工程數(shù)學(xué)2010-ch10勒讓德多項(xiàng)式和球諧函數(shù)

第十章PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 球坐標(biāo)下的亥姆霍茲xrsin球坐 yrsinsinzr下,亥姆霍茲方程2u(rk2u(r0寫(xiě)1r2u

u r2r

r

r2sin

kuu(r,,)R(r)()(),亥姆霍茲方程分離為三個(gè)方1dr2dRk2r2Rdr dr d d sin

sind

d m2

sin2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 根據(jù)量子力學(xué),質(zhì)量為的微觀(guān)粒子在勢(shì)場(chǎng)V中 2 2 2mV(r的 其中(→,t)為粒子的波函數(shù),h,h為普朗克 若V(r)V(r)V(r),可以在球坐標(biāo)下分離變量. ,t) 代入薛定諤方程,得T

22

Y(,) T

V(r) Y(,)22

1

21

r

,

sin

sin

sin2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 T令T

Y(,)E, 2式Y(jié)(,)T

22

Y(, V(r)T 2mr如果VV(r)，上式化為三個(gè)方TETi

Y(,1 Y sin

sin

sin2

Y d 2dR

EV(r)

2Rr dr dr

r2 其中Y(,)滿(mǎn)足的方程稱(chēng)為球諧函數(shù)方程當(dāng)V(r)時(shí),R(r)滿(mǎn)足的方程變?yōu)榍蜇愘惗匠蘌DF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 歐拉型方如果k0或者EV(r)0,并令2l(l1球貝賽耳方2 d2dR 2r dr化

dr

r2)Rdr2dRl(l1)Rdr dr或r2R2rRl(l1)R上式為歐拉型方程PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 歐拉型方程Rrm代入歐拉型方r2R2rRl(l1)R得m(m1)2ml(l1)rm即m(m1)l(l1)解得m1lm2(l1).由此得R(r)的通R(r)ArlB1rl注：（1）對(duì)l沒(méi)有限制（2）l0不需要單獨(dú)考PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 球諧函數(shù)方球諧函數(shù)方1

Y

sin

sin

Y 分離變量:令Y(,)()(),并且令 得關(guān)于()和()的常微分方程 d d sin

sind

d m2

sin2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 常微分方程的冪級(jí)數(shù)解連帶勒讓德方程和 d d 2

2在方 sin 2sind d sin 中做變量代換.令xcos[1,1y(x(dxsin

ddydxsin dx d dy (1x2 2 ydx

dx

1x2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 d dy

m (1x2 2 ydx dx 1x2d2

(1x2

1)

y

(1x2)上式稱(chēng)為連帶勒讓德方程.m0時(shí)的方(1x2

dy l(l1)dy 稱(chēng)為勒讓德方程PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓把試解y(x)展開(kāi)為泰勒級(jí) y(x)cxk,y(x)ckxk1,y(x)c

1)xk2k代入勒讓德方2

kd2

k(1x得

l(l1)y (1x2)ck(k1)xk22xckxk1l(l1)cxkkk

k k[ck(k1)xk2c(kl)(kl1)xk] kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 [[ck(kkk

c(kl)(kl1)xk]kkkkk k

(k2)(k1)xkc(kl)(kl1)xk]由各xn項(xiàng)系數(shù)為零cn2(n2)(n1)cn(nl)(nl1)

(nl)(nl1)(n2)(n 若y(0)c0y(0)c1已知c(l)(l1)c c(1l)(l2) 2

3 c(2l)(l3) c(3l)(l4) 4

5 (2l)(l)(l1)(l3) (3l)(1l)(l2)(l4)432 543 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德方程的通解為 y(x)c0y0(x)y(x)1(l)(l1)x2(2l)(l)(l1)(l3)

(2k2l)(2k4l)(l)(l1)(l3)(l2k1)(2k)!

y(x)x(1l)(l2)x3(3l)(1l)(l2)(l4)

(2k1l)(2k3l)(1l)(l2)(l4)(l2k)x2k1(2k由達(dá)朗貝爾判別法和

(nl)(nl1)c(nl)(nl

(n2)(n R

即當(dāng)x時(shí)y0xy1(x)和y(x)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 當(dāng)x1時(shí),達(dá)朗貝爾判別法失效.可以應(yīng)用高斯判別法對(duì)級(jí)數(shù)u如果

