有理數(shù)混合運(yùn)算簡(jiǎn)便算法與技巧

有理數(shù)的計(jì)算方法與技巧有理數(shù)運(yùn)算是代數(shù)入門的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，怎樣突破這一難點(diǎn)，除了要正確理解概念和掌握運(yùn)算法則外，還必須熟練有理數(shù)運(yùn)算的一些技巧和方法，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，從而使復(fù)雜問題變得較簡(jiǎn)單。一、四個(gè)原則：①整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計(jì)算。②簡(jiǎn)明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來的就同時(shí)算出來；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。③口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。=4\*GB3④分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。二、運(yùn)算技巧①歸類組合：運(yùn)用交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等。例：計(jì)算：－－(－3)+－(7)解法一：－－(－3)+－(7)=(－++(3－7)=－4=－2解法二：－－(－3)+－(7)=－+3+－7=(3+2－7)+(－++－)=－2評(píng)析：解法一是小數(shù)與小數(shù)相結(jié)合，解法二整數(shù)與整數(shù)結(jié)合，這樣解決了既含分?jǐn)?shù)又含小數(shù)的有理數(shù)加減運(yùn)算問題．同學(xué)們遇到類似問題時(shí)，應(yīng)學(xué)會(huì)靈活選擇解題方法．=2\*GB3②湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。將相加可得整數(shù)的數(shù)放在一起進(jìn)行運(yùn)算(其中包括互為相反數(shù)相加)，可以降低解題難度，提高解題效率．例：計(jì)算：分析：本題六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個(gè)互為相反數(shù)，有兩個(gè)相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。解：原式例：計(jì)算：19＋299＋3999＋49999解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1=(20＋300＋4000＋50000)－4=54320－4=54316．=3\*GB3③分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。例：計(jì)算：解：原式例：計(jì)算：。解：原式例：計(jì)算2022×－1001×．解：2022×－=(2022＋1)×－(1002－1)×=(2022－1001)＋(＋)=1003評(píng)析：對(duì)于這些題目結(jié)構(gòu)復(fù)雜，長(zhǎng)度較大的數(shù)，用常規(guī)的方法不易解決．解這類問題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出拆項(xiàng)規(guī)律，靈活巧妙地把問題解決．=4\*GB3④約簡(jiǎn)：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡(jiǎn)。例：計(jì)算：解：原式=5\*GB3⑤倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡(jiǎn)化計(jì)算。例：計(jì)算解：設(shè)，把等式右邊倒序排列，得將兩式相加，得即，所以A=4005所以原式＝4005=6\*GB3⑥裂項(xiàng)相消法:凡是帶有省略號(hào)的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，可以用這種方法例：解：應(yīng)用關(guān)系式來進(jìn)行“拆項(xiàng)”。原式=7\*GB3⑦正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡(jiǎn)化計(jì)算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac在運(yùn)算中可簡(jiǎn)化計(jì)算．而反過來，ab+ac=a(b+c)同樣成立，有時(shí)逆用也可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。在處理有理數(shù)的數(shù)字運(yùn)算中，若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關(guān)系特征，對(duì)此加以靈活變形，便可巧妙地逆用分配律，使解題簡(jiǎn)潔明快．例：計(jì)算：×37＋×＋×88．解：×37＋×＋×88=×37＋×10)×＋×44=×37＋×19＋×44=×(37＋19＋44)=1748．評(píng)析：很明顯，靈活變形，逆用分配律，減少了運(yùn)算量，提高了解題效率．=8\*GB3⑧變序在有理數(shù)的運(yùn)算中，適當(dāng)改變運(yùn)算順序，有時(shí)可以減少運(yùn)算量，在具體運(yùn)算過程中，技巧是恰到好處地運(yùn)用交換率、結(jié)合律和分配律等運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算．例：計(jì)算：解：原式。例：計(jì)算：[4＋(－)]＋[(－)＋6]解：[4＋(－)]＋[(－)＋6]=4＋(－)＋(－)＋6=[4＋6]＋[(－)＋(－)]=11＋(－)=10評(píng)析：在運(yùn)算前，首先觀察、分析參與運(yùn)算的數(shù)的特征、排列順序等，適當(dāng)交換一下各數(shù)的位置，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、快速解題的目的．同步練習(xí)題1：1.計(jì)算：2.已知0為數(shù)軸的原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2，設(shè)P1為AB的中點(diǎn)，P2為AP1的中點(diǎn)，…，P100為P99的中點(diǎn)，求P1，P2，P3，…，P100所對(duì)應(yīng)的各數(shù)之和。3.計(jì)算：（分析：本題六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個(gè)互為相反數(shù)，有兩個(gè)相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。）4.求和（分析：由加法交換律和結(jié)合律將分母相同的數(shù)結(jié)合相加，可改變?cè)椒彪y的計(jì)算。）5.計(jì)算：同步練習(xí)題2：1.計(jì)算：2.計(jì)算：3.計(jì)算：4.計(jì)算：同步練習(xí)題1參考答案：1.解法1：原式解法2：原式2.解：設(shè)對(duì)應(yīng)的數(shù)為所以，3.解：原式4.