橋梁軟件應(yīng)用有限元簡介課件

第二章結(jié)構(gòu)分析的有限元法

第二章結(jié)構(gòu)分析的有限元法12.1有限元法發(fā)展簡況

利用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理St.Venant扭轉(zhuǎn)問題的近似解有限元法的研究現(xiàn)代有限元法飛機結(jié)構(gòu)分析1943Courant應(yīng)用數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師1960Tumer、Clough第一次成功嘗試第一次用三角形單元平面應(yīng)力問題解答提出了有限單元法的名稱各種非線性問題多物理場耦合問題多尺度問題商品化有限元軟件20世紀70年代國外幾何非線性：因幾何變形引起結(jié)構(gòu)剛度改變材料非線性：彈性（超彈和多線性彈性）、粘彈性、非彈性狀態(tài)非線性：接觸問題2.1有限元法發(fā)展簡況利用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函22.1有限元法發(fā)展簡況

固體力學(xué)流體力學(xué)傳熱學(xué)電磁學(xué)學(xué)科應(yīng)用力學(xué)計算結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算功能計算技術(shù)純粹數(shù)值技術(shù)前、后處理技術(shù)的高度智能化和與CAD的集成化2.1有限元法發(fā)展簡況固體力學(xué)流體力學(xué)學(xué)科應(yīng)用力學(xué)計算結(jié)32.2有限元法的基本思路及其求解步驟

經(jīng)典的解析法從連續(xù)體的微分方程入手，尋求滿足微分方程和定解條件的適合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域內(nèi)任意點的解大多數(shù)問題，特別是實際問題很難甚至無法用解析法得到問題的解析解在整個求解域上滿足控制方程在邊界上滿足邊界條件的場函數(shù)尋找很困難有限元法單元節(jié)點有限元模型2.2有限元法的基本思路及其求解步驟經(jīng)典的解析法42.2有限元法的基本思路及其求解步驟

有限元法基本思路拋棄尋找一個滿足整個求解域的場函數(shù)的思路把求解域劃分成有限個四邊形單元對每一個單元通過插值的方法，用其節(jié)點上的位移建立該單元的位移函數(shù)123每個單元都有與其對應(yīng)的位移函數(shù)表達式用全部單元域之和代替整個求解域，用全部單元的位移函數(shù)之和代替滿足整個求解域的位移函數(shù)4對單元進行力學(xué)特性分析，建立單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移的關(guān)系，并將結(jié)構(gòu)的外載荷等效移植到節(jié)點上，再在節(jié)點上建立力的平衡方程，求解后得到節(jié)點上的位移，繼而得到各個單元的應(yīng)力5以節(jié)點位移為未知量，通過求解力的平衡方程獲得節(jié)點位移，然后按單元計算應(yīng)力2.2有限元法的基本思路及其求解步驟有限元法基本思52.2有限元法的基本思路及其求解步驟

有限元法求解步驟1離散化將結(jié)構(gòu)（求解域）劃分為有限個單元，讓全部單元的集合與原結(jié)構(gòu)近似等價劃分單元時，二者在幾何形體上越逼近越好，特別是在位移和應(yīng)力急劇變化的地方2選擇單元位移函數(shù)在有限元法中，需要用單元節(jié)點位移通過插值方法建立單元位移函數(shù)（單元位移模式），即用單元節(jié)點位移來描述單元位移。單元位移函數(shù)的合理與否，直接關(guān)系到有限元分析的計算精度、效率和收斂性。通常取為多項式形式2.2有限元法的基本思路及其求解步驟有限元法求解步62.2有限元法的基本思路及其求解步驟

3單元特性分析（1）依照應(yīng)變與位移之間的幾何關(guān)系，根據(jù)所選擇的單元位移函數(shù)，建立單元應(yīng)變與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點位移后，可以求得單元應(yīng)變。（2）依照物理關(guān)系（胡克定律），建立單元應(yīng)力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點位移后，可以求得單元應(yīng)力。（3）根據(jù)虛位移原理或最小勢能原理，建立單元剛度方程，即單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。此步驟核心是計算單元剛度矩陣。4外載荷處理將外載荷（體力、面力等）等效移植到節(jié)點上。2.2有限元法的基本思路及其求解步驟3單元特性分析72.2有限元法的基本思路及其求解步驟

