著性水平α，將求得的F值與F分布表中的臨界值比較，當時認為因子A是顯著的，否則認為因子A是不顯著的。

對上例的分析析（1）計算各各類和：每一水平下的的數(shù)據(jù)和為：：數(shù)據(jù)的的總和和為T=1200（2））計算算各類類平方方和：：原始數(shù)據(jù)的平方和為：

每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為

（3））計算算各離離差平平方和和：ST=121492-12002/12=1492，，fT=3××4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9（4））列方方差分分析表表：[例2.1-1]的的方差差分析析表（5）如果給定=0.05，從F分布表查得

由于F>4.26，所以在=0.05水平上結論是因子A是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強度有明顯的差異。

當因子子A是是顯著著時，，我們們還可可以給給出每每一水水平下下指標標均值值的估估計，，以便便找出出最好好的水水平。。在單單因子子試驗驗的場場合，，第i個水水平指指標均均值的的估計計為：：，

在本例例中，，三個個工廠廠生產(chǎn)產(chǎn)的零零件的的平均均強度度的的的估計計分別別為：：由此可可見，，乙廠廠生產(chǎn)產(chǎn)的零零件的的強度度的均均值最最大，，如果果我們們需要要強度度大的的零件件，那那么購購買乙乙廠的的為好好；而而從工工廠來來講，，甲廠廠與丙丙廠應應該設設法提提高零零件的的強度度。誤差方差的估計：這里方差的估計是MSe。在本例中：的估計是20.9。

的估計是

[例2.1-2]略略（見見教材材P92））三、重重復數(shù)數(shù)不等等的情情況若在每一水平下重復試驗次數(shù)不同，假定在Ai水平下進行次試驗，那么進行方差分析的步驟仍然同上，只是在計算中有兩個改動：

例2.1-3某某型號號化油油器原原中小小喉管管的結結構使使油耗耗較大大，為為節(jié)約約能源源，設設想了了兩種種改進進方案案以降降低油油耗。。油耗耗的多多少用用比油油耗進進行度度量，，現(xiàn)在在對用用各種種結構構的中中小喉喉管制制造的的化油油器分分別測測定其其比油油耗，，數(shù)據(jù)據(jù)如表表所列列，試試問中中小喉喉管的的結構構（記記為因因子A）對對平均均比油油油耗耗的影影響是是否顯顯著。。（這這里假假定每每一種種結構構下的的油耗耗服從從等方方差的的正態(tài)態(tài)分布布）[例2.1-3]的的試驗驗結果果水平試驗結果（比油耗-220）A1：原結構11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改進方案12.84.5-1.50.2A3：改進方案24.36.11.43.6（為簡簡化計計算，，這里里一切切數(shù)據(jù)據(jù)均減減去220，不不影響響F比比的計計算及及最后后分析析因子子的顯顯著性性）（1））各水水平下下的重重復試試驗次次數(shù)及及數(shù)據(jù)據(jù)和分分別為為：A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4總的試試驗次次數(shù)n=16，，數(shù)據(jù)據(jù)的總總和為為T=90.9（2））計算算各類類平方方和：：（3））計算算各離離差平平方和和：ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=13（4））列方方差分分析表表：[例2.1-3]方方差分分析表表（5）如果給定=0.05，從F分布表查得

