北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)練習(xí)：小專題(十一)　二次函數(shù)與幾何圖形綜合特殊三角形、四邊形問(wèn)題

.@:第4頁(yè)小專題〔十一〕二次函數(shù)與幾何圖形綜合——特殊三角形、四邊形問(wèn)題1.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，0〕，與y軸交于點(diǎn)C〔0，3〕.〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；備用圖解：〔1〕把B〔3，0〕，C〔0，3〕代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔9＋3b＋c＝0，,c＝3，〕〕解得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔b＝－4，,c＝3.〕〕∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－4x＋3.〔2〕拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－2.設(shè)D〔2，y〕，那么BC2＝18，DC2＝4＋〔y－3〕2，BD2＝1＋y2.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2＋DC2＝BD2，即18＋4＋〔y－3〕2＝1＋y2，解得y＝5.此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，5〕；當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2＋DB2＝DC2，即4＋〔y－3〕2＝1＋y2＋18，解得y＝－1.此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，－1〕.綜上：點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，5〕或〔2，－1〕.2.如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.假設(shè)以A，C，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).解：y＝－x2－2x＋3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C〔0，3〕.y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A〔－3，0〕，B〔1，0〕.∵y＝－x2－2x＋3＝－〔x＋1〕2＋4，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔－1，4〕.如圖，分別過(guò)△PAC的三個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)M1，M2，M3.∵AM1CP，且C〔0，3〕，P〔－1，4〕，A〔－3，0〕，∴M1〔－4，1〕.∵AM2PC，且P〔－1，4〕，C〔0，3〕，A〔－3，0〕，∴M2〔－2，－1〕.∵CM3AP，且A〔－3，0〕，P〔－1，4〕，C〔0，3〕，∴M3〔2，7〕.綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔－4，1〕或〔－2，－1〕或〔2，7〕.3.如圖，拋物線y＝eq\f〔1,4〕x2－eq\f〔1,2〕x－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊〕，與y軸交于點(diǎn)C.〔1〕求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；〔2〕此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形？假設(shè)存在，懇求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1〕令y＝0，得eq\f〔1,4〕x2－eq\f〔1,2〕x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∴A〔4，0〕，B〔－2，0〕.令x＝0，得y＝－2.∴C〔0，－2〕.〔2〕存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形.設(shè)P〔1，a〕，那么AP2＝a2＋9，CP2＝〔a＋2〕2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20.①當(dāng)AP＝CP時(shí)，即a2＋9＝a2＋4a＋5，解得a＝1.∴P1〔1，1〕；②當(dāng)CP＝AC時(shí)，即a2＋4a＋5＝20，解得a＝－2±eq\r〔19〕.∴P2〔1，－2＋eq\r〔19〕〕，P3〔1，－2－eq\r〔19〕〕；③當(dāng)AP＝AC時(shí)，即a2＋9＝20，解得a＝±eq\r〔11〕.∴P4〔1，eq\r〔11〕〕，P5〔1，－eq\r〔11〕〕.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1〔1，1〕，P2〔1，－2＋eq\r〔19〕〕，P3〔1，－2－eq\r〔19〕〕，P4〔1，eq\r〔11〕〕，P5〔1，－eq\r〔11〕〕.4.如圖，已知直線y＝kx＋b與拋物線y＝－eq\f〔1,2〕x2＋mx＋n交于點(diǎn)P〔a，4〕，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC＝BC，假設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f〔11,2〕，S△PBC＝8.〔1〕求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？假如存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1〕∵PB⊥x，P〔a，4〕，S△PBC＝8，∴eq\f〔1,2〕×4OB＝8.∴OB＝4.∴P〔4，4〕.∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OA＝OB＝4.∴A〔－4，0〕.把點(diǎn)A，P的坐標(biāo)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔4k＋b＝4，,－4k＋b＝0，〕〕解得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔k＝\f〔1,2〕，,b＝2.〕〕∴直線的表達(dá)式為y＝eq\f〔1,2〕x＋2.∵y＝eq\f〔1,2〕x2＋mx＋n的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f〔11,2〕，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P〔4，4〕，∴eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔－\f〔m,2×〔－\f〔1,2〕〕〕＝\f〔11,2〕，,－\f〔1,2〕×16＋4m＋n＝4.〕〕解得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔m＝\f〔11,2〕，,n＝－10.〕〕∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f〔1,2〕x2＋eq\f〔11,2〕x－10.〔2〕∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA.∵∠CAB＋∠APB＝∠CBA＋∠CBP＝90°，∴∠APB＝∠CBP.∴CB＝CP.作CD⊥PB，那么CD平分PB，當(dāng)PB平分CD時(shí)，四邊形BCPD為菱形，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔8，2〕，把x＝8代入y＝－eq\f〔1,2〕x2＋eq\f〔11,2〕x－10，得y＝－eq\f〔1,2〕×64＋eq\f〔11,2〕×8－10＝2，∴點(diǎn)D在拋物線上.∴在拋物線上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔8，2〕.5.如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)M.〔1〕求點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)△AME的周長(zhǎng)最小，懇求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕點(diǎn)F為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)△BFP為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).備用圖解：〔1〕y＝－x2－2x＋3＝－〔x＋1〕2＋4，∴M〔－1，4〕.〔2〕如圖，作點(diǎn)A〔0，3〕關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′〔0，－3〕，連接A′M交x軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)E就是使得△AME的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，設(shè)直線A′E的表達(dá)式為y＝kx＋b，那么eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔－