薄板彎曲問題彈性理論分析及數值計算

薄板彎曲問題彈性理論分析及數值計算

課程設計指導教師： 孫秦學 院： 航空學院姓 名： 程云鶴學 號： 2011300092班 級： 01011105

薄板彎曲問題彈性理論分析及數值計算一、一般三維體彈性系統(tǒng)求解微分方程體系總結1、 彈性力學中的基本假定連續(xù)性，即假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿。完全彈性，物體在引起形變的外力被除去后可完全恢復原形均勻性，即假定物體是由同一材料組成的。各向同性，物體的彈性在所有各個方向都相同。和小變形假定，即假定位移和形變是微小的。2、 平衡微分方程在一般空間問題中，包含15個未知函數，即6個應力分量、6個形變分量和3個位移分量，它們都是x,y,z坐標變量的函數。對于空間問題，在彈性體區(qū)域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立平衡微分方程、幾何方程和物理方程；并在給定約束面或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應力邊界條件。然后在邊界條件下根據所建立的三套方程求解應力分量、形變分量和位移分量。在物體內的任一點P,割取一個微小的平行六面體，如圖1-1所示。根據平衡條件即可建立方程。分別以連接六面體三對相對面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程ZM二0，可證明切應力的互等性：T=T,T=T,T=Tyzzyzxxzxyyx(2)分別以x軸、y軸、z軸為投影軸，列出投影的平衡方程SF=0，ZF=0,x yEFEF二0，對方程進行約簡和整理后,z得到空間問題的平衡微分方程如下Qd°T QQd°T QT x+ + zx+f=0Qx Qy Qz xQd Qt Qt竺+3+?+f=0Qz Qx Qy z圖1-1圖73、物體內任一點的應力狀態(tài)現在，假定物體在任一點P的6個直角坐標面上的應力分量◎,QQ,T=T,T=T,T=T為已知，試求經過P點的任一斜面上的應力。xyzyzzyzxxzxyyx為此，在P點附近取一個平面ABC,平行于這一斜面，并與經過P點而平行于坐標面的三個平面形成一個微小的四面體PABC，如圖1-2所示。當四面體PABC無限減小而趨于P點時，平面ABC上的應力就成為該斜面上的應力。圖7-2命平面ABC的外法線為n'，則其方向余弦為三角形ABC上的全應力p在坐標軸上的投影用ppp代表?根據四面體的x,y,z平衡條件進行推到，可以得出p=lc+mT+nT,TOC\o"1-5"\h\zx x yx zxp=me+nT+It (1—2)y y zy xyp=no+It+mT.z zxz yz丿設三角形ABC上的正應力為o，則o=lp+mp+np，將式1—2代入，并n n x y z分別用T,T,T代替T,T,T，即得yzzxxy zyxzyxo=/20+m2o+n2o+2mnT+2nlT+2lmT (1—3)n x y z yz zx xy設三角形ABC上的切應力為t，則由于p2=o2+t2=p2+p2+p2，得n nn x y zT2=p2+p2+p2-o2 (1—4)n x y z n由式1-3和1-4可見，6個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。在特殊情況下，如果ABC是物體上受面力作用的邊界面s，則p,p,p成為面力分量xyzf,f,f，于是由式1-2得空間問題的應力邊界條件xyzyx zx+nT +Ity+lyx zx+nT +Ity+lTzxz yzCo+mT+nTzy xy+mTs z(1-5)應力狀態(tài)有三種表示方式如下:如圖1-2,在圖中表示應力狀態(tài)矩陣oT Tx xy xz[o]=totyx y yzT T ozx zy z」該矩陣為一對稱陣。(3)應力向量o=o,o,o,T,T,T]xyzxyyzzx4、物體內任一點的應變狀態(tài)過空間一點P所有方向上的線應變和角應變的集合稱為P點的應變狀態(tài)，通