5建立節(jié)點上的力平衡方程按照有限元法的統(tǒng)一格式，形成如下形式的以節(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組由各個單元的剛度矩陣組裝成的總體剛度矩陣待求的節(jié)點位移列陣按節(jié)點編號順序形成的節(jié)點載荷列陣6處理邊界條件、解算節(jié)點位移(2.1)按照實際位移邊界條件，對式(2.1)進行整理，解之，可得單元節(jié)點位移。有了節(jié)點位移，即可根據(jù)單元特性分析中建立的關(guān)系式，求應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等。后處理：對所選應(yīng)力、應(yīng)變等，以彩色云圖或圖表的形式顯示計算結(jié)果。2.2有限元法的基本思路及其求解步驟5建立節(jié)點上的82.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

對一個題目或一個實際工程問題進行有限元分析，大體上分3個主要步驟有限元建模有限元求解計算結(jié)果分析與整理前處理求解器后處理程序結(jié)構(gòu)2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介對一個題目或一個實際工程92.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

前處理幾何模型的建立定義約束條件網(wǎng)格剖分確定材料參數(shù)和載荷有限元建模形成有限元分析所需用的有限元計算數(shù)據(jù)可視化有限元模型前處理中，可以用圖形顯示所建立的幾何模型、單元網(wǎng)格、約束條件等2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介前處理幾何模型的建立定義10求解器2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

有限元程序的核心部分主要完成有限元模型的力學(xué)計算，即根據(jù)前處理形成的有限元計算數(shù)據(jù)，完成以下工作：計算單元剛度矩陣計算節(jié)點載荷組裝總體剛度矩陣將載荷等效簡化到節(jié)點上形成總體有限元平衡方程求解節(jié)點位移計算應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等求解器2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介有限元程序的核心部112.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

后處理根據(jù)計算者的要求對計算結(jié)果進行檢查、分析、整理、打印輸出等進行數(shù)據(jù)檢索響應(yīng)量合成繪制變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、曲線圖等可視化的方式分析、觀察計算結(jié)果計算者進行有限元分析的工作量主要體現(xiàn)在前處理和后處理方面2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介后處理根據(jù)計算者的要求對122.4算例

2.4.1平面三角形常應(yīng)變單元任意區(qū)域三角形單元網(wǎng)格剖分示意圖典型三角形單元yxo單元內(nèi)任意點(x,y)的位移坐標x和y的函數(shù)建立單元位移函數(shù)通過插值方法建立，即用單元的節(jié)點位移來表示單元內(nèi)任意點的位移1.單元位移函數(shù)2.4算例2.4.1平面三角形常應(yīng)變單元任意區(qū)域三角132.4算例

典型三角形單元yxo單元位移函數(shù)選用坐標x和y的一次多項式待定系數(shù)未知量求解(2)(3)得到2.4算例典型三角形單元yxo單元位移函數(shù)選用坐標142.4算例

2.4算例152.4算例

代入將求得的得到用單元的節(jié)點位移表示的單元位移函數(shù)式中是單元形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)是常數(shù)，取決于單元的三個節(jié)點坐標返回P242.4算例代入將求得的得到用單元的節(jié)點位移表示的單162.4算例

三角形單元的面積A2.4算例三角形單元的面積A17單元位移函數(shù)表達式2.4算例

寫成矩陣形式簡寫為其中，表示單元內(nèi)任意點處位移的單元位移函數(shù)列陣為形函數(shù)矩陣返回P28單元位移函數(shù)表達式2.4算例寫成矩陣形式簡寫為其中182.4算例

形函數(shù)的性質(zhì)在節(jié)點上形函數(shù)的值是式（6）表示形函數(shù)Ni在其自身節(jié)點上的值等于1，在其他節(jié)點上的值等于0，即12.4算例形函數(shù)的性質(zhì)在節(jié)點上形函數(shù)的值是式（6）19單元中任意一點上的各個形函數(shù)之和等于1，即22.4算例

