第5章 平行線與相交線知識總結與測驗

PAGEPAGE7第五章平行線與相交線復習知識要點一．余角、補角、對頂角1、余角：如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角.2、補角：如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角.3、對頂角：如果兩個角有公共頂點，并且它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角.4、互為余角的有關性質：①∠1＋∠2＝90°，則∠1、∠2互余；反過來，若∠1，∠2互余，則∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，則∠2＝∠3.5、互為補角的有關性質：①若∠A+∠B＝180°，則∠A、∠B互補；反過來，若∠A、∠B互補，則∠A+∠B＝180°.②同角或等角的補角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，則∠B＝∠C.6、對頂角的性質：對頂角相等.123123456787、同一平面內兩條直線的位置關系是：相交或平行.8、“三線八角”的識別：三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而成的八個角.正確認識這八個角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同規(guī)”；內錯角要抓住“內部，兩旁”；同旁內角要抓住“內部、同旁”.如圖，直線被直線所截①∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）③∠5與∠4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角。三．平行線的性質與判定9、平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線.10、平行線的性質與判定：兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補。其中，由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結論是平行線的性質。11、過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行.12、兩條平行線之間的距離是指在一條直線上任意找一點向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線之間的距離.13、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.14、常見的幾種兩條直線平行的結論：（1）兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，一組內錯角的角平分線互相平行.四．尺規(guī)作圖16，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)的作圖的方法稱為尺規(guī)作圖.用尺規(guī)可以作一條線段等于已知線段，也可以作一個角等于已知角.利用這兩種兩種基本作圖可以作出兩條線段的和或差，也可以作出兩個角的和或差.考點例析：題型一互余與互補例1（內江市）一個角的余角比它的補角的少20°.則這個角為（）A.30°B.40°C.60°D.75°分析若設這個角為x，則這個角的余角是90°－x，補角是180°－x，于是構造出方程即可求解.解設這個角為x，則這個角的余角是90°－x，補角是180°－x.則根據(jù)題意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故應選B.說明處理有關互為余角與互為補角的問題，除了要弄清楚它們的概念，通常情況下不要引進未知數(shù)，構造方程求解.題型二平行線的性質與判定例2（鹽城市）已知：如圖1，l1∥l2，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A.135°B.130°C.50°D.40°分析要求∠2的度數(shù)，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解因為l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因為∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故應選B.說明本題是運用兩條直線平行，同旁內角互補求解.例3（重慶市）如圖2，已知直線l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.分析如圖2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此時由直線l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解因為l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因為∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故應填上40°.說明本題在求解過程中運用了兩條直線平行，同位角相等求解.FF圖3E圖1圖2圖1圖2例4（煙臺市）如圖3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3等于（）A.60° B.50°C.40°D.30°分析要求∠3的大小，為了能充分運用已知條件，可以過∠2的頂點作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解如圖3，過∠2的頂點作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，又因為AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故應選A.說明本題在求解時連續(xù)兩次運用了兩條直線平行，內錯角相等求解.例5（南通市）如圖4，AB∥CD

，直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，∠BEF的平分線交CD于點G，若∠EFG＝72°，則∠EGF等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°分析要求∠EGF的大小，由于AB∥CD

