誤差理論教材10

第十章平差模型誤差§10-1附加系統(tǒng)參數(shù)平差方法測(cè)量中總會(huì)有一些系統(tǒng)誤差附著于觀測(cè)值之中，或者說(shuō)組成觀測(cè)值的一部分。系統(tǒng)誤差的性質(zhì)較為復(fù)雜，如呈現(xiàn)固定誤差、線性誤差、周期誤差和隨機(jī)誤差等特性。有些系統(tǒng)誤差可以采取措施在觀測(cè)過(guò)程中予以減弱或消除，或通過(guò)改正公式予以改正。而有些系統(tǒng)誤差的性質(zhì)可能難以準(zhǔn)確了解，此時(shí)，應(yīng)采用其它方法消除其影響，如采用平差的方法予以減弱或消除。一.基本概念如圖10-1所示水準(zhǔn)網(wǎng)，為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，其它為未知點(diǎn)，平差時(shí)選擇未知水準(zhǔn)點(diǎn)的高程為未知參數(shù)。對(duì)第一個(gè)觀測(cè)值而言，可以列出觀測(cè)方程如下。 （10—1）如果水準(zhǔn)測(cè)量中水準(zhǔn)尺含有尺長(zhǎng)誤差，設(shè)水準(zhǔn)尺每米的尺長(zhǎng)誤差為，則水準(zhǔn)路線的實(shí)際高差應(yīng)是觀測(cè)值加上尺長(zhǎng)誤差改正，即（10—2）則觀測(cè)方程為（10—3）相應(yīng)的誤差方程為（10—4）此時(shí),誤差方程中多了一個(gè)未知參數(shù),可以將其與其它參數(shù)一并求出。這類平差方法稱為附加系統(tǒng)參數(shù)的平差方法。對(duì)于平差函數(shù)模型（10-1）而言，只有在觀測(cè)值僅含有偶然誤差時(shí)是正確的，否則，稱此模型含有模型誤差。在電磁波測(cè)距中，距離測(cè)量值會(huì)含有系統(tǒng)誤差。此系統(tǒng)誤差可以大致分為固定誤差和比例誤差兩部分。在不能精確了解固定誤差項(xiàng)和比例誤差項(xiàng)的具體數(shù)值大小時(shí)，可以將其作為未知參數(shù)置入函數(shù)模型中，則電磁波測(cè)距觀測(cè)方程可以寫成如下形式。（10—5）（10—6）上述誤差方程中包含、、、、、共六個(gè)未知參數(shù)。有時(shí)觀測(cè)值中系統(tǒng)誤差的規(guī)律較為復(fù)雜，或是對(duì)其不甚了解，此時(shí)可以采用某種函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)等形式模擬系統(tǒng)誤差，如下列公式。（10—7）其中為系數(shù)陣，為未知系統(tǒng)參數(shù)。附加系統(tǒng)參數(shù)平差法線性化函數(shù)模型的一般形式可以表述如下。（10—8）式中和分別為所選基本參數(shù)和附加系統(tǒng)參數(shù)個(gè)數(shù)，且，?；緟?shù)與附加系統(tǒng)參數(shù)之間獨(dú)立，且觀測(cè)值個(gè)數(shù)應(yīng)大于。代表系統(tǒng)誤差項(xiàng),為待求系統(tǒng)參數(shù)。二.附加系統(tǒng)參數(shù)平差方法附加系統(tǒng)參數(shù)平差方法的函數(shù)模型為（10—9）簡(jiǎn)寫為上述函數(shù)模型要求在的條件下解算未知參數(shù)。易知未知參數(shù)的解為（10—10）設(shè)、、。則由分塊求逆公式得參數(shù)解為（10—11）式中。未知參數(shù)估值的協(xié)因數(shù)陣為（10—12）由上式可知，基本參數(shù)及附加系統(tǒng)參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為（10—13）（10—14）也可以單獨(dú)解算基本參數(shù)與附加系統(tǒng)參數(shù)估值。不含系統(tǒng)誤差時(shí)，誤差方程單獨(dú)平差得參數(shù)估值為（10—15）附加系統(tǒng)參數(shù)時(shí)的基本參數(shù)及附加系統(tǒng)參數(shù)估值為（10—16）（10—17）單位權(quán)中誤差的估值為 （10—18）在附加系統(tǒng)參數(shù)平差法中，系統(tǒng)參數(shù)是作為非隨機(jī)量處理的。如果將系統(tǒng)參數(shù)當(dāng)作隨機(jī)量，則函數(shù)模型與最小二乘配置的函數(shù)模型相似。