過該點作三個相互垂直的線元。該三線元長度改變(線應變)和線元間夾角改變(角應變)的集合就完整地代表了P點的應變狀態(tài)。三個線應變?yōu)?,8,￡,三個角應變?yōu)椋篩,Y,Y-xyyzzx應變狀態(tài)的表示方式如下:向量形式,8,8,Y ,Y ,Y]yzzxxyzxyyzzx矩陣形式[8]=8[8]=8x12Y2yx12Y2zxxy8y12Y2zy12Y2xz12Y2yz5、幾何方程和物理方程(1)空間問題的幾何方程du dv dw8=，8=du dv dw8=，8=，8=—，

x dx y dy z dzYyzdw dv du dw dv du= + ，y= + ，Y= +_dy dz dx dy(1—6)幾何方程的矩陣形式為8=Lu(在V內)，其中L為微分算子d

dx0d_dz0d

dxd

dz000d

dz0d

dy

d

dx空間問題的物理方程，在材料力學中根據胡克定律導出如下8ydw dvY=+ ，y8ydw dvY=+ ，y dy dz+c)lxdu dwY= + -zx dz dxYxy(1-7)根據關系e=1—2卩0,其中0=8+8+8為體應變，0=a+Q+Q為體積E xyz xyz應力，0與0間的比例常數上土稱為體積模量，可推得物理方程的另一種形式E0+8，(1-8)1+p(1一2py丿(1-8)E E ETyz= yz，Tzx= zx，Tx廣 xy物理方程的矩陣形式為G=D8或8=Cg，其中D為彈性矩陣,C為柔度矩陣,兩矩陣為互逆關系。1p1—ppp1—p1pD_E(1-0p)1—p1—p(1+p)(1-2p)000000p0001—pp0001—p100001—2p01一2p0\J02(1—p)0\J0002(1—p)01—2p2(1—p)_4、邊界條件(1)根據物體內任一點的應力狀態(tài)可得空間問題的應力邊界條件，即式1-5(2)空間問題的位移邊界條件為(1-9)(U)二u,(v)二v,(w)二w(1-9)s s s5、按位移求解空間問題按位移求解問題，是取位移分量為基本未知函數，并要通過消元法，導出彈性體區(qū)域內求解位移的基本微分方程和相應的邊界條件。將幾何方程代入物理方程，得出用位移分量表示應力分量的彈性方程，再將該彈性方程代入平衡微分方程得按位移求解時所需用的基本微分方程。6、按應力求解空間問題按應力求解空間問題，是取應力分量為基本未知函數。對空間問題來說就是,就是要從15個基本方程中消去位移分量和形變分量，得出只包含6個應力分量方程，進行求解。二、板彎問題基本概念及微分方程1、有關概念(1)在彈性力學里，兩個平行面和垂直于這兩個平行面的柱面或棱柱面所圍成的物體，稱為平板，或簡稱板，如下圖所示。這兩個平行面稱為板面，而這個柱面或棱柱面稱為側面或板邊。兩個板邊之間的厚度§稱為板的厚度，而平分厚度§dwwwrwwwwrwwwwrwwwwrw^的平面稱為板的中間平面，或簡稱為中面。如果板的厚度§遠小于中面的最小尺寸b，這個板就稱為薄板，否則就稱為厚板。當薄板受有一般載荷時，總可以把每個載荷分解為兩個分載荷，一個是平行于中面的所謂縱向載荷，另一個是垂直于中面的所謂橫向載荷。對于縱向載荷，可以認為它們沿薄板厚度均勻分布，因而它們所引起的應力、形變和位移，可以按平面應力問題進行計算。橫向載荷將使薄板彎曲，它們所引起的應力、形變和位移，可以按薄板彎曲問題進行計算。薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板彈性曲面，而中面內各點在垂直于中面方向的位移，稱為撓度。這里只討論薄板的小撓度彎曲理論。2、薄板彎曲問題的計算假定為了建立薄板的小撓度彎曲理論，除了引用彈性力學的5個基本假定外，還補充提出了3個計算假定。垂直于中面方向的線應變，即￡可以不計。z取￡=0，則又幾何方程中的=0，從而得w=w(x,y)。即橫向位移w只z dz是x,y的函數，不隨z而變。因此，在中面的任一根法線上各點都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。應力分量T,T和b遠小于其余3個應力分量，因而是次要的，它們所引起xzyz Z的變形可以不計(注意：這三個次要應力分量本身都是維持平衡所必需的，不能

