第三章游戲中數(shù)學(xué)與物理應(yīng)用第三節(jié)向量及其

向量及其應(yīng)用向量基礎(chǔ)及其運(yùn)算向量的概念、向量相等的概念、向量的幾何表示向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則掌握零向量、向量的模、單位向量掌握向量運(yùn)算的使用方式在數(shù)學(xué)中，把只有大小但沒有方向的量叫做數(shù)量，在物理中常稱為標(biāo)量。既有大小又有方向的量叫做向量。如力、位移、速度、加速度等.在線性代數(shù)中的向量是指n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組，稱為n維向量。在物理中向量也叫矢量6.3向量及其應(yīng)用6.3.1向量基本概念向量的書寫形式是使用方括號將一列數(shù)括起來。行向量：[1，2，3]列向量：使用標(biāo)寫下標(biāo)的方法來表示n維。向量中的任意一個(gè)分量，如表示第一個(gè)分量為v1。2D向量分量3D向量分量則AB=(x2－x1,y2－y1)若A(x1,y1),B(x2,y2)，6.3向量及其應(yīng)用6.3.1向量基本概念在物理學(xué)中把向量叫做矢量，矢就是箭，向量如同一根箭一樣有頭部和尾部。箭在空間自由飛行時(shí)，箭桿的長度不會改變，這一點(diǎn)和向量相同。但箭在重力的作業(yè)下最終會落地，也就意味著方向會改變，而矢量一旦定義好方向，是永遠(yuǎn)不會變的。已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是A和B，那么這個(gè)向量可以記為

。如果是為了和其他量區(qū)別，則在符號頂上加上箭頭表示向量，如6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念向量的末端向量的開始向量有頭部和尾部，箭頭是向量的末端，箭尾是向量的開始。向量可以用有向線段來表示：有向線段的長度表示向量的大小。有向線段箭頭所指方向表示向量的方向。6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念向量的作用1:描述一個(gè)方向點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示，用向量可以表示直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的位置.QPR<M>(x,y,z)記:點(diǎn)M為M(x,y,z)OZxYMZXY6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念向量的作用2:描述一個(gè)點(diǎn)(1)若點(diǎn)M在yz面上,則x=0;

在zx面上,則y=0;

在xy面上,則z=0.(2)若點(diǎn)M在

x軸上,則y=z=0在y軸上,則x=z=0在z軸上,則x=y=0引申:6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念沿著直線飛行的箭在每一時(shí)刻所表示的無數(shù)向量屬于同一個(gè)向量，這些向量實(shí)際上是平行的向量，另外還有不在一條直線上的平行而相等的向量，也屬于同一個(gè)向量結(jié)論：向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量,即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置“位移”是與“位置”不同的概念，位移只有大小和方向，沒有確定的地點(diǎn)，即向量沒有絕對位置。6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念凡是兩個(gè)向量大小相等、方向相同，我們就說這兩個(gè)向量是相等的。因此在保持長度和方向不變的條件下可以自由移動(dòng)為方便定義可以把向量定義在從坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)。3D向量中由3個(gè)方向上的分量表示：x，y，z，分別度量在這3個(gè)軸上的位移。2D和3D向量都是將其分解成與軸平行的分量，把這些分量的位移組合起來，就得到了向量整體代表的位移。右圖表示向量（2，-3,4）的位置6.3向量及其應(yīng)用6.3.2向量的幾何概念運(yùn)算法則向量的大小稱作向量的長度或向量的模，向量的模，記作。n維向量大小的計(jì)算公式：2D向量的模3D向量的模注：向量的模是一個(gè)不為負(fù)的標(biāo)量。6.3向量及其應(yīng)用6.3.3向量的模1）零向量零向量是指大小為零的向量。記作0，如：一個(gè)2D零向量，表示為[0，0]一個(gè)3D零向量，表示為[0，0，0]有無數(shù)個(gè)相同大小的向量零向量實(shí)質(zhì)上是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量零向量是惟一大小為0，惟一沒有方向的。它的方向是不確定的，可以根據(jù)需要假設(shè)其方向。規(guī)定：所有的零向量都相等．6.3向量及其應(yīng)用6.3.4幾種特殊的向量2）反向量與數(shù)字一樣，一個(gè)向量也有反向量。一個(gè)向量的反向量與它大小相等，但方向相反，一般記作設(shè)任意向量，都存在一個(gè)向量，滿足+

=0，若要得到n維向量的負(fù)向量，可以將該向量的每一個(gè)分量變?yōu)樵撓蛄康呢?fù)向量：6.3向量及其應(yīng)用6.3.4幾種特殊的向量3）單位向量向量的模為1的向量叫做單位向量，把一個(gè)向量單位化僅需把向量除以它的模就可以4）

