《復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】

第五章復(fù)數(shù)5.2.3復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)與純虛數(shù)乘法的幾何意義，掌握將復(fù)數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為向量的處理方法；2.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的自主探究，培養(yǎng)學(xué)生積極參與合作交流，了解從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象過程；3.通過研究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，揭示數(shù)與形之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)與純虛數(shù)乘法的幾何意義．教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)與純虛數(shù)乘法的旋轉(zhuǎn)意義．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧：復(fù)數(shù)z=答案：復(fù)數(shù)z=a+bi一一對(duì)應(yīng)追問1：復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義是什么？答案：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來進(jìn)行，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來進(jìn)行．追問2：前面我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)乘運(yùn)算，你能回憶起向量數(shù)乘的幾何意義嗎？答案：實(shí)數(shù)λ與向量α乘積λα的幾何意義是當(dāng)λ>0時(shí)，表示向量α的有向線段在原方向上伸長或縮短為原來的λ倍；當(dāng)λ<0時(shí)，表示向量α的有向線段在反方向上伸長或縮短為原來的λ倍．設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題來處理，通過復(fù)習(xí)向量的數(shù)乘的幾何意義引入復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)乘法的幾何意義．二、新知探究問題1：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi（a，b∈R），z2=答案：利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，則z2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1=a，由向量數(shù)乘的幾何意義，可知OZ2是將OZ1沿原方向伸長為原來的追問：如果將z2改為：z2=z1·12，其它條件不變答案：利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，則z2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1=a，由向量數(shù)乘的幾何意義，可知OZ2是將OZ1沿原方向縮短為原來的1思考：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=z1·c（a答案：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi（a若z2=a+bi·cc>0所對(duì)應(yīng)的向量為OZ2，則OZ2是OZ1與c的數(shù)乘，設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，研究復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的乘積的幾何意義，先從最特殊、最簡單的問題入手，逐步向一般、復(fù)雜的問題過渡，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從具體到抽象地分析問題的能力．問題2：設(shè)復(fù)數(shù)z1=1，z2=z1·i，所對(duì)應(yīng)的向量為OZ答案：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1=1，0，OZ2=追問：若復(fù)數(shù)z1=i答案：OZ2是將OZ1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π即，實(shí)軸上的點(diǎn)和虛軸上的點(diǎn)乘復(fù)數(shù)i的幾何意義是把這個(gè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2思考：這種關(guān)系（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2）是否具有普遍性探究：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=z1·i，它們分別對(duì)應(yīng)的向量為答案：①直觀感知：OZ2是由OZ1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)②向量的坐標(biāo)運(yùn)算：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，有z2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1=1，1，OZ③根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，有z2在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1，z2分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1，Z2；然后分別過點(diǎn)Z1，Z2作垂直于x軸的線段，交點(diǎn)分別為Z1'，Z2'，再分別過點(diǎn)Z1，Z2作垂直于y軸的線段，交點(diǎn)分別為點(diǎn)Z1''，Z2''z2=-1+i中的-1對(duì)應(yīng)的向量為OZ2'，是由i對(duì)應(yīng)的向量OZ1''逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2得到的，因此，OZ2=OZ2'+OZ2''是由OZ1總結(jié)：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi（a若z2=a+bi·i所對(duì)應(yīng)的向量為OZ2，思考：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)z1=a+bi，z2=z1·-i，z3=z1·答案：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，有z2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1=a，b，OZ2z3=z1·-i2=a+bi·-i2=-a-bi．根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z1，設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能從幾何直觀、向量數(shù)量積計(jì)算，以及前面所學(xué)的鋪墊知識(shí)三個(gè)方面解析OZ1與OZ2之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生能從特殊情形出發(fā)研究問題的能力，三、應(yīng)用舉例例1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1=3-2i，z2=z1·i，它們分別對(duì)應(yīng)的向量為解：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，有z2在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1，z2分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1，Z2；然后分別過點(diǎn)Z1，Z2作垂直于x軸的線段，交點(diǎn)分別為Z1'，Z2'，再分別過點(diǎn)Z1，Z2作垂直于y軸的線段，交點(diǎn)分別為點(diǎn)Z1''，Z2''z2=2+3i=3×i+-2i×i中的2對(duì)應(yīng)的向量為OZ2'，是由-2i對(duì)應(yīng)的向量OZ因此，OZ2=OZ2'+OZ2''是由OZ1四、課堂練習(xí)1.設(shè)復(fù)數(shù)z=2+i對(duì)應(yīng)的向量為OZ，把OZ沿原方向拉伸3倍所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A．-1+2iB．6+3iC．62.設(shè)復(fù)數(shù)z=-3+2i對(duì)應(yīng)的向量為OZ，把OZ按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)A．-3+2iB．2-3iC．3.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=-2+i對(duì)應(yīng)的向量為OZ1，OZ參考答案：1.解：把OZ沿原方向拉伸3倍所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i·3=62.解：把OZ按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3+2i·i3.解：因?yàn)閦2=z1·i，所以向量OZ2是由OZ1按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)