由于F>3.81，，所以在α=0.05水平上我我們的結論論是因子A是顯著的的。這表明明不同的中中小喉管結結構生產(chǎn)的的化油器的的平均比油油耗有明顯顯的差異。。我們還可以以給出不同同結構生產(chǎn)產(chǎn)的化油器器的平均比比油耗的估估計：這里加上220是因因為在原數(shù)數(shù)據(jù)中減去去了220的緣故。。由此可見，，從比油耗耗的角度看看，兩種改改進結構都都比原來的的好，特別別是改進結結構1。在本例中誤誤差方差的的估計為6.56，，標準差的的估計為2.56。。第二節(jié)回回歸歸分析例2.2-1合合金的強強度y與合合金中的碳碳含量x有有關。為了了生產(chǎn)出強強度滿足顧顧客需要的的合金，在在冶煉時應應該如何控控制碳含量量？如果在在冶煉過程程中通過化化驗得到了了碳含量，，能否預測測合金的強強度？這時需要研研究兩個變變量間的關關系。首先先是收集數(shù)數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,……,n。?，F(xiàn)從生產(chǎn)產(chǎn)中收集到到表2.2-1所示示的數(shù)據(jù)。。表2.2-1數(shù)數(shù)據(jù)表表一、散布圖圖6050400.150.200.10xy[例2.2-1]的的散布圖二、相關系系數(shù)1．相關系系數(shù)的定義義在散布圖上上n個個點在一條條直線附近近，但又不不全在一條條直線上，，稱為兩個個變量有線線性相關關關系，可以以用相關系系數(shù)r去去描述它它們線性關關系的密切切程度其中性質(zhì)：

表示n個點在一條直線上，這時兩個變量間完全線性相關。

r>0表示示當x增加加時y也增增大，稱為為正相關r<0表示示當x增加加時y減小小，稱為負負相關r=0表示示兩個變量量間沒有線線性相關關關系，但并并不排斥兩兩者間有其其它函數(shù)關關系。2．相關系系數(shù)的檢驗驗若記兩個變變量x和y理論的相相關系數(shù)為為，，其其中x為一一般變量，，y服從等等方差的正正態(tài)分布，，則對給定的顯著性水平，當可以認為兩者間存在一定的線性相關關系，可以從表2.2-2中查出。（其中n為樣本量）。

3．具體計計算求上例的相相關系數(shù)：：步驟如下：：（1）計算算變量x與與y的數(shù)據(jù)據(jù)和：Tx==1.90,Ty==590.5

（2）計算算各變量的的平方和與與乘積和：：（3）計算算Lxx,Lyy,Lxy：Lxy=95.9250-1.90×590.5/12=2.4292Lxx=0.3194-1.902/12=0.0186Lyy=29392.75-590.52/12=335.2292（4）計算r：在=0.05時，，由于r>0.576，說明兩個變量間有（正）線性相關關系。

四、一元線線性回歸方方程1.一一元線性回回歸方程的的求法：一元線性回歸方程的表達式為

其中a與b使下列離離差平方和和達到最小?。和ㄟ^微分學學原理，可可知，

稱這種估計計為最小二二乘估計。。b稱為回回歸系數(shù)；；a一般稱稱為常數(shù)項項。求一元線性性回歸方程程的步驟如如下：（1）計算算變量x與與y的數(shù)據(jù)據(jù)和Tx，Ty；（2）計算算各變量的的平方和與與乘積和；；（3）計算算Lxx,Lxy；（4）求出出b與a；；利用前面的的數(shù)據(jù)，可可得：b=2.4392/0.0186=130.6022a=590.5/12-130.6022××1.90/12=28.5297（5）寫出出回歸方程程：畫出的回歸直線一定通過（0，a）與兩點

上例：或2.回回歸方程的的顯著性檢檢驗有兩種方法法：一是用上述述的相關系系數(shù)；二是用方差差分析方法法（為便于于推廣到多多元線性回回歸的場合合），將總總的離差平平方和分解解成兩個部部分：回歸歸平方和與與離差平方方和?？偟碾x差平方和：

回歸平方和：

離差平方和：

且有ST=SR+SE，其中

它們的自由由度分別為為：fT=n-1，，fR=1，fE=n-2=fT-fR計算F比，，對給定的顯著性水平，當時認為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意義的。一般也列成方差分析表。

對上面的例例子，作方方差分析的的步驟如下下：根據(jù)前面的的計算（1）計算算各類平方方和：ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=10（2）列方方差分析表表：[例2.2-1]的的方差分析析表對給定的顯著性水平=0.05，有