不計)。因為不計T及工所引起的形變，所以有Y二0,Y二0。于是由幾何方程xzyz zx yzdu dw1-6可以得一du dw1-6可以得一+一dz dx二0。從而得善二dwdv， dxdz(2-1)由于8二0,y二0,y二0，可見中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮，并且z zx yz成為彈性曲面的法線。在上述計算假定中雖然米用了8=0,y=0,y=0，但在以后考慮平衡條件z zx yz時，仍然必須計入3個次要的應力分量T,T和Q。因此，在薄板的小撓度彎曲xzyz z理論中，放棄了關于8,y和y的物理方程。因為不計Q所引起的形變，所以zzxyz z薄板的物理方程成為8x8y(2-2)8x8y(2-2)yxy2(1+卩)TE xy薄板中面內的各點都沒有平行于中面的位移，即(u)二0,(v)二0。z=0 z=0，所以由上式得出中面內的形變分量均為因為8上,8=竺,y=竺+色，所以由上式得出中面內的形變分量均為xdxydyxydxdy零，即(8)=0,(8)=0,(y)=0 (2-3)xz=0 yz=0 xyz=0也就是說，中面的任意一部分，雖然彎曲成為彈性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形狀卻保持不變。3、將縱向位移，各應變分量和應力分量分別都用撓度w來表示薄板的小撓度彎曲問題是按位移求解的，只取撓度w=w(x,y)作為基本未知函數。(1)將縱向位移u，v用撓度w表示。dz dxdz-dW得v=--dWz+f(x,y),u=--dWz+f(x,y)由計算假定

dy dy 1 dz dxdz(1-3)，得代刃二0,宀滬0。于是縱向位移表示為U一券V"朱(2)將主要應變分量￡,￡,Y用w表示。把①中所得的u,v代入幾何方程中的對應xyxy3u 32w 3v 32w 3v 3u 32w z、項得￡_ __ z,￡_ _—z，Y_ + __2 z(a)x 3x 3x2 y 3y 3y2 xy 3x 3y 3x3y將主要應力分量QQe用w表示。由薄板的物理方程2-2求解應力分量得xyxy(b)q (￡+y￡)q= (￡+y￡)，t =E、y(b)x1_y2 xyy1_y2yx xy 2(1+y)xy把式a中所得應力分量代入上式得q一旦(凹+y巴),q一旦(巴+y巴),tq一旦(凹+y巴),q一旦(巴+y巴),t_

x1_y2 3x2 3y2 y1_y2 3y2 3x2 xyEz1+卩dxdy(2-4)(4)將次要應力分量t,t用w表示?？梢詰闷胶馕⒎址匠痰那皟墒竭M行求解,xzyz且因為不存在縱向載荷，體力分量f=0,f=0，由此得x y3t 3q 3t 3tex_—x—產,-3z 3x 3y 3:Qt把的表達式2-4代入得33w 33w、 + 2丿 zx二一dz 1_卩2(3x3 Qxdy33w+33w'1_y2(3y3 3y3x2丿其中引用記號V2=￡1+。將上兩式對Z積分，得dx2 dy2Ez2 3Ez2 3tzx二茹帀3V2w+F(x，y)'tzy二眾善V2w+Fx，y)其中F(x,y),F(x,y),可根據薄板的上、下板面的邊界條件來求出，即12(t) _0， (t ) _0應用這兩個邊界條件求出F(x,y),F(x,y)以后，即得zx 丄b zy 1 2z_±2t,t的表達式xzyz