，則有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.解因為AB∥CD

，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，又因為EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故應選B.說明求解有關平行線中的角度問題，只要能熟練掌握平行線的有關知識，靈活運用對頂角、角平分線等知識就能簡潔獲解.圖4圖4BDGFCAE題型三尺規(guī)作圖例6（杭州市）已知角α和線段c如圖5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰長AB＝c，要求僅用直尺和圓規(guī)作圖，寫出作法，并保留作圖痕跡.圖5c圖5cαA圖6cαcBCP分析要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰長AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一邊截取BA＝c，然后以點A為圓心，線段c為半徑作弧交BP于點C，即得.作法（1）作射線BP，再作∠PBQ＝∠α；（2）在射線BQ上截取BA＝c；（3）以點A為圓心，線段c為半徑作弧交BP于點C；（4）連接AC.則△ABC為所求.如圖6.AOBB′O′圖7A′D′C′DC例7（長沙市）如圖7，已知∠AOB和射線OAOBB′O′圖7A′D′C′DC分析只要再過點O′作一條射線O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.作法（1）以O為圓心，任意長為半徑，畫弧，交OA、OB于點C、D；（2）以O′為圓心，同樣長為半徑畫弧，交O′B′于點D′；（3）以D′為圓心，CD長為半徑畫弧與前弧交于點C′；（4）過點O′C′作一條射線O′A′.如圖7中的∠A′O′B′即為所求作.說明在實際答題時，根據(jù)題目的要求只要保留作圖的痕跡即可了.相交線與平行線測試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列說法中，正確的是（）A．一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線;B．P是直線L外一點，A、B、C分別是L上的三點，已知PA=1，PB=2，PC=3，則點P到L的距離一定是1;C．相等的角是對頂角;D．鈍角的補角一定是銳角.2．如圖1，直線AB、CD相交于點O，過點O作射線OE，則圖中的鄰補角一共有（）A．3對B．4對C．5對D．6對(1)(2)(3)3．若∠1與∠2的關系為內錯角，∠1=40°，則∠2等于（）A．40°B．140°C．40°或140°D．不確定4．如圖，哪一個選項的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（）5．a，b，c為平面內不同的三條直線，若要a∥b，條件不符合的是（）A．a∥b，b∥c;B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的內錯角的鄰補角相等6．如圖2，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的條件的序號是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）7．如圖3，若AB∥CD，則圖中相等的內錯角是（）A．∠1與∠5，∠2與∠6;B．∠3與∠7，∠4與∠8;C．∠2與∠6，∠3與∠7;D．∠1與∠5，∠4與∠88．如圖4，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，則∠2的度數(shù)為（）A．36°B．54°C．45°D．68°(4)(5)(6)9．已知線段AB的長為10cm，點A、B到直線L的距離分別為6cm和4cm，則符合條件的直線L的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．410．如圖5，四邊形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，則∠A的度數(shù)為（）A．65°B．80°C．100°D．115°11．如圖6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么與∠FCD相等的角有（）A．1個B．2個C．3個D．4個12．若∠A和∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的2倍少30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30°B．70°C．30°或70°D．100°二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案填在題中橫線上）13．如圖，一個合格的彎形管道，經過兩次拐彎后保持平行（即AB∥DC）．如果∠C=60°，那么∠B的度數(shù)是________．14．已知，如圖，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．將下列推理過程補充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）16．已知直線AB、CD相交于點O，∠AOC-∠BOC=50°，則∠AOC=_____度，∠BOC=___度．17．如圖7，已知B、C、E在同一直線上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，則∠ACE為_________．(7)(8)(9)18．如圖8，已知∠1=∠2，∠D=78°，則∠BCD=______度．19．如圖9，直線L1∥L2，AB⊥L1，垂足為O，BC與L2相交于點E，若∠1=43°，則∠2=_______度．20．如圖，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC，則∠1與∠2的大小關系是________．三、解答題（本大題共6小題，共40分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）22．（7分）如圖，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于點D，∠B與∠B′有什么關系？為什么？（6分）如圖，已知AB∥CD，試再添上一個條件，使∠1=∠2成立（要求給出兩個答案）．（6分）如圖，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，說明BA平分∠EBF的道理．25．（7分）如圖，CD⊥AB于D，點F是BC上任意一點，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度數(shù)．（23）（24）（25）（26）26．（8分）如圖，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，試判斷AB和CD的位置關系，并說明理由．答案:1．D2．D點撥：圖中的鄰補角分別是：∠AOC與∠BOC，∠AOC與∠AOD，∠COE與∠DOE，∠BOE與∠AOE，∠BOD與∠BOC，∠AOD與∠BOD，共6對，故選D．3．D4．C5．C6．A7．C點撥：本題的題設是AB∥CD，解答過程中不能誤用AD∥BC這個條件．8．B點撥：∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．∵ED平分∠BEF，∴∠BED=∠BEF=54°．∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故選B．9．C點撥：如答圖，L1，L2兩種情況容易考慮到，但受習慣性思維的影響，L3這種情況容易被忽略．10．B11．D點撥：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．故選D．12．C點撥：由題意，知或解之得∠B=30°或70°．故選C．13．120°14．（1）BC；同位角相等，兩直線平行（2）CD；內錯角相等，兩直線平行（3）AB；CD；同旁內角互補，兩直線平行15．（2），（3），（5）16．115；65點撥：設∠BOC=x°，則∠AOC=x°+50°．∵∠AOC+∠BOC=180°．∴x+50+x=180，解得x=65．∴∠AOC=115°，∠BOC=65°．17．145°18．10219．133點撥：如答圖，延長AB交L2于點F．∵L1∥L2，AB⊥L1，