F0.95(1,10)=4.96由于F>4.96，，所以在0.05水水平上認為為回歸方程程是顯著的的（有意義義的）。3．利用回回歸方程進進行預測對給定的，y的預測值為

概率為的y的預測區(qū)間是

其中當n較大，與相差不大，那么可給出近似的預測區(qū)間，此時

進行預測的的步驟如下下：（1）對給給出的x0求預測值上例，設x0=0.16，則（2）求的估計

上例有

（3）求上例n=12，如果果求概率為為95%的的預測區(qū)間間，那么t0.975(10)=2.228，所以以（4）寫出預測區(qū)間

上例為(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)由于u0.975=1.96，故概率率為0.95的近似似的預測區(qū)區(qū)間為：∵∴所求區(qū)間：：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（（46.80，52.06））相差較大的的原因總n較小。四、可化為為一元線性性回歸的曲曲線回歸在兩個重復復的散布圖圖上，n個個點的散布布不一定都都在一條直直線附近波波動，有時時可能在某某條曲線附附近波動，，這時以建建立曲線回回方程為好好。1.確確定曲曲線回歸歸方程形形式2.曲曲線回回歸方程程中參數(shù)數(shù)的估計計通過適當當?shù)淖儞Q換，化為為一元線線性回歸歸的形式式，再利利用一元元線性回回歸中的的最小二二乘估計計方法獲獲得?；貧w曲線線的形式式：（1），，（（a>0，b>0）（2），，（b>0））（3），，（b>0））（4），，（（b>0）3.曲曲線回回歸方程程的比較較常用的比比較準則則：（1）要要求相關關指數(shù)R大，其其平方也也稱為決決定系數(shù)數(shù)，它被被定義為為：（2）要要求剩余余標準差差s小，，它被定定義為：：第三節(jié)試試驗設設計一、試驗驗設計的的基本概概念與正正交表（一）試試驗設計計多因素試試驗遇到到的最大大困難是是試驗次次數(shù)太多多，若十十個因素素對產(chǎn)品品質(zhì)量有有影響，，每個因因素取兩兩個不同同狀態(tài)進進行比較較，有210=1024、如如果每個個因素取取三個不不同狀態(tài)態(tài)310=59049個個不同的的試驗條條件選擇部分分條件進進行試驗驗，再通通過數(shù)據(jù)據(jù)分析來來尋找好好的條件件，這便便是試驗驗設計問問題。通通過少量量的試驗驗獲得較較多的信信息，達達到試驗驗的目的的。利用用正正交交表表進進行行試試驗驗設設計計的的方方法法就就是是正正交交試試驗驗設設計計。。（二二））正正交交表表“L””表表示示正正交交表表，，““9””是是表表的的行行數(shù)數(shù)，，在在試試驗驗中中表表示示試試驗驗的的條條件件數(shù)數(shù)，，““4””是是列列數(shù)數(shù)，，在在試試驗驗中中表表示示可可以以安安排排的的因因子子的的最最多多個個數(shù)數(shù)，，““3””是是表表的的主主體體只只有有三三個個不不同同數(shù)數(shù)字字，，在在試試驗驗中中表表示示每每一一因因子子可可以以取取的的水水平平數(shù)數(shù)。。