T=zxT=zyT=zxT=zy62)

z2———f4丿Qx62)z2— 2V2W「(2-5)2(1-H2)I4丿dy(5)將更次要應力分量b用w表示。z應用平衡微分方程1-1的第三式，取體力分量為0得咯=-6-雲z (c)如果體力分量f工0,可以把薄板的每單位面積內的體力和面力都歸入到上板面z的面力中去，一并用q表示,(d)即q-f)6+f)a+^6/2的面力中去，一并用q表示,(d)zz--2 zz—2-6/2z這只會對最次要的應力分量b引起誤差，對其它的應力分量則沒有影響。z注意T—T,T—T，將這兩個應力分量的表達式代入式(C),得xzzxyzzyQbEQz 2(1--2)(4E對z進行積分，得到E對z進行積分，得到b=Ez‘62 Z3、—z—-(e)—V4w+F(x,y)2(1--2)I4 3丿3 7其中待定函數F(x,y)可以由薄板的下版面的邊界條件來確定，即C)6—0zz—2將式(e將式(e)代入,求出F(x,y)，再代回式(e),即得b的表達式3 ZEb——zEb——z2(1一—2)6)

z一一2丿V4w-- E63‘1一z1+云V4W6(1一H2)12 o丿^o(2-6)4、推導彈性曲面的微分方程現在導出w的微分方程。由薄板的上板面的邊界條件(b)6=-q，其中qzz—-2是薄板每單位面積內的橫向載荷，包括橫向面力及橫向體力，將b的表達式代z入得(2-7)E6^- V4w—q(2-7)12(1-H2) 壯(2-8)DV4w=q,(2-8)eS3 …其中的D=一稱為薄板的彎曲剛度，它的量綱是L2MT-2，方程2-8稱為12(1-卩2) 薄板的彈性曲面微分方程，或撓曲微分方程。三、矩形薄板彎曲問題的求解1、泛函和變分的概念(1)假想函數y(x)的形式發(fā)生改變而成為新的函數Y(x)。如果對應于x的一個定值，y具有微小的增量5y二Y(x)-y(x)，則增量Sy稱為函數y(x)的變分?？梢宰C明導數的變分等于變分的導數，因此微分的運算和變分的運算可以交換次序。(2)如果對于某一類函數y(x)中的每一個函數y(x)，變量I有一個值和它對應，則變量I稱為依賴于函數y(x)的泛函，記為I=I[y(x)]。簡單地說，泛函就是函數的函數。⑶基于能量原理的變分法是一種近似法，所謂變分問題，就是泛函求極值的問題。2、彈性體的應變能彈性體單位體積的應變能為(3-1)8+C8+C8+Ty+T丫+T丫)(3-1)xxyyzzxyxyyzyzzxzx也可以稱為應變比能。整個彈性體的應變能為U』怦，其中。為彈性體的體積，將其代入式(3-2)(a8+a8+a8+ty+ty+ty)dQ(3-2)zzxyxyyzyzzxzx可以將應變能表示為用應力或應變表達的形式，可以證明彈性體的應變比能對于任一應力分量求導就等于相應的應變分量，彈性體的應變比能對于任一應變分量的偏導數就等于相應的應力分量。3、虛位移原理設有一彈性體在外力(包括體力分量X,Y,Z和一部分面力分量X,Y,，)作用下處于平衡狀態(tài)。假如有一組位移分量u,v,w,既能滿足用位移表示的平衡方程，