平行向量也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.5）

相等向量：長度相等且方向相同的向量.a/|a|6）

正交向量：互相垂直的兩個(gè)向量，叫正交向量6.3向量及其應(yīng)用6.3.4幾種特殊的向量游戲的畫面都是在窗口中顯示，所以窗口就是一個(gè)2D坐標(biāo)系。運(yùn)動(dòng)物體的軌跡就是物體在這個(gè)坐標(biāo)系曲線運(yùn)動(dòng)結(jié)果，而描述這些曲線運(yùn)動(dòng)的，就是向量。使用向量可以很好的模擬物理現(xiàn)象以及基本的AI.6.3向量及其應(yīng)用6.3.5向量在游戲中使用的案例

上海香港臺北6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法

上海香港臺北O(jiān)AB6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法OA+AB=OBOAB位移的合成可看作是向量的加法。6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法三角形法則：CAB首尾連首尾相接已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a和b的和，記作a+b6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法ABCDE6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法當(dāng)在數(shù)軸上兩個(gè)向量共線時(shí)，加法的三角形法則是否還適用？如何作出兩個(gè)向量的和？（1）（2）ABCBCA若a,b方向相同，則|a+b|=|a|+|b|若a,b方向相反，則|a+b|=|a|-|b|或|b|-|a|6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法平行四邊形法則：圖1表示橡皮條在兩個(gè)力F1和F2的作用下，沿MC方向伸長了EO；圖2表示橡皮條在一個(gè)力F的作用下，沿相同方向伸長了相同長度EO。從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力F與F1、F2之間的關(guān)系如何？MCEOF1F2圖1MEOF圖2F=F1+F2F2F1F6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法OABC起點(diǎn)相同以同一個(gè)點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊做平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線OC就是a與b的和，即 a+b=OA+OB=OC平行四邊形法則：6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法如圖，已知向量，求作向量。平行四邊形法則平行四邊形法則：6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，即對任意OABCACD6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來表示）。ADBC6.3向量及其應(yīng)用6.3.6向量的加法6.3向量及其應(yīng)用6.3.7向量的減法一般地三角形法則（1）起點(diǎn)必須相同（2）指向被減向量的終點(diǎn)（b的頭指向a的尾）6.3向量及其應(yīng)用6.3.7向量的減法有游戲開發(fā)中，經(jīng)常用向量的減法實(shí)現(xiàn)求某一個(gè)方向這樣的操作例如：捕魚達(dá)人3中，炮口的位置需要根據(jù)角色觸控位置來計(jì)算它正確的朝向炮口正確的朝向向量=觸控點(diǎn)坐標(biāo)–炮的坐標(biāo)6.3向量及其應(yīng)用6.3.8向量的數(shù)乘一個(gè)變量與一個(gè)向量相乘，稱之為向量的數(shù)乘。運(yùn)算法則：用該標(biāo)量與向量的每一維相乘k*U=[k*U.x,k*U.y,k*U.z]6.3向量及其應(yīng)用6.3.8向量的數(shù)乘向量數(shù)乘在游戲開發(fā)中的作用：經(jīng)常用于讓某個(gè)游戲物體朝某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，向量本身用來描述運(yùn)動(dòng)方向，標(biāo)量用來描述在這個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)速度，而結(jié)果用來描述在某個(gè)方向上，按照運(yùn)動(dòng)速度所產(chǎn)生的位移量。類似如下散射的炮彈，就是計(jì)算出每個(gè)炮彈的方向，然后利用向量數(shù)乘實(shí)現(xiàn)各自的運(yùn)動(dòng)效果今天我們主要內(nèi)容是向量的初步知識，對向量的數(shù)學(xué)定義和幾何定義有了一定的認(rèn)識。通過一些特殊向量的講解，對向量的理解更深刻一些。向量的基本運(yùn)算，包括加法、減法、數(shù)乘。詳細(xì)了解了這些運(yùn)算的幾何意義，對以后游戲的開發(fā)有很大的幫助。判斷題1、兩個(gè)向量是互為相反向量，則兩個(gè)向量共線（）2、相反向量就是方向相反的量（）1.向量與數(shù)量有何區(qū)別?2.怎樣來表示向量?3.什么叫相等向量向量?問答題小測試判斷題1、兩個(gè)向量是互為相反向量，則兩個(gè)向量共線（對）2、相反向量就是方向相反的量（錯(cuò)）數(shù)量只有大小沒有方向,如:長度