1,可令

wk其kk

k

uk

kukp1wk有界.如果1,級(jí)數(shù)收斂.如果1,uk對(duì)級(jí)數(shù)y01)ukk (2k2l)(2k4l)(l)(l1)(l3)(l2k1) (2k)!對(duì)級(jí)數(shù)y1(1)vkk (2k1l)(2k3l)(1l)(l2)(l4)(l2k) (2kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (2kl)(l2k1) uk

(2k2)(2k 4k26k4k22kl(l

4k2l(l1)4k22kl(l1)11

l(l1)(11/ 4k22kl(l111

l(l1)(11/k k

42/kl(l1)/k21k

k所以1,級(jí)數(shù)uk發(fā)散kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (2k1l)(l2k2)

(2k3)(2k vk

4k210k4k26k(l1)(l

4k6(l1)(l4k26k(l1)(l11

(l1)(l1)(11/k 4k26k(l1)(l111

(l1)(l1)(11/k k

46/k(l1)(l2)/k21k

k同樣1,級(jí)數(shù)vk發(fā)散kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 § l為整數(shù)時(shí)的情y(x)1(l)(l1)x2(2l)(l)(l1)(l3)

(2k2l)(2k4l)(l)(l1)(l3)(l2k1)(2k)!

當(dāng)l2k或2k1)時(shí)y0x)變?yōu)槎囗?xiàng)式,最高次冪項(xiàng)

2ky(x)x(1l)(l2)x3(3l)(1l)(l2)(l4)

(2k1l)(2k3l)(1l)(l2)(l4)(l2k)x2k1(2k1當(dāng)l2k1或2(k1)時(shí)y(x)變?yōu)槎囗?xiàng)式,最高次冪項(xiàng)x2k1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓l若多項(xiàng)式的最高冪次項(xiàng)為xl,令該項(xiàng)的系數(shù)為 l

(2l)!2l(l則由遞推公

(nl)(nl1)(n2)(n

ncn

(n2)(n(nl)(nl

可得其它項(xiàng)的系 l(l1)cl(l (2ll

2(2l

2(2l1)2l(l

2l(l1)!(l (l2)(l3) (1)2(l2)(l

(2ll

4(2l

l

4(2l 2l(l1)!(l

(2l2!2l(l2)!(lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 l l由此得到多項(xiàng)

(2l2n)!n!2l(ln)!(l2n)! (2l2k

(1)kk0

k!2l(lk)!(l2k)!

xl 當(dāng)l為偶數(shù)時(shí),P(x)中最低冪項(xiàng)為x0,即l 當(dāng)l為奇數(shù)時(shí),P(x)中最低冪項(xiàng)為x1,即l

或

l/(l1)/l所 P(x)

l或l

(2l2k

xllk

k!2l(lk)!(l2k)!Pl(x)稱(chēng)為l階勒讓德多項(xiàng)式奇偶性P(x1)lP(x).當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)P(xP(x); 特別地,P奇l(0)0.當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)Pl(xPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)l勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表lP(x)

(x

l證明:二項(xiàng)式展

2ll!l 2 ll

l 2ll!(x

1)

2lll

k

k!(l

(x k)!(1)k x2l d2ll!

(x

k k

2lk!(lk)!k(2l2k)(2l2k1)(l2k2lk!(lk (2l2k)!

xl xlk

2lk!(lk)!(l2k)!PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的圍線(xiàn)利用柯西導(dǎo)數(shù)公f(l)(z)

l!

f( C(z)l1f(21)l d

l (2Pl(x)

2ll!

