二次曲線方向、中心漸近線

5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線1.二次曲線的漸近方向我們在§5.1中看到二次曲線和具有方向的直線（1）（2）的交點參數(shù)滿足或者直線全部在二次曲線上，成為二次曲線的組成部分.當(dāng)滿足條件（3）時，交點數(shù)目會有三種情況或者只有一個實交點，或者沒有交點，這說明,直線方向會影響其與曲線的交點.方向(3)具有特殊性.我們將(3)所示的方向定義為二次曲線的漸近方向.我是特殊方向定義5.2.1

滿足條件的方向叫做二次曲線（1）的漸近方向，否則叫做非漸近方向.（3）

因為二次曲線（1）的二次項系數(shù)不能全為零，所以漸近方向所滿足的（3）總有確定的解.下面考慮(3)存在漸近方向的個數(shù)問題.如果，那么把（3）改寫成得如果，把（3）改寫成（3）如果，那么把（3）改寫成得所以這時（3）

如果那么一定有這時（3）變?yōu)榭偨Y(jié)以上討論的各種情況,漸近方向的數(shù)目?最多兩個!(從比值的角度看)（3）如果，漸近方向滿足如果，漸近方向滿足

如果漸近方向滿足這說明漸近方向的數(shù)目最多兩個!(從比值的角度看)有虛方向嗎?區(qū)分一下虛實方向.（3）如果，漸近方向滿足如果，漸近方向滿足

如果漸近方向滿足從上我們看到，當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；（3）如果，漸近方向滿足如果，漸近方向滿足

如果漸近方向滿足從上我們看到，當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線有一個實漸近方向；（3）如果，漸近方向滿足如果，漸近方向滿足

如果漸近方向滿足從上我們看到，當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線有兩個實漸近方向.因此二次曲線的漸近方向最多有兩個.總結(jié):當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線的漸近方向是一對共軛的虛方向；當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線有一個實漸近方向；當(dāng)且僅當(dāng)時，二次曲線有兩個實漸近方向.顯然二次曲線的非漸近方向有無數(shù)多.因此,可以利用漸近方向?qū)⒍吻€分類定義5.2.2

沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型的。

因此二次曲線（1）按其漸近方向可以分為三種類型，即1)橢圓型曲線：；2)拋物型曲線：；3)雙曲型曲線：.例1求下列二次曲線的漸近方向,并指出曲線屬于何種類型.(1)(2)解:(1)漸近方向滿足即:解得:有兩個實漸近方向.是雙曲型曲線.也可以由得到是雙曲型曲線.解:(2)漸近方向滿足即:解得:有兩個虛漸近方向.是橢圓型曲線.也可以由得到是橢圓型曲線.p195.1.現(xiàn)在請大家做課堂練習(xí)2.

二次曲線的中心與漸近線

我們在§5.1中又看到，當(dāng)直線的方向為二次曲線（1）的非漸近方向時，即當(dāng)時，直線與二次曲線總交于兩個點（兩個不同實的，兩重合實的或一對共軛虛的）.我們把由這兩點決定的線段叫做二次曲線的弦.AB線段AB是弦定義5.2.3

如果點是二次曲線的通過它的所有弦的中點（因而是二次曲線的對稱中心）,那么點叫做二次曲線的中心。C我們這些弦都被C平分稱C為中心根據(jù)這個定義，當(dāng)點為二次曲線（1）的中心時，那么過以任意非漸近方向為方向的直線與二次曲線交于兩點點就是弦的中點.C(x0,y0)M1M2那么過以任意非漸近方向為方向的直線與二次曲線交于兩點設(shè)交點M1與M2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.則有注意(a)所以(a)意味著由前面所得而另一方面,直線與二次曲線的交點對應(yīng)的參數(shù),可以由下列方程解得從韋達(dá)定理得（4）因為為任意非漸近方向，所以（4）式是關(guān)于的恒等式，從而有（4）

反過來，適合上面兩式的點，顯然是二次曲線的中心.這樣我們就得到了下面的定理：定理5.2.1

點是二次曲線的中心，其充要條件是（5）

所以，二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定（5）解:例1求曲線的中心.二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定解得:二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定（5）推論

坐標(biāo)原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含與的一次項。由上面的方程容易得到推論例如(0,0)為中心.定義5.2.2沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲線型的。

因此二次曲線（1）按其漸近方向可以分為三種類型，即1)橢圓型曲線：；2)拋物型曲線：；3)雙曲型曲線：.復(fù)習(xí)二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定（5）下面將利用中心把二次曲面分類.下面將利用中心把二次曲面分類.先考慮中心最多有多少?由于二次曲線的中心坐標(biāo)由下列方程組決定（5）如果系數(shù)行列式那么(5)有唯一的解.此時,二次曲線有唯一的中心.如果系數(shù)行列式即，二次曲線沒有中心；而當(dāng)時，那么當(dāng)如果系數(shù)行列式即，時，（5）（5）無解，（5）有無數(shù)多解,換句話說,直線（或）上的所有點都是二次曲線的中心，這時這條直線叫做中心直線.定義5.2.4有唯一中心的二次曲線叫做中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫做無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫做線心二次曲線，無心二次曲線與線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.例2橢圓拋物線一對平行直線

根據(jù)這個定義，我們得二次曲線按其中心得分類：1）中心曲線：2）非中心曲線：，

無心曲線：，

線心曲線：。即由前面關(guān)于曲線按漸近方向的分類二次曲線按其漸近方向可以分為三種類型，即1)橢圓型曲線：；3)雙曲型曲線：.2)拋物型曲線：；因此橢圓型曲線與雙曲型曲線都是中心曲線.拋物型曲線是非中心曲線，它包括無心曲線與線心曲線.定義5.2.5

通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做這二次曲線的漸近線.而拋物型曲線二次曲線的漸近線顯然，橢圓型曲線只有兩條虛漸近線而無實漸近線，雙曲型曲線有兩條實漸近線，中的無心曲線卻無漸近線，至于線心曲線它有一條實漸近線，就是它的中心直線.定理5.2.2

二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上，成為二次曲線的組成部分。漸近線與二次曲線的位置關(guān)系證設(shè)直線是二次曲線的漸近線.這里為二次曲線的中心，漸近方向.那么我們有為二次曲線的漸近線與二次曲線沒有交點；因此