正交交表表具具有有正正交交性性，，這這是是指指它它有有如如下下兩兩個個特特點點：：（1））每每列列中中每每個個數(shù)數(shù)字字重重復復次次數(shù)數(shù)相相同同。。在表L9(34)中，每每列有3個不同同數(shù)字：：1,2,3，，每一個個出現(xiàn)3次。（2）將將任意兩兩列的同同行數(shù)字字看成一一個數(shù)對對，那么一切可可能數(shù)對對重復次次數(shù)相同同。在表L9(34)中，任任意兩列列有9種種可能的的數(shù)對：：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一一對出現(xiàn)現(xiàn)一次。。常用的正正交表有有兩大類類（1）一一類正正交表的的行數(shù)n，列數(shù)數(shù)p，水水平數(shù)q間有如下下關系：：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，，可以以考察察因子子間的的交互互作用用。（2））另一一類正正交表表的行行數(shù)，，列數(shù)數(shù)，水水平數(shù)數(shù)之間間不滿足足上述述的兩兩個關關系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等這類正正交表表不能能用來來考察察因子子間的的交互互作用用常用正正交表表見附附錄二、無交互互作用的正正交設計與與數(shù)據(jù)分析析試驗設計一一般有四個個步驟：1.試試驗設計2.進進行試驗獲獲得試驗結結果3.數(shù)數(shù)據(jù)分析4.驗驗證試驗例2.3-1磁磁鼓電機是是彩色錄像像機磁鼓組組件的關鍵鍵部件之一一，按質(zhì)量量要求其輸輸出力矩應應大于210g.cm。某生生產(chǎn)廠過去去這項指標標的合格率率較低，從從而希望通通過試驗找找出好的條條件，以提提高磁鼓電電機的輸出出力矩。（一）試驗驗的設計在安排試驗驗時，一般般應考慮如如下幾步：：（1）明確確試驗目的的（2）明確確試驗指標標（3）確定定因子與水水平（4）選用用合適的正正交表,進進行表頭設設計，列出出試驗計劃劃在本例中：：試驗目的：：提高磁鼓鼓電機的輸輸出力矩試驗指標：：輸出力矩矩確定因子與與水平：經(jīng)經(jīng)分析影響響輸出力矩矩的可能因因子及水平見見表2.3-2表2.3-2因因子水水平表選表：首先先根據(jù)因子子的水平數(shù)數(shù)，找出一一類正交表表再根據(jù)因子子的個數(shù)確確定具體的的表把因子放到到表的列上上去，稱為為表頭設計計把放因子子的列中的的數(shù)字改為為因子的真真實水平，，便成為一一張試驗計計劃表，每每一行便是是一個試驗驗條件。在在正交設計計中n個試試驗條件是是一起給出出的的，稱稱為“整體設計”，并且均勻勻分布在試試驗空間中中。表頭設計ABC列號