(x

2ll!2i (x)l1 P(x)

(2C(x)l1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的定取圍線(xiàn)C在Czx

x21ei,dz

x2P(x)

(z21)l

(zx)l111

[(x

x21ei)2l

x22i2

ei(ll

x21ei(x21)ei2 2

ei)x2 x2

2 x2 x2

cosl2zx2zx2xC1 令xcos,Pl(cos

cosisin0

d 1 1 d P(1) (1)ld 1

cosisin0

d110

cosisin

ld1lcos2sin2cos21l0 cos2sin2d d PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的具體P(x) (x21)0 200!P(x) d(x21) d 1 P2(x)222!dx2 P(x)1(5x3 P(x)1(35x430x2 P(x)1(63x570x3 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 § 區(qū)間[-1,1]上勒讓德方程的本征值和本征函 d2 勒讓德方程(1x l(l1)y0的 y(x)y(xy(x)y(x)y(x)uvx2k

0 1k k (2k2l)(2k4l)(l)(l1)(l3)(l2k (2k)! (2k1l)(2k3l)(1l)(l2)(l4)(l2k (2k由于xcos定義在區(qū)域[1,1],當(dāng)l為非整數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)y01)和y1()發(fā)散.只有當(dāng)l為整數(shù)時(shí)級(jí)數(shù)y0(x)或y1(x)變?yōu)槎囗?xiàng)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 考慮四種不同情況當(dāng)l2k(正偶數(shù)其中k0,12...時(shí)y0x)有限y1(x)發(fā).當(dāng)l2k1正奇數(shù))時(shí)y1(x)有限y0x)發(fā)散l(2k1)負(fù)奇數(shù))與l2k的多項(xiàng)式線(xiàn)性相l(xiāng)(2k2)負(fù)偶數(shù))與l2k1的多項(xiàng)式線(xiàn)性相解,其本征值為l(l1),l0,1, 對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)可以取勒讓德多項(xiàng)

km(1)kk0m

(2l2k)! k!2l(lk)!(l2k)!

xll P(x) (xl2ll!

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的正交由9.8節(jié),斯特姆 型方程d dydxk(x)dxq(x)yw(x)y ax k(x1x2q(x)0w(x)1l(l方程化為勒讓德方d(1x2)dyl(l1)ydx dx并且有k(1)k(1)0即滿(mǎn)足自然邊界條件.因勒讓德多項(xiàng)式有正交1l(x)k(x)dx0,lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 § 球坐標(biāo)下 斯方程2u(r,,)0分離為三個(gè)方1dr2dRl(lRdr dr d d sin

sin

dl(l1)

sin2

m2則常數(shù)即m0.方程的解為u(r,,)u(r,)arl 1 l0

lrl

即解可以展開(kāi)為勒讓德多項(xiàng)式表示的廣義傅立葉級(jí)數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 考慮(r,)(1,0)上的點(diǎn)電荷q40在空間產(chǎn)生的電由庫(kù)侖定律得

12rcosr由 斯方程的解得arlP(cos),r

u(r,)lll

rl

Pl(cos),r

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 1rl ru(r,0)

1

l(1(1

1 rrr

l1lll

arl,ru(r,0)

l lll

rl

l

1,rrl比較兩者得al1,bl1.12rcosr12rcosr

rrP(cos),rll l1l

Pl(cos),rPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勒讓德多項(xiàng)式的母函12rcos12rcosr

lll

rlP(cos),r l0rl

Pl(cos),r12rx12rxrl

l

rlP(x),r l0rl

Pl(x),r12rx12rxr

稱(chēng)作勒讓德多項(xiàng)式Pl(x)的母函數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 12rx12rxl讓l

l

rlP (r1)對(duì)r求導(dǎo)得到 x lrl1P(x) 項(xiàng)l項(xiàng) x 12rxr2lrl1P(x)遞 12rxr2遞

ll (xr)rlP(x)12rxr2lrl1Pl l

l lP(x)rl1(2l1)xP(x)r

(l1)P(x)rl1 l

(x)rn(2n1)xP(x)rn (x)rn

(n1)Pn1(x)(2n1)xPn(x)nPn1(x)此即Pn(x)的遞推公式PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 遞推(n1)Pn1(x)(2n1)xPn(x)nPn1(x)可以改 (x)(2n1)xP(x)

(n

(n

xP(x)(n1) (x) n其它遞推

(2n

(2n

nPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 § 勒讓德多項(xiàng)

