黑龍江省哈爾濱南崗區(qū)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列命題是假命題的是()A．對頂角相等 B．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等C．平行于同一條直線的兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行2．已知為常數(shù)，點在第二象限，則關(guān)于的方程根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷3．如圖，點C在AD上，CA＝CB，∠A＝20°，則∠BCD＝()A．20° B．40° C．50° D．140°4．如圖，已知直線，點，和點，，，分別在直線，上，和的面積之比為，邊比邊長27，則()A．3 B．12 C．9 D．185．如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件：其中不能使△ABC≌△AED的條件（）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E6．解分式方程時，去分母化為一元一次方程，正確的是()A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1)7．下列根式合并過程正確的是（）A． B． C． D．8．馬虎同學(xué)的家距離學(xué)校1000米，一天馬虎同學(xué)從家去上學(xué)，出發(fā)5分鐘后爸爸發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)課本忘記拿了，立刻帶上課本去追他，在距離學(xué)校100米的地方追上了他，已知爸爸的速度是馬虎同學(xué)速度的3倍，設(shè)馬虎同學(xué)的速度為米/分鐘，列方程為（）A． B．C． D．9．如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為、、，則、、的關(guān)系是（）A． B． C． D．10．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于點E，過點E作EF∥AC，分別交AB、AD于點F、G．則下列結(jié)論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題(每小題3分,共24分)11．將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果…，那么…”的形式_____．12．若，則的值為_____．13．如圖，長方體的長為15厘米，寬為10厘米，高為20厘米，點B到點C的距離是5厘米．一只小蟲在長方體表面從A爬到B的最短路程是__________14．在△ABC中，已知AB=15，AC=11，則BC邊上的中線AD的取值范圍是____．15．某校隨機抽查了8名參加2019年成都市初中學(xué)業(yè)水平考試學(xué)生的體育成績，得到的結(jié)果如下表：成績（分）46484950人數(shù)（人）1124則這8名同學(xué)的體育成績的眾數(shù)為_____．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交CA的延長線于點E，垂足為D，∠C＝26°，則∠EBA＝_____°．17．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數(shù)的點，其順序按圖中“”方向排列，如，，，，，根據(jù)這個規(guī)律，第個點的坐標為______．18．有5個從小到大排列的正整數(shù)，中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是8，則這5個數(shù)的平均數(shù)為__________．三、解答題(共66分)19．（10分）某校組織“大手拉小手，義賣獻愛心”活動，計劃購買黑白兩種顏色的文化衫進行手繪設(shè)計后出售，并將所獲利潤全部捐給山區(qū)困難孩子．已知該學(xué)校從批發(fā)市場花4800元購買了黑白兩種顏色的文化衫200件，每件文化衫的批發(fā)價及手繪后的零售價如表：批發(fā)價(元)零售價(元)黑色文化衫2545白色文化衫2035(1)學(xué)校購進黑.白文化衫各幾件？(2)通過手繪設(shè)計后全部售出，求該校這次義賣活動所獲利潤．20．（6分）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需14萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需24萬元．（1）求甲、乙兩種型號的機器人每臺的價格各是多少萬元；（2）已知甲型和乙型機器人每臺每小時分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計劃最多用41萬元購買8臺這兩種型號的機器人，則該公司該如何購買，才能使得每小時的分揀量最大？21．（6分）如圖1，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，-4），（1）如圖，若C的坐標為（-1,，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標；（2）在（1）的條件下，如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；（3）如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連結(jié)MD，過點D作DN⊥DM交x軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．22．（8分）某校組織全校2000名學(xué)生進行了環(huán)保知識競賽，為了解成績的分布情況，隨機抽取了部分學(xué)生的成績(得分取整數(shù)，滿分為100分)，并繪制了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整)：分組頻數(shù)頻率50.5～60.5200.0560.5～70.548△70.5～80.5△0.2080.5～90.51040.2690.5～100.5148△合計△1根據(jù)所給信息，回答下列問題：(1)補全頻數(shù)分布表；(2)補全頻數(shù)分布直方圖；(3)學(xué)校將對成績在90.5～100.5分之間的學(xué)生進行獎勵，請你估算出全校獲獎學(xué)生的人數(shù)．23．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點E、F在邊BC上，BF＝CE，求證：AE＝AF．24．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，邊AB與y軸交于點C．（1）若∠A=∠AOC，試說明：∠B=∠BOC；（2）延長AB交x軸于點E，過O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度數(shù)；（3）如圖，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點P，∠A=40°，當△ABO繞O點旋轉(zhuǎn)時（邊AB與y軸正半軸始終相交于點C），問∠P的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求其度數(shù)；若改變，請說明理由．25．（10分）（1）計算：；（2）因式分解：．26．（10分）如圖，已知點A、B以及直線l，AE⊥l，垂足為點E．(1)尺規(guī)作圖：①過點B作BF⊥l，垂足為點F②在直線l上求作一點C，使CA＝CB；(要求：在圖中標明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在所作的圖中，連接CA、CB，若∠ACB＝90°，∠CAE＝，則∠CBF＝(用含的代數(shù)式表示)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】解：A．對頂角相等是真命題，故本選項正確，不符合題意；B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故本選項錯誤，符合題意；C．平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題，故本選項正確，不符合題意；D．同位角相等，兩直線平行是真命題，故本選項正確，不符合題意．故選B．2、B【分析】根據(jù)判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，