將系統(tǒng)參數(shù)當(dāng)作隨機(jī)量時(shí)，必須已知其先驗(yàn)隨機(jī)特性，否則應(yīng)按非隨機(jī)量處理。三.附加系統(tǒng)參數(shù)的檢驗(yàn)1.參數(shù)估計(jì)量的綜合精度我們希望所選擇的附加系統(tǒng)參數(shù)模型能夠較準(zhǔn)確完整地描述系統(tǒng)誤差。因而，在實(shí)際當(dāng)中可能過(guò)多地選擇和附加系統(tǒng)參數(shù)。此時(shí)有可能引起附加系統(tǒng)參數(shù)之間，或附加系統(tǒng)參數(shù)與基本參數(shù)之間的近似線性相關(guān)。這種近似線性相關(guān)，也稱為復(fù)共線性。它會(huì)導(dǎo)致平差中法方程系數(shù)陣呈現(xiàn)病態(tài)或奇異，使得法方程的解不穩(wěn)定。另外法方程系數(shù)陣的奇異性，會(huì)使參數(shù)解的精確度變差。如前所述，參數(shù)平差值的精確度由其方差和系統(tǒng)誤差構(gòu)成。由于最小二乘法屬于無(wú)偏估計(jì)方法，因此上式中第二項(xiàng)為零。則有設(shè)的特征值為，的特征值為、、、。參數(shù)估值的均方誤差為（10—19）當(dāng)接近奇異時(shí)，其特征值至少有一個(gè)接近于零，因此均方誤差變得很大，這意味著參數(shù)估計(jì)精度很差。如前所述，法方程系數(shù)陣奇異性程度可由制約數(shù)來(lái)度量，形式如下。（10—20）制約數(shù)代表特征值的分散程度，可用來(lái)判斷系數(shù)陣的奇異程度，或復(fù)共線性的程度。當(dāng)時(shí)認(rèn)為沒(méi)有復(fù)共線性，時(shí)認(rèn)為有中等程度的復(fù)共線性，當(dāng)＞1000時(shí)，則有嚴(yán)重的復(fù)共線性。2.附加系統(tǒng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（1）附加系統(tǒng)參數(shù)必要性的檢驗(yàn)有必要對(duì)附加系統(tǒng)參數(shù)的必要性進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)原假設(shè)為各附加系統(tǒng)參數(shù)對(duì)原平差模型沒(méi)有顯著影響，因而，沒(méi)有必要引入附加參數(shù)。此時(shí)，附加系統(tǒng)參數(shù)解算結(jié)果與原平差模型解算結(jié)果無(wú)顯著差異。也就是下列方程的聯(lián)合解算（10—21）（10—22）與（10-21）式的單獨(dú)解算，其結(jié)果無(wú)顯著差異。依據(jù)（8-61）式（10—23）單獨(dú)解算方程（10-21）得改正數(shù)向量解為，設(shè)，組成如下統(tǒng)計(jì)量。（10—24）設(shè)原假設(shè)和備選假設(shè)為原假設(shè)的拒絕域?yàn)?。如果接受，表明原模型與擴(kuò)展模型無(wú)顯著差異，無(wú)需引入系統(tǒng)參數(shù)；若接收，則需引入附加系統(tǒng)參數(shù)。（2）附加系統(tǒng)參數(shù)顯著性的檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)?zāi)骋桓郊酉到y(tǒng)參數(shù)的顯著程度，做如下原假設(shè)和備選假設(shè)。利用下列統(tǒng)計(jì)量對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。（10—25）由顯著水平確定臨界值。若，則成立，認(rèn)為該附加系統(tǒng)參數(shù)不顯著，應(yīng)剔除。若附加參數(shù)之間相關(guān)性較強(qiáng)，單個(gè)參數(shù)的檢驗(yàn)會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。此時(shí)，應(yīng)對(duì)相關(guān)的一組參數(shù)同時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)原假設(shè)為式中，為第組個(gè)待檢驗(yàn)參數(shù)。做如下統(tǒng)計(jì)量。～（10—26）根據(jù)自由度和及顯著水平求出分布的臨界值。若，表明系統(tǒng)參數(shù)顯著，此組附加系統(tǒng)參數(shù)應(yīng)予以采納。否則，應(yīng)舍棄此組系統(tǒng)參數(shù)。