1P1P(x) 2l22lNl

dx

2l證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納1當(dāng)l0時(shí)左邊

P0303

dx21當(dāng)l時(shí),左邊 P(x)2dx

x2dx

2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 設(shè)ln時(shí)等式成立則當(dāng)ln1應(yīng)用遞推公式 (x)(2n1)xP(x)

(x)1

(n 1

(n

左邊 (x)2dx

(x)dx

(2n1)(n1)

11

(x)dx

(n

11

(x)dx

(x)(n2)

(x)

n

P(x)

(2n

(2n (2n1)(n2) (2n (n

(n1)(2n

Pn(x)Pn2(x)dx

(n1)(2n

Pn(x)(2n1) (2n (2n

Pn(x)

dx

(2n3)2n1

2n3即當(dāng)ln1時(shí)等式也成立.所以對(duì)所有l(wèi)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 廣義傅立葉級(jí)數(shù)展f(x)fll兩邊乘Pl(x)并在區(qū)間[1,1]上積分1f(x)Pl(x)dx-

Pl(x)-

fmPm(x)dx

2l2l1 fl2同樣在區(qū)間[0,]上

f(x)l-g()glPl(cosl2l1gl

g()l(cos)sin202PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §10.7具有軸對(duì)稱(chēng)性的物理問(wèn) 斯方程2u(r,,)0所描述的具有z軸對(duì)稱(chēng)性u(píng)(r,)

arl

lrl

l0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1.一半徑為R,總帶電量為Q的均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生解:非環(huán)區(qū)域上的電勢(shì)滿(mǎn)足 斯方程2u(r,,)其z軸對(duì)稱(chēng)的一般解u(r,)

arl

l0

rl

由庫(kù)侖定律可以直接得u(r,0)

r2 1

1r

3r

,r

R

2R2

8R 1

1R

3R

28rr 28rr

,rPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 兩者比較,可得所求的電勢(shì)rRu(r,)

1

1r

P0(cos)

2R

3r 8R

P4(cos)rR時(shí),u(r,

1

1R

P0(cos)2r

3R 8r

P4(cos) PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2.求一半徑為R的導(dǎo)體球殼內(nèi)部的電勢(shì).球殼上的電勢(shì)u(R,)U,0 解:球內(nèi)電勢(shì)滿(mǎn)足拉 斯方程2u(r,,)0.其z軸對(duì)稱(chēng)的u(r,)arl 1

rl

l0 由于r0處電勢(shì)有限得bl0.在rR u(R,)aRlP(cos lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 廣義傅立葉級(jí)數(shù)的系2l1l2aRl u(R,)P(cos)sinl2l02l12 UPl(cos)sin20 2 (2l1)Pl(cos)d21U(2l1)

11

al2Rl(2l1)UU對(duì)l

a

P0(x)dx

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 al1

2Rl

(2l

2Rl

(x) (x (x) (x) UP (cos)P l1 l 所 u(r,)arlP(cos l R2R22

l

討論:(i)如果=0或U0,整個(gè)球殼電勢(shì)為0,則u(r,)0.(ii)如果=即整個(gè)球殼電勢(shì)為U,則u(r,)U.球殼內(nèi)電 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 勻電場(chǎng)區(qū)域后球外的電勢(shì),電場(chǎng)強(qiáng)度和導(dǎo)體表面分布 解 設(shè)導(dǎo)體球放入前,電場(chǎng)E=E0?電勢(shì)分布為u0(r),Eu(r)u0E u0(r)E0zCE0rcos放入導(dǎo)體球后,在導(dǎo)體球外,z軸對(duì)稱(chēng)的拉 u(r,)arl 1

rl

l0 導(dǎo)體球的放入不影響無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì).因此在r結(jié)果應(yīng)和不放球時(shí)相同PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 1 u(r,

r

l

alr

rl

r

arlP(cos l

ru0(r,)E0rcosa0Ca1E0al2 所 u(r,)arlP(cos lCErP(cos)

b1P(cos PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

l

lrl 設(shè)導(dǎo)體表面電勢(shì)為0,即u(R,)0.由此u(R,)C

Rl

l因此bRC,bER3, lu(r,CE0rP1(cos

l

rl

R R31rCE0r1r3cos u 1 Eu(r) r r 2R3Err E0 r3 cos R3 E01r3sin PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 由靜電學(xué)的高斯定理,可以得到導(dǎo)體表面電荷密