∴，

故選：B．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．3、B【詳解】解：∵CA=CB，∠A=20°，∴∠A=∠B=20°，∴∠BCD=∠A+∠B=20°+20°=40°．故選B．4、C【分析】根據(jù)平行和三角形面積之比，可得BC和EF長度之比，再由EF和BC的差值，求出BC的長.【詳解】解：∵，和的面積之比為，∴BC：EF=1：4，即EF=4BC，又∵EF=BC+27，∴BC=9，故選C.【點睛】本題考查了三角形的面積和線段的和差倍分，關(guān)鍵是得出BC和EF的長度之比，再由方程算出BC的長，難度不大.5、B【解析】∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，

∴∠CAB=∠DAE，

A、添加AB=AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；

B、添加CB=DE不能判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；

C、添加∠C=∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；

D、添加∠B=∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此選項符合題意；

故選B．【點睛】判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．6、C【分析】最簡公分母是2x﹣1，方程兩邊都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可轉(zhuǎn)化成一元一次方程．【詳解】方程兩邊都乘以(2x﹣1)，得x﹣2＝3(2x﹣1)，故選C．【點睛】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．7、D【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A進行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對B進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進行判斷．【詳解】A、不能合并，所以A選項錯誤；

B、不能合并，所以B選項錯誤；

C、原式=，所以C選項錯誤；

D、原式=，所以D選項正確．

故選：D．【點睛】此題考查二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵在于先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．8、D【分析】設(shè)馬虎的速度為x米/分，則爸爸的速度為3x米/分，由題意得等量關(guān)系：馬虎走所用時間=馬虎爸爸所用時間+5分鐘，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：馬虎的速度為x米/分，則爸爸的速度為3x米/分，由題意得．