3.附加系統(tǒng)參數(shù)選擇時(shí)的準(zhǔn)則通過(guò)檢驗(yàn)，可以判斷所選附加系統(tǒng)參數(shù)的顯著程度，但并不能認(rèn)定所選定的模型是最好的，還需對(duì)所謂的好模型給出一個(gè)合理的定義。對(duì)于統(tǒng)計(jì)模型的選擇可以采用準(zhǔn)則。此方法采用統(tǒng)計(jì)量，其定義為（模型極大似然函數(shù)）+2（模型中獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)）上式右端第1頂表征模型擬合實(shí)際的良好程度，第2項(xiàng)表征對(duì)增加參數(shù)的一種懲罰。準(zhǔn)則認(rèn)為選擇模型時(shí)，應(yīng)選擇使的模型是適宜的，也就是選擇數(shù)據(jù)擬合較好，且參數(shù)盡可能少的模型。因?yàn)楦郊酉到y(tǒng)參數(shù)的選擇也是模型的選擇問(wèn)題，因此，同樣可以用來(lái)作為選擇附加系統(tǒng)參數(shù)的準(zhǔn)則。對(duì)于如下的數(shù)學(xué)模型（10—27）（10—28）其似然函數(shù)為（10—29）使時(shí)的和的估值,即極大似然估值分別為（10—30）（10—31）因此，極大似然函數(shù)為（10—32）則為（10—33）式中為常數(shù)，與無(wú)關(guān)，通常設(shè)，則（10—34）對(duì)于不同的模型會(huì)產(chǎn)生不同的與，應(yīng)選擇使最小或盡可能小的模型擬合數(shù)據(jù)。例10—1：對(duì)于圖10-1所示水準(zhǔn)網(wǎng)，已知點(diǎn)高程為、。高差觀測(cè)值為、、、、，各水準(zhǔn)路線近似等長(zhǎng)。試求出各高差觀測(cè)值的平差值，并判斷水準(zhǔn)尺尺長(zhǎng)誤差是否明顯。解：以未知點(diǎn)的高程為未知參數(shù)，參數(shù)近似值為含有尺長(zhǎng)改正項(xiàng)的誤差方程為式中是尺長(zhǎng)改正參數(shù)。參數(shù)平差值及觀測(cè)值改正數(shù)解為，，，，，，，，對(duì)附加系統(tǒng)參數(shù)的必要性進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)量為選顯著水平，以自由度查分布表得臨界值為因，結(jié)論是有必要引進(jìn)附加系統(tǒng)參數(shù)。對(duì)附加系統(tǒng)參數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)量為選顯著水平，以自由度2查分布表得臨界值為因，結(jié)論是附加系統(tǒng)參數(shù)顯著?！?0—2數(shù)據(jù)探測(cè)及可靠性理論測(cè)量數(shù)據(jù)中的粗差由于難以描述其規(guī)律性，因而不如偶然誤差或系統(tǒng)誤差易處理。且由于粗差只存在于個(gè)別觀測(cè)值當(dāng)中，因而也不易用平差的方法予以處理。這使得關(guān)于粗差或含有粗差觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理方法與偶然誤差和系統(tǒng)誤差的處理方式有所不同。如圖10-2所示前方交會(huì)測(cè)量中，假設(shè)有一個(gè)角度觀測(cè)值含有粗差。如果只在、兩點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，則無(wú)法判斷觀測(cè)值是否含有粗差。如果在、、三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)對(duì)兩組坐標(biāo)計(jì)算值進(jìn)行比較將可以發(fā)現(xiàn)粗差的存在，但不能肯定哪一個(gè)角度觀測(cè)值含有粗差。如果在另一個(gè)已知點(diǎn)上同樣進(jìn)行觀測(cè)，則可以得到三組未知點(diǎn)的坐標(biāo)值。此時(shí)通過(guò)比較這三組坐標(biāo)值，不僅可以發(fā)現(xiàn)粗差的存在，也可以判斷哪個(gè)觀測(cè)值含有粗差。顯然，測(cè)量系統(tǒng)的可靠性與多余觀測(cè)數(shù)有關(guān)。測(cè)量系統(tǒng)如果沒(méi)有多余觀測(cè)，其可靠性為零。此時(shí)，觀測(cè)精度再高也沒(méi)有意義。