又能滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應力邊界條件。設想在彈性體幾何約束所允許的條件下，給它一個任意的微小的變化，即所謂的虛位移或位移變分8u,8v,8w，得到一組新的位移u'二u+5u,v'二v+5v,w'=w+5w此時外力在虛位移上所做的功，即虛功為(3-3)SAJJJ(X8u+YSv+Z6w)d0+JJ(X5u+F8v+ZSw)(3-3)Q Sp其中Q為彈性體的全部體積，S為彈性體的全部表面積，S為給定外力的表面,pS為給定位移的表面。假定彈性體在虛位移的過程中沒有溫度和速度的改變，u即沒有熱能和動能的改變。按照能量守恒定律，應變能在虛位移上的增量SU應當等于外力在虛位移所做的虛功SA，即SU=SA得位移變分方程(3-4)SU= (XSu+YSv+ZSw)dQ+JJ(XSu+YSv+ZSw)(3-4)TOC\o"1-5"\h\zQ sp按照變分原理SU=SQ1 Q1其中Su1為單位體積應變能的增量。把應變比能看作應變分量的函數，由上式得Su=LUQ(dU^ dU dU dU Su=LUQ——iSe+——iSe+——iSe+——Sy+——iSy+——iSy

x 6e y 6e z Qy xy 3y yz 3y ◎x y z xy yz zx=fffCSe+gSe+gSe+tSy+tSy+tSy》QQxxyyzzxyxyyzyzzxzx將式3-4代入得(3-5)(xSu+YSv+ZSw)dQ+JJQSu+YSv+ZSw^Z(3-5)=jjJCSe+cSe+cSe+tSy+tSy+tSy》Qqxx yy zzxyxyyzyzzxzx這就是虛位移原理的表達式，也可稱為虛功方程。由此，彈性體的虛位移原理可敘述為：設一彈性體在已知體力和面力作用下處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于彈性體所積累的虛應變能。4、最小勢能原理根據式3-4，由于虛位移是微小的，在虛位移過程中，外力的大小和方向可以認為保持不變，所以式3-4右邊的積分號內的變分記號S可提到積分號前并整理得