故選D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．9、A【分析】設(shè)三個半圓的直徑分別為：d1、d2、d1，半圓的面積=π×（）2，將d1、d2、d1代入分別求出S1、S2、S1，由勾股定理可得：d12+d22=d12，觀察三者的關(guān)系即可．【詳解】解：設(shè)三個半圓的直徑分別為：d1、d2、d1，S1=×π×（）2=，S2=×π×（）2=，S1=×π×（）2=．由勾股定理可得：d12+d22=d12，∴S1+S2=（d12+d22）==S1，所以S1、S2、S1的關(guān)系是：S1+S2=S1．故選A．【點睛】本題主要考查運用勾股定理結(jié)合圖形求面積之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于根據(jù)題意找出直角三角形，運用勾股定理求出三個半圓的直徑之間的關(guān)系．10、B【解析】利用高線和同角的余角相等,三角形內(nèi)角和定理即可證明①,再利用等量代換即可得到③④均是正確的,②缺少條件無法證明.【詳解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,∵∠ACB＝∠BAD∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,∵三角形ABC的內(nèi)角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,∴∠CAB=90°,①正確,∵AE平分∠CAD,EF∥AC，∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②錯誤,∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,∴∠BAE＝∠BEA,③正確,∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正確,綜上正確的一共有3個,故選B.【點睛】本題考查了三角形的綜合性質(zhì),高線的性質(zhì),平行線的性質(zhì),綜合性強,難度較大,利用角平分線和平行線的性質(zhì)得到相等的角,再利用等量代換推導(dǎo)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【分析】根據(jù)“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論，即可解決問題．【詳解】命題“同角的余角相等”，可以改寫成：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．12、1【分析】把所求多項式進行變形，代入已知條件，即可得出答案．【詳解】∵，∴；故答案為1．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；把所求多項式進行靈活變形是解題的關(guān)鍵．13、25【解析】分析：求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．詳解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖1：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5，∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB==25cm；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5，∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=cm；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5cm，∴AC=CD+AD=20+10=30cm，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=cm；∵25＜5＜5，∴自A至B在長方體表面的連線距離最短是25cm．故答案為25厘米【點評】此題主要考查平面展開圖的最短距離，注意長方體展開圖的不同情況，正確利用勾股定理解決問題．14、2<AD<1【分析】延長AD至E，使得DE=AD，連接CE，然后根據(jù)“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊求出AE的取值范圍，從而得解．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使得DE=AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AB=15，∴CE=15，∵AC=11，∴在△ACE中，15－11=4，15＋11=26，∴4＜AE＜26，∴2＜AD＜1；故答案為：2＜AD＜1．【點睛】本題既考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了三角形的三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將中線AD延長得AD=DE，構(gòu)造全等三角形，然后利用三角形的三邊的關(guān)系解決問題．15、1【分析】結(jié)合表格根據(jù)眾數(shù)的概念求解即可．【詳解】10名學(xué)生的體育成績中1分出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為1；故答案為：1．【點睛】本題考查了眾數(shù)的知識，掌握知識點的概念是解答本題的關(guān)鍵．16、1【分析】先根據(jù)等邊對等角求得∠ABC＝∠C＝26°，再利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠EAB=1°，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：EB=EA，最后再運用等邊對等角，即可解答.【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝26°，∵∠EAB＝∠ABC+∠C＝1°，∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠EAB＝1°，故答案為1．【點睛】本題考查了等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，其中掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.17、【分析】根據(jù)題意，得到點的總個數(shù)等于軸上右下角的點的橫坐標的平方，由于，所以第2020個點在第45個矩形右下角頂點，向上5個單位處．【詳解】根據(jù)圖形，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數(shù)等于軸上右下角的點的橫坐標的平方，例如：右下角的點的橫坐標為，共有個，右下角的點的橫坐標為時，共有個，，右下角的點的橫坐標為時，共有個，，右下角的點的橫坐標為時，共有個，，右下角的點的橫坐標為時，共有個，，是奇數(shù)，第個點是，第個點是，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律的歸納總結(jié)，重點是先歸納總結(jié)規(guī)律，然后在根據(jù)規(guī)律求點位的規(guī)律．18、【分析】根據(jù)題意以及眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得出這5個數(shù)字，然后求其平均數(shù)即可．【詳解】解：由題意得：這五個數(shù)字為：1，2，3，8，8，