因此，對(duì)于測(cè)量系統(tǒng)而言，不僅應(yīng)考慮觀測(cè)精度的高低，也應(yīng)考慮可靠性的高低?？煽啃允窍到y(tǒng)發(fā)現(xiàn)粗差的能力或概率的大小。測(cè)量平差系統(tǒng)的可靠性理論主要研究=1\*GB3①在理論上，平差系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)和區(qū)分不同模型誤差的能力，及不可發(fā)現(xiàn)的模型誤差對(duì)平差結(jié)果的影響。=2\*GB3②尋找在平差過(guò)程中自動(dòng)發(fā)現(xiàn)、區(qū)分及定位模型誤差的實(shí)用方法。對(duì)于粗差的檢驗(yàn)識(shí)別及定位，通常在兩種假設(shè)條件下進(jìn)行。一種假設(shè)認(rèn)為粗差為非隨機(jī)變量，將其歸入函數(shù)模型進(jìn)行處理。另一種假設(shè)認(rèn)為粗差為隨機(jī)量，是一種方差異常大的隨機(jī)量。一.多余觀測(cè)分量粗差是觀測(cè)值的真誤差，而觀測(cè)值的殘差是真誤差的近似值。因此，應(yīng)利用殘差分析觀測(cè)值粗差的實(shí)際情況。設(shè)平差的線性函數(shù)模型為(10—35)，(10—36)參數(shù)的最小二乘估值為=(10—37)單位權(quán)方差估值為（10—38）對(duì)誤差方程做變換得（10—39）由于（10—40）將上式代入（10-39）式，并顧及（10-37）式得（10—41）若觀測(cè)值含有粗差，則真誤差可以分成兩部分，即偶然誤差和粗差之和。改正數(shù)也應(yīng)分成兩部分，即由偶然誤差和粗差引起的改正數(shù)兩部分組成。（10—42）其中是偶然誤差引起的部分，而是粗差引起的部分。由(10-41)式或（10-42）式可知，某一個(gè)觀測(cè)值的粗差對(duì)所有觀測(cè)值的改正數(shù)均有影響。某一粗差對(duì)自身觀測(cè)值改正數(shù)的影響為（10—43）矩陣稱為平差的幾何條件，也稱為可靠性矩陣或結(jié)構(gòu)矩陣。它只與平差圖形結(jié)構(gòu)和觀測(cè)值權(quán)陣有關(guān)，并不含有觀測(cè)值本身，因而可以在實(shí)際觀測(cè)之前求出。結(jié)構(gòu)矩陣具有如下一些特性。①（）是冪等陣，即 （10—44）平差系統(tǒng)的多余觀測(cè)數(shù)等于（）的跡，即（10—45）（）為降秩矩陣，即。因此，不能利用公式（10-41）由改正數(shù)求得觀測(cè)值真誤差。（）的第個(gè)對(duì)角線元素稱為第個(gè)觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量，記為。（10—46）（10—47）代表該觀測(cè)值在總多余觀測(cè)數(shù)中的分量大小。當(dāng)觀測(cè)值間不相關(guān)時(shí)，即觀測(cè)值權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)，有0≤≤1。若=0，表示該觀測(cè)值為完全必要觀測(cè)，粗差或誤差將完全得不到改正；若=1，則表示該觀測(cè)值為完全多余觀測(cè)，粗差或誤差將完全分配到觀測(cè)值當(dāng)中，也就是將對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行完全改正。由（10-43）式可得=（10—48）由上式可以看出，多余觀測(cè)分量代表粗差反映在自身改正數(shù)中的百分比。通常觀測(cè)誤差只部分反映于它的改正數(shù)當(dāng)中。當(dāng)沒(méi)有多余觀測(cè)時(shí)，即多余觀測(cè)數(shù)時(shí)，所有的多余觀測(cè)分量=0。此時(shí)，所有觀測(cè)值的改正數(shù)為零，觀測(cè)值將完全包含觀測(cè)誤差而得不到調(diào)節(jié)。⑤由（）計(jì)算改正數(shù)中誤差。觀測(cè)值改正數(shù)的方差為(10—49)當(dāng)觀測(cè)值互不相關(guān)時(shí)即（10—50）例10—2：如圖10-3所示單三角形，各角度為等精度獨(dú)立觀測(cè)值。設(shè)平差值為未知參數(shù)和，則可以組成如下誤差方程其中和為度的近似值，在此可取觀測(cè)值。平差的幾何條件為可知每個(gè)觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量均為。