6U-B!(Xu+Yv+Zw)dG—ff(Xu+Yv+Zw)dSLG Sp取A=fff(Xu+Yv+Zw)dG+ff(Xu+Yv+Zw)dS，顯然A為外力在實際G Sp位移u,v,w上所做的功。假設外力是勢力場中的力，則(-A)應等于外力的勢能,用記號V表示。彈性體的應變能和外力勢能之和，稱為彈性系統(tǒng)的總勢能，用記號口表示，得得最小勢能原理：在給定外力作用下而保持平衡的彈性體，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中，實際存在的一組位移應使總勢能稱為極值。當考慮二階變分時，可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是最小值。5、求解薄板彎曲問題(1)存在于彈性體中的應變能為(3-6)U=1fff (c8 8+c8+ty+t丫+t丫)dG(3-6)2gxxyyzzxyxyyzyzzxzx根據薄板彎曲問題中的有關假設c,y,y是為次要應力分量，在式3-6中略去有zxzyz關的項，利用物理方程消去應變分量得t2 dGxyc ) 1+t2 dGxy2+c2-2pccj+———x y xy 2將式2-4代入上式，得用位移w表示的應變能為u=帀去)fffz2r2丄2Gu=帀去)fffz2r2丄2G—|LX>d2wd2wdx2dy2(QxQy丿將上式對z積分并整理得等厚薄板的應變能U可表達為U=—ff 2w)2-2(1-卩)d2wd2wdx2dy2(QxQy丿>dxdy>dxdydz(3-7)對于板邊全部固定的任何形式的板和板邊w=0的矩形板,對于板邊全部固定的任何形式的板和板邊w=0的矩形板,可對式3-7進行化簡,用分部積分可得d2wd2wd2w d2wdw,dxdy= dx-dxdydxdy sdxdydxd2wdw d2wd2w,,dy+ dxdysdy2dx dx2dy2dy2dxdwd2w d2wdw,dxdy= dx-dxdxdy2 sdxdydx其中s為薄板的邊界對于固定邊，不論邊界形狀如何可得K情況下薄板應變能表達式為U=f“O對于固定邊，不論邊界形狀如何可得K情況下薄板應變能表達式為U=f“O2wO2wOx2Oy2、0x2 dy2丿、2dxdy/O2w、2?Oy丿dxdy二0，在該(3-8)(2)薄板彎曲問題中的邊界條件設圖中OA邊是固定邊，0C邊是簡支邊，AB邊和(2)薄板彎曲問題中的邊界條件設圖中OA邊是固定邊，0C邊是簡支邊，AB邊和BC邊是自由邊。沿著固定邊OA(x=0),薄板的撓度w等于零，彈性曲面的斜率空(即轉角)也等于零，所以邊界Ox=0,f°w條件是(w)x=0l°x丿x=0acbAB沿著簡支邊OC(y=0)，薄板的撓度w等于零，彎矩M也等于零，所以邊界y條件是(w) =0,(M) =0y=0 yy=0用撓度w用撓度w表示為(w)y=0=0,O2w O2w' +y Oy2 Ox2丿y=0如果前一個條件得到滿足，即撓度w在整個邊界上都等于零，則竽在整個d2w|d2w|Oy2丿y=0邊界上也等于零，所以簡支邊OC的邊界條件可以簡寫為(w) =0,y=06、薄板彎曲問題中Ritz法薄板中總勢能為口為撓度w的泛函，設定一組包含若干待定系數的撓度的級數形式的表達式，其中每一分量均滿足問題中的邊界條件，根據最小勢能原理,求解使總勢能口取最小值的待定系數，即可求得撓度的表達式，這是求解薄板彎曲問題的Ritz法。7、四邊簡支矩形薄板的重三角級數解求解薄板的小撓度彎曲問題，首先要在板邊的邊界條件下，由彈性曲面微分方程求出撓度w。界條件下，由彈性曲面微分方程求出撓度w。當無支座沉陷時，對于四邊簡支的矩形薄板,邊界條件是(w)x=0(w)x=a=0,=(w)x=0(w)x=a=0,=0,x=0d2w'(w)y=0(w)y=b=0,=0,dx2丿x=ad2w'y=0d2w'dx2丿y=b=0=0=0=0(a)取撓度w的表達式為如下重三角級數w=無另Asin sin—y (b)mnabm=1n=1其中的m和n是正整數，代入式(a)，可見全部邊界條件都能滿足，為了求出系數A，將式(b)代入微分方程得mnm=1n=1/m22m=1n=1/m22n22+—b2丿Amnsinm兀x.sina=q(x,y)將式右邊的載荷q(x,y)展開成重三角級數，即q(x,y)=mq(x,y)=m=1n=1mn.m兀x.n兀y

sinsinab(c)式中的a可以按三角級數的通常確定方法進行求解，解得mnamnq(x,y)sinamnq(x,y)sinm兀x.n兀y

sin

abdxdy得系數Amn“b.m兀x.n兀y,,

4JaJbqsin sindxdy=00 a b— r \m2n2

+ 、a2 b2丿兀4abD(f)當薄板受橫向均布載荷時，q成為q0，式⑴中的積分式成為fab.m兀x.n兀y qabbqsinsindxdy= 0000ab 兀2mn(1-cosm兀)(1-cosn兀)由式⑴得Amn4q(1-cosm兀)(1-cosn兀)0(、2小 由式⑴得Amn4q(1-cosm兀)(1-cosn兀)0(、2小 m2 n22兀6Dmn——+—、a2 b2丿A= o (m=1,3,5...；mn (m2 n2)2兀6Dmn——+—、a2 b2丿n=1,3,5.)代入式(b),即得撓度的表達式i6qyyw=o兀6Dm=1,3,5n=1,3,5.m兀￥.n兀y