則這5個數(shù)的平均數(shù)為：（1+2+3+8+8）÷5=．

故答案為：．【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分析出這五個數(shù)字．三、解答題(共66分)19、(1)學(xué)校購進黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)該校這次義賣活動共獲得3800元利潤．【分析】（1）設(shè)學(xué)校購進黑文化衫x件，白文化衫y件，根據(jù)兩種文化衫200件共花費4800元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總利潤=每件利潤×數(shù)量，即可求出結(jié)論．【詳解】解：(1)設(shè)學(xué)校購進黑文化衫x件，白文化衫y件，依題意，得：，解得：．答：學(xué)校購進黑文化衫160件，白文化衫40件．(2)(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元)．答：該校這次義賣活動共獲得3800元利潤．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．20、（1）甲、乙兩種型號的機器人每臺價格分別是6萬元、4萬元；（2）該公司購買甲型和乙型機器人分別是4臺和4臺才能使得每小時的分揀量最大．【解析】（1）設(shè)甲型機器人每臺價格是x萬元，乙型機器人每臺價格是y萬元，根據(jù)購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需14萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需24萬元，列方程組，解方程組即可；（2）首先設(shè)該公可購買甲型機器人a臺，乙型機器人（8-a）臺，根據(jù)總費用不超過41萬元，求出a的范圍，再求出最大分揀量的分配即可.【詳解】（1）設(shè)甲型機器人每臺價格是x萬元，乙型機器人每臺價格是y萬元，根據(jù)題意得解這個方程組得：答：甲、乙兩種型號的機器人每臺價格分別是6萬元、4萬元；（2）設(shè)該公可購買甲型機器人a臺，乙型機器人（8-a）臺，根據(jù)題意得6a+4（8-a）≤41解這個不等式得0＜a≤，∵a為正整數(shù)，∴a的取值為1，2，3，4，∵甲型和乙型機器人每臺每小時分揀快遞分別是1200件和1000件，∴該公司購買甲型和乙型機器人分別是4臺和4臺才能使得每小時的分揀量最大．【點睛】本題考查的是二元一次方程組和一元一次不等式的實際應(yīng)用，熟練掌握這兩點是解題的關(guān)鍵.21、（1）P（0，1）；（2）證明見解析；（3）不變；1．【分析】（1）利用坐標的特點，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出結(jié)論；

（2）過O分別做OM⊥CB于M點，ON⊥HA于N點，證出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得結(jié)論；

（3）連接OD，則OD⊥AB，證得△ODM≌△ADN，利用三角形的面積進一步解決問題．試題解析：（1）由題得，OA=OB=1．【詳解】解：∵AH⊥BC于H，∴∠OAP＋∠OPA=∠BPH＋∠OBC=90°，∴∠OAP=∠OBC在△OAP和△OBC中，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP=OC=1，則點P（0，1）（2）過點O分別作OM⊥CB于M點，ON⊥HA于N點，在四邊形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP在△COM和△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM=ON，∵HO平分∠CHA，∴；(3)的值不發(fā)生改變，理由如下：連結(jié)OD，則OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=15°，∠OAD=15°，∴OD=AD，∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA，在△ODM和△AND中，，∴△ODM≌△AND（ASA），∴∴，∴．22、（1）見解析；（2）見解析；（3）740人【分析】（1）先根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出抽查學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用頻數(shù)、頻率及樣本總數(shù)之間的關(guān)系分別求得每一個小組的頻數(shù)與頻率即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）中頻數(shù)分布表可得70.5～80.5的頻數(shù)，據(jù)此補全圖形即可；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以90.5～100.5小組內(nèi)的頻率即可得到獲獎人數(shù)．【詳解】解：（1）抽取的學(xué)生總數(shù)為20÷0.05=400，

則60.5～70.5的頻率為48÷400=0.12，

70.5～80.5的頻數(shù)為400×0.2=80，

90.5～100.5的頻率為148÷400=0.37，

補全頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)頻率50.5～60.5200.0560.5～70.5480.1270.5～80.5800.2080.5～90.51040.2690.5～100.51480.37合計4001（2）由（1）中數(shù)據(jù)補全頻數(shù)分布直方圖如下：

（3）2000×0.37=740（人），

答：估算出全校獲獎學(xué)生的人數(shù)約為740人．【點睛】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，根據(jù)第1組的數(shù)據(jù)求出被抽查的學(xué)生數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．23、見解析【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，證明△ACE≌△ABF（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴AE=AF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．24、⑴證明解析；（2）30°；（3）∠P的度數(shù)不變，∠P=25°．【分析】（1）由直角三角形兩銳角互余及等角的余角相等即可證明；（2）由直角三角形兩