0CR

2R3 0

r

r 0E01 cos

r0C3E 導(dǎo)體帶電總 Q ds

3E

sinR R R2

20C204 所 C

40PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 小結(jié)無(wú)電荷區(qū)域(rR)的靜電勢(shì)滿(mǎn)足 斯方2u(r)問(wèn)題具有z軸對(duì)稱(chēng)性,即u(r)u(r,u(r,)

arl 1

一般解

rl

l0 u(r)Ercos 邊界條件

r

u(r

rR分別確定al和bl.常數(shù)由導(dǎo)體球的帶電量Q決定 靜電勢(shì)和靜電場(chǎng)之間的關(guān)E(r)u0r(理想)導(dǎo)體的靜電特性:內(nèi)部電場(chǎng)為表面電場(chǎng)和表面電荷密度之間的關(guān) Er rPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 結(jié)果u(r)ErcosC,C

Q R R3u(r,)

1rCE0r1r3cos Q R

R3

1

rE0r

r3 cos 2R3 2R3Err E01 r3 cos r2E01 r3 R3

E01r3 sin 0C03Ecos

Q4

30E0PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 § 連帶勒讓德 的()(arccosx)y(x)的方程稱(chēng)為連帶勒讓德方程

x)y(x) 2xy

(1x2) m令y(x)1x22v(x),m

m則y(x)(1x2)2v(x)mx(1x2) v(x),my(x)(1x2)2v(x)2mx(1x2) v(x) m m1m(m2)x2(1x2) m(1x2) v(x). PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 m代入原方程并除去(1x2)2(1x2)v(x)2mxv(x)m(m2)x2(1x2)1mv(x)2xv(x)2mx2(1x2)1v(x)l(l1)m2(1x2)1v(x)整理各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù),v(x)v(x)v(x)

(1x22mx2x2(m1)xm(m2)x2(1x2)1m2mx2(1x2)1l(l1)m2(1x2m2(x21)(1x2)1ml(ll(l1)m(mPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (1x2)v(x)2(m1)xv(x)l(l1)m(m1)v(x)(1x2)P(x)2xP(x)l(l1)P(x) 對(duì)x求m次導(dǎo)數(shù)后得出(見(jiàn)附(1x2)P(m2)(x)2(m1)xP(m1)(x) ll(l1)m(m1)P(m)(x)l與v(x)方程比較dmv(x)P(m)(x) P ml y(x)(1x2)2P(m)lm Pm(x)(1x2)2P(m) 稱(chēng)為m階l次連帶勒讓德多項(xiàng)式PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 設(shè)yxfyxf(x)f(xxf 附y(tǒng)xf(x)f(x)f(x)xf(x)2f(x)xfy(m)xf(x)(m)mf(m1)(x)xf(m)設(shè)gx2f(x)xxfg(m)xxf(x)(m)mxf(x)(m1)xxfm(m1)fm(m1)f

mxf(m1)mxf(m1)x2f2mxf(m1)x2f對(duì)(1x2P(x2xP(xl(l1)P(x) P

x2P(m2)lll(1x2l

2(m1)xP(m1)l(l1)m(m1)P(m) PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 連帶m P0(x)(1x2)0P(0)(x)P 勒讓德多項(xiàng)式是連帶勒讓德多項(xiàng)式m0時(shí)的特殊形m dm Pml (1x2)2 P 導(dǎo)數(shù)表示將勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表示式直接代入可 dlPm(x)(1x2)2 (x2 2ll!dxlPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 m換為m連帶勒讓德方程并不改變

.因此Pm(x)也l Pm(x)和Pm(xl dlPmP

(x)

(1x2)2 (x22ll!Pm

dl (1x2

2ll!