sinsinab7aTm2 n22mn——+—、a2 b2丿當薄板在任意一點(g，耳)受集中載荷F時，可以用微分面積dxdy上的均布載荷—來代替分布載荷q,式⑴中的q除了在(g,n)處的微分面積上等于―二以dxdy dxdy外，在其余各處都等于0,此時A= mn兀4abD(m2n2)2dxdy + 、a2 b2丿F.m兀g.n兀耳77

sinsindxdy

a b、2m2n22一+—a2b2丿.m兀g.n兀耳sinsina代入式(b)得撓度的表達式為w=.m兀g.n兀耳

sinsin4FYya b-m兀x.n兀ya —sinsinab兀4abDm=1n=1(、2m2 n22 + 、a2 b2丿8、四邊簡支矩形薄板的Ritz法求解其邊界條件同(a),取撓度表達式為w=血”Amnm=1n=1.m兀x.n兀y

sinsinab(g)--Amn則也=yydx2m=1n=1.m兀x.n兀ysinsinabd2w=yyQy2m=1n=1-Amn.m亦.n兀ysinsin-abm=1n=1dxm=1n=1dxdy.mn兀2 m兀x n兀yA cos cos——mnab ab應變能的表達式為U=掃2w)-2(1-r)d2wd2wdx2dy2>dxdyd2wdy2丿(QxQy丿dx2dy2ldxdy丿丿>dxdy將撓度偏微分的算式代入，根據Lb.m兀x. n兀y abbsin2 sin2dxdy=-TOC\o"1-5"\h\z00a b 4Lb m兀x n兀y abbcos2 cos2dxdy=-00 a b 4fab.m兀x.n兀y 4abbsin sindxdy=—00a b 兀2整理得U=區(qū)另整理得U=區(qū)另m=1n=1DabA2m2兀2 mn8、n2兀2

+ a2 b2丿總勢能為口=席gm=1n=1DabA2fm2兀2n2總勢能為口=席gm=1n=1DabA2fm2兀2n2兀2)2 + a2b2丿 mn-84qAab 0—mn mn兀2應用Ritz法得=0解得A= ;dA mnmn 兀6Dmn16q0—( 、2m2n22)——+—、a2b2丿代入式(g)，即得撓度的表達式w=16q0yy兀6Dm=1,3,5n=1,3,5sm-sinab(、2m2n2mn+—(a2b2丿m兀x.受集中載荷F時，外力的勢能為“ fyy人.m兀g.n兀耳」」yyV=- Asinsindxdy=dxdy mna bm=1n=1m=1n=1f-FAsin座sin凹］、mna b丿橫向均布載荷作用時外力的勢能為mn兀2丿m=1n=1V=』打yyAsin空sin巴y〃xdy=無另〔-%分嚴0omn兀2丿m=1n=1m=1n=1總勢能為口-血"m—1n=1DabA2(m總勢能為口-血"m—1n=1DabA2(m2兀2n2兀2+a2 mn8應用Ritz法得H=0，解得A—QA mnmn代入式（g）,即得撓度的表達式為丫_ ?m兀g.n兀耳一FAsin sin a b兀4abDmn、2m2n22一+—b2丿.m兀g.n兀耳sinsina b4F8-w— 乙乙兀4abDm=1n=1.m兀.n兀耳sinsin8 a b-m兀x.n兀ya sinsinab(、2

m2 n22—+—、a2 b2丿2、四邊固支矩形薄板的Ritz法求解當無支座沉降時,對于四邊固支的矩形薄板，邊界條件是（W）x=0(w)x=a（W）y=0(w)y=b-0，(!x)x=0-0,懐］x=a廠Qw、&丿y=0lQx丿y=b=0,=0,取撓度的表達式為w=