1234試驗計劃與與試驗結果果9個試驗點點的分布3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3（二）進行行試驗，并并記錄試驗驗結果在進行試驗驗時，要注注意幾點：：1.除除了所考察察的因子外外的其它條條件，盡可可能保持相相同2.試試驗次序最最好要隨機機化3.必必要時可以以設置區(qū)組組因子（三）數(shù)據(jù)據(jù)分析1.數(shù)數(shù)據(jù)的直觀觀分析（1）尋找找最好的試試驗條件在A1水平下進行行了三次試試驗：#1，#2，，#3，而而在這三次次試驗中因因子B的三三個水平各各進行了一一次試驗，，因子C的的三個水平平也各進行行了一次試試驗。在A2水平下進行行了三次試試驗：#4，#5，，#6，在在這三次試試驗中因子子B與C的的三個水平平各進行了了一次試驗驗。在A3水平下進行行了三次試試驗：#7，#8，，#9，在在這三次試試驗中因子子B與C的的三個水平平各進行了了一次試驗驗。將全部試驗驗分成三個個組，那么么這三組數(shù)數(shù)據(jù)間的差差異就反映映了因子A的三個水水平的差異異，為此計計算各組數(shù)數(shù)據(jù)的和與與平均：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555=T1/3=185

T2=y4+y5+y6=168+236+190=594=T2/3=198

T3=y7+y8+y9=157+205+140=502=T3/3=167.3

同理對因子B與與C將數(shù)據(jù)據(jù)分成三組組分別比較較所有計算列列在下面的的計算表中中例2.3-1直觀分分析計算表表（2）各因因子對指標標影響程度度大小的分分析極差的大小小反映了因因子水平改改變時對試試驗結果的的影響大小小。這里因因子的極差差是指各水水平平均值值的最大值值與最小值值之差，譬譬如對因子子A來講：：RA=198－－167.3=30.7其它的結果果也列在上上表中。從從三個因子子的極差可可知因子B的影響最最大，其次次是因子A，而因子子C的影響響最小。（3）各因因子不同水水平對指標標的影響圖圖從圖上可以以明顯地看看出每一因因子的最好好水平A2，B2，C3，也可以看看出每個因因子對指標標影響的大大小RB>RA>RC。CBA22020519017516090011001300101112708090RARBRC圖2.3-2因因子各各水平對輸輸出力矩的的影響由于正交表表的特點，，使試驗條條件均勻分分布在試驗驗空間中，，因此使數(shù)數(shù)據(jù)間具有有整齊可比比性，上述述的直觀分分析可以進進行。但是是極差大到到什么程度度可以認為為水平的差差異確實是是有影響的的呢？2.數(shù)數(shù)據(jù)的方差差分析要把把引引起起數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)波波動動的的原原因因進進行行分分解解，，數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的波波動動可可以以用用離離差差平平方方和和來來表表示示。。正交交表表中中第第j列列的的離離差差平平方方和和的的計計算算公公式式：：其中中Tij為第第j列列第第i水水平平的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)和和，，T為為數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)總總和和，，n為為正正交交表表的的行行數(shù)數(shù)，，q為為該該列列的的水水平平數(shù)數(shù)該列列表表頭頭是是哪哪個個因因子子，，則則該該Sj即為為該該因因子子的的離離差差平平方方和和，，譬譬如如SA=S1正交交表表總總的的離離差差平平方方和和為為：：在這里有：[例例2.3-1]的的方方差差分分析析計計算算表表第4列列上上沒沒有有放放因因子子，，稱稱為為空空白白列列。。S4僅反反映映由由誤誤差差造造成成的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)波波動動，，稱稱為為誤誤差差平平方方和和。。Se=S4利用用可可以以驗驗證證平平方方和和的的計計算算是是否否正正確確。。[例例2.3-1]的的方方差差分分析析表表因子子A與與B在在顯顯著著性性0.10與與0.05上上都都是是顯顯著著的的，，而而因因子子C不不顯顯著著。。3.最最佳佳條條件件的的選選擇擇對顯著因子應應該取最好的的水平；對不顯著因子子的水平可以以任意選取，，在實際中通通常從降低成成本、操作方方便等角度加加以選擇。上面的例子中中對因子A與與B應該選擇擇A2B2，因子C可以以任選，譬如如為節(jié)約材料料可選擇C1。4.貢獻率率分析方法當試驗指標不不服從正態(tài)分分布時,進行行方差分析的的依據(jù)就不夠夠充足,此時時可通過比較較各因子的““貢獻率”來來衡量因子作作用的大小。。由于S因中除因子的效效應外，還包包含誤差，從從而稱S因-f因Ve為因子的純離離差平方和，，將因子的純純離差平方和和與ST的比稱為因子子的貢獻率。。（四）驗證試試驗對A2B2C1進行三次試驗驗，結果為：：234，240，220，平均值值為231.3此結果是是滿意的三、有交互作作用的正交設設計與數(shù)據(jù)分分析例2.3-2為為提高某種農(nóng)農(nóng)藥的收率，，需要進行試試驗。（一）試驗的的設計明確試驗目的的明確試驗指標標確定試驗中所所考慮的因子子與水平，并并確定可能存存在并要考察察的交互作用用選用合適的正正交表。在本例中：試驗目的：提提高農(nóng)藥的收收率試驗指指標：：收率率確定因因子與與水平平以及及所要要考察察的交交互作作用：：因子水水平表表還要考考察因因子A與B交互互作用用選表表：：首首先先根根據(jù)據(jù)因因子子的的水水平平數(shù)數(shù)，，找找出出一一類類正正交交表表再再根根據(jù)據(jù)因因子子的的個個數(shù)數(shù)及及交交互互作作用用個個數(shù)數(shù)確確定定具具體體的的表表。。把因因子子放放到到表表的的列列上上去去，，但但是是要要先先放放