dl

(1)m

xl(1x dxlm

(ldl dxlm

(l

xl(1)m(l(lPm(x1)m(lm)!Pm (lm)!PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 圍線(xiàn)積分表利用柯西導(dǎo)數(shù)公f(lz)

l!2i

f( C(z)l1 dlPm(x)(1x2)2 (x2 2ll!dxlm(l (2l(1x2)l

lm12l 2i C(PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 取圍線(xiàn)C在Czx

x21eidz x2m(l lPm(x)(1x2)2 l2ll 2i

(z2 C(zx)l1(lm)!

x21

[(x

x21ei)2

x22i 2ll

ei(l (lm)![(x x21ei)2 2ll

ei(l1)

xl

(lm)!

x2

(x21)ei21 l

zx2zx2xC (lm)!

x21ei(x21)ei2lPm(x)l

l

eim

ll

(lm)!

(eiei) eimx

x2

l (lm)! eimx

1cos l 令xcos,imiPm(cos)

(lm)!

cosisin

l 上式也稱(chēng)為 斯公式PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 d dxk(x)dxq(x)yw(x)y

x)y

2xy

(1x2) d dy (1x yl(l1)y dx dx (1x2它的本征值=l(l1權(quán)函數(shù)w(x1.因此,連帶1Pm(x)Pm(x)dx l -PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 212

(l (lm)!2lNm Pm(x)dx證明 Pm(x)(1)m(lm)!Pm (lm)!1 m2

(lm)!

Pm(x)Pm

(x)

dx

(lm)! m m(l

1dl

dl

(x2

1)ll(lm)! -1dxl l分部積分m次,每次積出部分代入上下限后為零,剩余積分 (l

1d dlNml

(1)m (l(l 2 (l!)

(x21)l (x21)l(lm)!N(l

(l (lm)!2lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (2l1)xPmlm)Pmlm l l證明:應(yīng)用勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系(l1)Pl1(x)(2l1)xPl(x)lPl1(x) (l1)P(m)(x)(2l1)xP(m)l m(2l1)P(m1)(x)lP(m)(x)l(2l1)P(m1)(x)P(m)(x)P(m)(x) l ll從式(i)和(ii)中消去P(m1)(x)l

l

(2l1)xP(m)(x)(lm)P(m)(x)(l1m)P(m)(x) l l兩邊乘(1x2m2由Pm(x)(1x2m2P(m)(x) (2l1)xPm(x)(lm)Pm(x)(lm1)Pm l lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (2l1)

x21/2 PPllPPl

l

l(lm)(lm1)Pm1(lm2)(lml l 1/2(2l1)1x

(l1)(lm)Pml(lm1)Pm l lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

l l(2l1)P(m)(x)P(m1)(x)P(m1)(x) l l兩邊乘(1x2m12由Pm(x)(1x2m2Pmx)PlPl

l1

l1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 廣義傅立葉ff(x)aPm l1f(x)Pm(x)dx

Pm(x)aPm(x)dx

(l - -

l(lm)!2l al

2l1(lm)!-

f(x)Pm2 (l l同樣2 (l l f()aPm(cos al

l2 (l 2l12 (l 0

f()Pm(cos)sinlPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 l§ PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 球坐標(biāo)下的亥姆霍茲xrsin球坐 yrsinsinzr下,亥姆霍茲方程2u(rk2u(r0寫(xiě)1r2u u r2r

r

r2sin

r2sin2

kuu(r,,R(r)Y(,),亥姆霍茲方程分離1dr2dRk2r2Rdr dr d dY Ysin

sin

dYsin22l(l PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 ddY11Y ddY11YdYsin2sin l(l1)時(shí)和本征值l,m相應(yīng)的本征函數(shù)稱(chēng)為球諧函數(shù): cosPm(cos lYm(,)l

sinP0(cos)P(cos m ll0,12...稱(chēng)為球諧函數(shù)Ym的階.獨(dú)立的l階球諧函數(shù)lPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 球諧函數(shù)的當(dāng)mn或者lk時(shí),Ym(,)Yn(,)單位球面積分為零 0

Ym(,)Yn(,)sind

2sinmsinn Pm(cos Pm(cos)Pn(cos)sin

cosmcosn PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 球諧函數(shù)的Nm2 Ym(,)

sind 0

2cos2mPl(cos)

sin

sin2m 012

2,m

1,