這意味著，不論哪個(gè)觀測(cè)值含有粗差，此粗差分配到自身觀測(cè)值改正數(shù)當(dāng)中的分量均為。且由的結(jié)構(gòu)可以看出，如果某個(gè)觀測(cè)值含有粗差，此粗差將平均分配到各個(gè)觀測(cè)值改正數(shù)當(dāng)中。二．可靠性的度量1．內(nèi)部可靠性的概念設(shè)有如下平差數(shù)學(xué)模型（10—51）（10—52）對(duì)上述模型作最小二乘估計(jì)，并做如下統(tǒng)計(jì)量。 （10—53）當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，引起改正數(shù)平移,總改正數(shù)為,此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望為（10—54）因?yàn)橐虼耍?0—55）式中。也就是說(shuō)當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從非中心化分布，即。就是由粗差引起的分布中心的平移量，稱為非中心化參數(shù)。當(dāng)選擇顯著水平和檢驗(yàn)功效時(shí)，就可以確定可檢測(cè)的臨界值。平差系統(tǒng)中，殘差是觀測(cè)值的線性函數(shù)，可以寫成一般形式如下。(10—56)當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，對(duì)殘差的影響為（10—57）上式除以，表示以單位權(quán)中誤差為單位的粗差及殘差影響值。(10—58)令 （10—59）式中列向量的長(zhǎng)度為1，即，為長(zhǎng)度因子。將（10-58）及（10-59）式代入（10-55）式得（10—60）因此（10—61）對(duì)于，可得相應(yīng)的。此時(shí)或（10—62）就是在顯著水平和檢驗(yàn)功效下的可發(fā)現(xiàn)粗差向量的下界值，或稱最小值。只有一個(gè)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，向量中只有相應(yīng)的元素為非零，即（10—63）此時(shí)，（10-62）式變成，（10—64）就是可發(fā)現(xiàn)之單個(gè)粗差最小值，是內(nèi)部可靠性的度量值。對(duì)于（10-51）式所描述的平差模型而言，殘差估值為（10—65）上式與(10-56)式相比較而言，，,將其代入（10-61）式，并顧及得（10—66）式中是最小二乘平差結(jié)果，與何種平差方式無(wú)關(guān)。假設(shè)只在第個(gè)觀測(cè)值中存在粗差，此時(shí)，則有（10—67）由和可確定。當(dāng)為對(duì)角陣時(shí)有（10—68）將上式代入（10-64）式得（10—69）由上式知，內(nèi)部可靠性與成反比，與成正比。因此，為了提高內(nèi)部可靠性，應(yīng)提高觀測(cè)精度和增加多余觀測(cè)。在（10-69）式中設(shè)（10—70）稱為可控性數(shù)值，它單純反映觀測(cè)值可靠性尺度，與精度無(wú)關(guān)，因而可以用來(lái)比較各觀測(cè)值之間內(nèi)部可靠性。由（10-70）式知（10—71）由上式可知，觀測(cè)值中誤差的倍，就是可發(fā)現(xiàn)粗差的最小值，也就是以顯著水平和檢驗(yàn)功效可被發(fā)現(xiàn)的粗差的最小值。2．外部可靠性的概念將不可發(fā)現(xiàn)的粗差對(duì)平差未知參數(shù)及其函數(shù)的影響稱為外部可靠性。對(duì)于單個(gè)觀測(cè)值含有粗差的情形，不可發(fā)現(xiàn)的粗差對(duì)參數(shù)平差值的影響向量長(zhǎng)度為（10—72）式中。巴爾達(dá)將下列影響向量長(zhǎng)度作為外部可靠性指標(biāo)。（10—73）整理得（10—74）由上式可知，當(dāng)確定后，外部可靠性與多余觀測(cè)數(shù)有關(guān)，越大，可靠性越強(qiáng)。對(duì)于參數(shù)平差值的任意線性化函數(shù)，不可發(fā)現(xiàn)的觀測(cè)值粗差的影響為（10—75）上式中是向量和以加權(quán)的內(nèi)積，即（10—76）因此有（10—77）將上式代入(10-75)式，并顧及和（10-74）式得（10—78）由上式可知，粗差對(duì)函數(shù)的影響與外部可靠性指標(biāo)及函數(shù)中誤差成正比。