VV ? m兀x. n兀yAsin2 sin2-mna bm=1n=1對其進行微分運算得3w Am兀.n兀y.2m兀xmn— —Qx a bam=1n=12Am2兀2 2m兀x. n兀ymn cos sin2 Qx2 a2 a bm=1n=1Qw VVAn兀.m兀x. 2n兀y——mn— 一Qy b a bm=1n=1d2w VV2An2兀2 2n兀y. m兀x— mn——cos sm2 dy2 b2 b a■mn—b2m=1n=1應變能的表達式為U=f片譽煜:忖且有JJb00277yy3m4兀4A2b

dxdy= mn—4a3m=1n=1a2w丫ay2丿8V3n4兀4A2adxdy= mn—4b3m=1n=1JaJbffax2ay2丿2yydxdy=m=1n=1A2兀4m2n2—mn—4ab將其代入應變能的表達式，整理得U=席8DA2兀4mn 8a3b3m=1n=13m4bU=席8DA2兀4mn 8a3b3m=1n=13m4b4+3n4a4+2m2na2b2)當橫向均布載荷作用時，外力的勢能為V=—MqyyASin2空sin2怛dxdy一藝另分代ab000 mn a b 40 mnm=1n=1m=1n=1總勢能為n=u+v=yym=1n=1DA2兀4 Aqabmn (3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一 一8a3b3 4應用Ritz法，令°口—0，即DA””"4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一q°ab=0SA 4a3b3 4mn解得A= 也一mnD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m兀x. n兀ya4b4qsin2 sin2 得撓度w=yy8 0aD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m=1n=1當集中載荷作用時JyyAsin2墮sin2空dxdy=abV=-dxdy ””m=1n=1一yyFAsin2咗sin2空abmnm=1n=1n=u+v=yym=1n=1DAmn8a3b32兀4 兀g兀耳(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一FAsin2 sin2mnan應用Ritz法，令aA-=0，即mn

DA兀4 兀g 兀耳mn (3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一Fsin2 sin2 =04a3b3 ab兀g 兀耳4Fa3b3sin2 sin2——解得A解得AmnD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)兀g.兀耳.mKx. n兀y4Fa3b3sin2——sm2——sm2 sm2 得撓度w=士 aba b_D兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m=1n=1四、利用Patran和Nastran建模對矩形薄板彎曲問題進行求解1、 Patran建模和Nastran分析的一般流程和分析中所設置的數據導入或建立幾何模型一選擇分析求解器一劃分有限元網格一施加約束及載荷邊界條件一設置材料特性及單元特性一設置分析參數一提交分析一對分析結果進行后處理。設置矩形薄板的數據如下：長5(m),寬4(m),薄板厚度為0.01(m),彈性模量為10e9(Pa),泊松比為0.3,橫向均布載荷合力為10N,中心集中載荷為10N。分別對四邊簡支和四邊固支的情況進行求解2、 后處理之后軟件分析結果各情況下的位移云圖如下所示：四邊簡支矩形薄板受橫向均布載荷情況下的位移云圖:Patran201164-Bit20-Mar-l518:06:47Fringe:DefaultA1:Patran201164-Bit20-Mar-l518:06:47Fringe:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements,Tra8.5JJ0+0018.01-0047.44-004Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displaceme.00+001Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displaceme.00+0016.29-0040045.15-0040044.00-0043.43-004kn2.86-004^00^.29-OO4B004J1.14-004.0(^|default_Fringe:Max8.58-004?Nd179MinO.@Nd1default_Def0rmati0n:Max8.58-004?Nd179四邊簡支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖:Patran201164-Bit20-Ma.r-1517:11:380030032.18-003Patran201164-Bit20-Ma.r-1517:11:380030032.18-0032.01-0031.84-0030030030031.17-0031.00-0038.37-0046.70-0045.02-004004OMFringe:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements.TranslationalMagnitude,(NON-U\YERED)Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements,default_Fringe:Max2.51-003?Nd179MinO.@Nd1defau11_Deformation:Max2.51-003?Nd179四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖:四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖:Patran201164-Bit20-Ma.r-l516:59:16Patran201164-Bit20-Ma.r-l516