描述測(cè)量系統(tǒng)內(nèi)外部可靠性的指標(biāo)、和都是與控制網(wǎng)的基準(zhǔn)及觀測(cè)值的大小無(wú)關(guān)的量。因此，當(dāng)控制網(wǎng)設(shè)計(jì)完成后，就可以求出上述可靠性指標(biāo)，并對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，以驗(yàn)證控制網(wǎng)能否滿足要求。巴爾達(dá)認(rèn)為對(duì)觀測(cè)值準(zhǔn)確度的描述，應(yīng)包含精度與可靠性兩方面的含義。三．單個(gè)粗差的檢驗(yàn)及定位1968年，荷蘭巴爾達(dá)在他的名著《大地網(wǎng)的檢驗(yàn)方法》中，首次提出“數(shù)據(jù)探測(cè)”方法及可靠性理論，成為測(cè)量系統(tǒng)檢驗(yàn)及剔除粗差的理論基礎(chǔ)?，F(xiàn)假設(shè)只在單個(gè)觀測(cè)值中含有粗差，并對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。由（10-41）式可知，當(dāng)觀測(cè)值不含粗差時(shí)，即時(shí)，有。因此，可以通過(guò)對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)的方式來(lái)檢驗(yàn)觀測(cè)值中是否含有粗差。已知單位權(quán)中誤差時(shí)，可以采用下列正態(tài)變量作為檢驗(yàn)量，稱為標(biāo)準(zhǔn)化殘差。（10—79）做如下原假設(shè)和備選假設(shè)。，成立時(shí)（10—80）用作為統(tǒng)計(jì)量對(duì)粗差進(jìn)行檢驗(yàn)，是數(shù)據(jù)探測(cè)法理論的核心。通常取選用的顯著水平。此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的臨界值為。即當(dāng)，或時(shí)拒絕，認(rèn)為該觀測(cè)值存在粗差。當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，對(duì)該觀測(cè)值改正數(shù)的影響為（10—81）改正數(shù)的變化導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)化殘差發(fā)生偏離，偏離量如下。（10—82）此時(shí)成立，即。雖然實(shí)際上成立，但仍然可能犯第二類錯(cuò)誤，即納偽錯(cuò)誤，認(rèn)為觀測(cè)值的粗差不顯著?，F(xiàn)在要問(wèn)，觀測(cè)值的粗差多大時(shí)，才能夠以顯著水平和檢驗(yàn)功效被發(fā)現(xiàn)。相對(duì)應(yīng)的可發(fā)現(xiàn)的最小統(tǒng)計(jì)量，即非中化參數(shù)是和的函數(shù)，可用表示。（10—83）已知后，可以計(jì)算粗差的可發(fā)現(xiàn)下界值。（10—84）選定的和與可發(fā)現(xiàn)粗差或非中心化參數(shù)的下界值列于表10-1中。表中值是一定顯著水平下標(biāo)準(zhǔn)化殘差檢驗(yàn)的臨界值，也就是當(dāng)觀測(cè)值不存在粗差時(shí)，它不同于最小可發(fā)現(xiàn)粗差或非中心化參數(shù)。它們之間的關(guān)系如圖10-4所示。當(dāng)單位權(quán)中誤差未知，且觀測(cè)值相互獨(dú)立時(shí)，可以采用如下統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)的依據(jù)。（10—85）式中（10—86）為觀測(cè)值的多余觀測(cè)數(shù)。當(dāng)單位權(quán)中誤差未知時(shí)，也可以采用下列統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)的依據(jù)。（10—87）為單位權(quán)中誤差的估值。對(duì)于統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)，可以查分布表，當(dāng)時(shí)，認(rèn)為觀測(cè)值中含有粗差。對(duì)于統(tǒng)計(jì)量，其臨界值亦可通過(guò)分布表，由下列公式求得。（10—88）以上所述粗差的檢驗(yàn)方法在理論上是嚴(yán)密的，但在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)出現(xiàn)一些困難。首先對(duì)單個(gè)粗差的檢驗(yàn)而言，由于某個(gè)觀測(cè)值粗差會(huì)對(duì)所有觀測(cè)值的殘差都有影響，因而，不只一個(gè)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，有可能出現(xiàn)的情形是含有粗差的觀測(cè)值不一定有最大殘差，而不含粗差的觀測(cè)值卻可能有較大殘差。且在檢驗(yàn)時(shí)可能出現(xiàn)的情形是，統(tǒng)計(jì)量超限，但觀測(cè)值不含粗差，或統(tǒng)計(jì)量不超限，但觀測(cè)值卻含有粗差。例10—3：如圖10-5所示測(cè)邊網(wǎng)，其中為已知點(diǎn)，共有10個(gè)邊長(zhǎng)觀測(cè)值，并假設(shè)邊長(zhǎng)觀測(cè)值為等精度獨(dú)立觀測(cè)值。試計(jì)算各觀測(cè)值的內(nèi)、外可靠性。解：平差時(shí)將待定點(diǎn)的坐標(biāo)作為未知參數(shù)，并列出相應(yīng)的誤差方程?，F(xiàn)將計(jì)算所得各觀測(cè)值的多余觀測(cè)數(shù)、內(nèi)可靠性及外可靠性數(shù)值列于表10-2中。此例中，取顯著水平，及，由表10-1得。由表10-2中的數(shù)據(jù)可以看出，第1、2、3、4、6、7邊長(zhǎng)觀測(cè)值的多余觀測(cè)數(shù)相對(duì)較多，其內(nèi)、外可靠性較強(qiáng)。這些邊的可發(fā)現(xiàn)粗差值為觀測(cè)值中誤差的倍。第5和8邊長(zhǎng)觀測(cè)值的多余觀測(cè)數(shù)較小，它們的內(nèi)、外可靠性亦較差，說(shuō)明網(wǎng)的外部邊緣部分的觀測(cè)值可靠性要較網(wǎng)內(nèi)部的觀測(cè)值差得多。第9、10邊長(zhǎng)觀測(cè)值的多余觀測(cè)數(shù)為零，因而無(wú)法發(fā)現(xiàn)這些觀測(cè)值中所包含的粗差，這種情形是不允許出現(xiàn)的§10—3穩(wěn)健估計(jì)一．穩(wěn)健估計(jì)的意義平差中未知參數(shù)的估值取決于觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，所建立的數(shù)學(xué)模型及采用的估計(jì)準(zhǔn)則。最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則在觀測(cè)值中大誤差頻率高出觀測(cè)值的正常正態(tài)分布應(yīng)有的頻率時(shí)，也就是觀測(cè)值含有粗差時(shí)，會(huì)使參數(shù)估值受影響較大。為此，一些學(xué)者提出了一些剔除粗差的方法，例如，切尾均值和中位數(shù)等估計(jì)方法便具有良好的穩(wěn)健性。在測(cè)量平差中常采用如下高斯—馬爾科夫模型。（10—89）（10—90）（10—91）并在最小二乘準(zhǔn)則條件下，對(duì)未知參數(shù)及精度進(jìn)行估計(jì)。此時(shí)的參數(shù)估值是無(wú)偏和最優(yōu)的，即（10—92）（10—93）如果實(shí)際情況與模型的描述不相符時(shí)，例如觀測(cè)值誤差的期望，或者中一些元素的先驗(yàn)估值不準(zhǔn)確時(shí)，參數(shù)估值可能就不是無(wú)偏的，或是其方差為最小。觀測(cè)值含有粗差時(shí)，可以將觀測(cè)值看作大方差觀測(cè)值。此時(shí)，應(yīng)對(duì)估計(jì)準(zhǔn)則提出新的要求，使得新準(zhǔn)則具有一定的抗干擾性。而穩(wěn)健估計(jì)符合這一要求。作為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的描述，建立了某種數(shù)學(xué)模型，并認(rèn)為這種模型只是一種近似。對(duì)于此類模型的處理，穩(wěn)健估計(jì)方法應(yīng)具有下述特性。（1）假設(shè)模型正確時(shí)，參數(shù)估計(jì)量具有良好性質(zhì)，或是接近最優(yōu)。（2）假設(shè)模型與實(shí)際有小的偏離時(shí)，參數(shù)估值亦是良好的。（3）假設(shè)模型與實(shí)際有較大的偏離時(shí)，參數(shù)估值質(zhì)量亦不會(huì)變得很差。上述特性說(shuō)明穩(wěn)健估計(jì)對(duì)于模型有較小偏差時(shí)，會(huì)得到較好的結(jié)果。如果觀測(cè)值含有較大粗差，穩(wěn)健估計(jì)結(jié)果亦不會(huì)變得很差。代價(jià)是模型正確時(shí)，所得結(jié)果并非是最優(yōu)的。穩(wěn)健估計(jì)就是對(duì)偏離理論模型情形的不敏感性。穩(wěn)健性是相對(duì)概念，不存在所謂“最穩(wěn)健的方法”。因此，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，有選擇何種估計(jì)方法的問(wèn)題。例如，對(duì)某一量進(jìn)行了5次觀測(cè)，觀測(cè)值分別為=1.9、2.1、1.8、2.3、3.9，且。現(xiàn)要求根據(jù)觀測(cè)值對(duì)真值進(jìn)行估計(jì)。按最小二乘法，參數(shù)估值為樣本均值。按切尾均值法，去掉一個(gè)最大值和最小值，然后取平均值得按中位數(shù)法，將觀測(cè)值按大小順序排列，如果觀測(cè)值是奇數(shù)個(gè)，取中間值作為未知參數(shù)的估值。如果觀測(cè)值是偶數(shù)個(gè)，取中間兩個(gè)數(shù)的平均值作為未知參數(shù)估值。此時(shí)有以上3種方法相比較而言，當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，最小二乘法參數(shù)估值與真值差異較大，切尾均值與中位數(shù)法的結(jié)果所受影響要小的多，即具有較強(qiáng)的抗干擾性。二．穩(wěn)健估計(jì)的方法穩(wěn)健估計(jì)方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)有幾十種之多，其中較為實(shí)用的只有提出的估計(jì)法。估計(jì)法可分為選權(quán)迭代法和范數(shù)最小法兩類。最小二乘法要求，它對(duì)大誤差或粗差較為敏感。解決方法是用對(duì)大誤差不敏感的函數(shù)代替平方和函數(shù)，如可以取，使得 （10—94）稱為最小和法或1—范數(shù)最小法?？梢宰C明，在對(duì)對(duì)稱分布中心的估計(jì)中，如一個(gè)量的系列觀測(cè)值平差中，最小和法估計(jì)量便是樣本中位數(shù)。如前所述，這是一種較好的穩(wěn)健估計(jì)方法?？梢詫?duì)估計(jì)法進(jìn)行一般性定義。設(shè)有函數(shù)，,存在，使得在非增，在非降。若有由觀測(cè)值組成的統(tǒng)計(jì)量滿足條件（10—95）則稱為參數(shù)的一個(gè)估計(jì)。估計(jì)的函數(shù)可以不同，因而估計(jì)是一類估計(jì)。之所以稱為估計(jì)，是因?yàn)樾问缴吓c極大似然估計(jì)（縮寫為）具有相似之處的緣故。滿足（10-95）式條件的參數(shù)估值不唯一，但當(dāng)函數(shù)處處連續(xù)時(shí)，一定存在參數(shù)解。進(jìn)一步，當(dāng)函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，有唯一參數(shù)解。如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則（10-95）式也可以寫成如下形式。（10—96）估計(jì)的性質(zhì)與的選擇有關(guān)。估計(jì)可以表述為一個(gè)極值問(wèn)題，且一般而言要解算非線性方程，因此需要進(jìn)行迭代計(jì)算。設(shè)平差中的誤差方程為（10—97）將其帶入（10-95）式，并對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，令其為零得 （10—98）設(shè) （10—99）則（10-98）式變?yōu)椋?0—100）上式相當(dāng)于間接平差中的法方程，此法方程相當(dāng)于（10—101）的解。由于法方程（10-100）式中的權(quán)是改正數(shù)的函數(shù)，所以給定權(quán)的某一個(gè)初值后，應(yīng)進(jìn)行迭代計(jì)算求解。因而，上述平差方法稱為選權(quán)迭代法。范數(shù)最小法采用如下形式的函數(shù)。（10—102）式中的有利范圍為1.0～1.5，或1.2～1.5之間。當(dāng)時(shí)，就是最小和法。范數(shù)最小法的權(quán)函數(shù)式為 （10—103）式中是一個(gè)較小的數(shù)，以避免權(quán)函數(shù)式的分母為零的情形。選權(quán)迭