由單元中任意一點上的各個形函數(shù)之和等于1，即22.4算例202.4算例

小結(jié)（1）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是線性的，為x、y的一次函數(shù)；（2）在單元內(nèi)部和各條單元邊上，位移也是線性的，可由兩個節(jié)點的位移唯一確定；（3）相鄰單元的公共節(jié)點的節(jié)點位移是相等的，因此，能保證相鄰單元在公共邊界上以及單元內(nèi)部的位移連續(xù)性。2.4算例小結(jié)（1）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是線性212.4算例

單元位移函數(shù)確定后，根據(jù)幾何方程求得單元內(nèi)任意點處的應(yīng)變，即單元應(yīng)變2.單元應(yīng)變和單元應(yīng)力2.4算例單元位移函數(shù)確定后，根據(jù)幾何方程求得單元222.4算例

由形函數(shù)對坐標變量求偏導(dǎo)式（8）代入式（7）中，得到返回P282.4算例由形函數(shù)對坐標變量求偏導(dǎo)式（8）代入式（23由式（9）得到2.4算例

單元應(yīng)變矩陣（幾何矩陣）分塊矩陣參數(shù)由單元的節(jié)點坐標確定，因此，它們?nèi)Q于單元形狀，當單元的節(jié)點坐標確定后，它們都是常量，所以，3節(jié)點三角形單元的應(yīng)變矩陣[B]是常數(shù)矩陣由式（9）得到2.4算例單元應(yīng)變矩陣（幾何矩陣）分242.4算例

根據(jù)物理方程其中為平面應(yīng)力（平面應(yīng)變）問題的彈性矩陣平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題應(yīng)力矩陣[S]也是常數(shù)矩陣單元應(yīng)力矩陣返回P282.4算例根據(jù)物理方程其中為平面應(yīng)力（平面應(yīng)變）問25（1）3節(jié)點平面三角形單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣都為常數(shù)矩陣；（2）3節(jié)點平面三角形單元，各點的應(yīng)變和應(yīng)力都是相同的，且是常數(shù)，所以3節(jié)點三角形單元是常應(yīng)變單元，也是常應(yīng)力單元；（3）采用3節(jié)點三角形單元時，在應(yīng)力變化劇烈或應(yīng)力梯度較大的部位，單元劃分應(yīng)適當加密。2.4算例

小結(jié)（1）3節(jié)點平面三角形單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣都為常數(shù)矩陣；263.單元剛度矩陣2.4算例

分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下產(chǎn)生變形和應(yīng)力，于是在各單元之間就產(chǎn)生相互作用。實際上，各單元之間的相互作用是通過相鄰邊界上（即，單元的邊，實際是面）的分布力而產(chǎn)生的。按照有限元方法，結(jié)構(gòu)離散化為一個個單元后，單元之間的相互作用就由單元的節(jié)點力來實現(xiàn)，即用單元節(jié)點力等效代替相鄰邊界上的相互作用力，這樣，節(jié)點力就與單元應(yīng)力相關(guān)，而單元應(yīng)力與節(jié)點位移相關(guān)，因此，單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移相關(guān)。建立單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系表示單元節(jié)點力單元節(jié)點位移3.單元剛度矩陣2.4算例分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下產(chǎn)27由（9）式2.4算例

由（12）式把一個單元作為分析對象時，可以把節(jié)點力看作外力。單元節(jié)點力和單元節(jié)點位移之間的關(guān)系可由虛位移原理導(dǎo)出在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生約束允許的任意微小的虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于整個體積內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。推導(dǎo)1令單元的節(jié)點虛位移為由P18由(9)式由（9）式2.4算例由（12）式把一個單元作為分析282.4算例

2節(jié)點力在虛位移上所做的虛功為3單元應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功為單元體積將代入(19)式由于節(jié)點虛位移是任意的4建立單元的虛功方程為2.4算例2節(jié)點力在虛位移上所做的虛功為3單元應(yīng)力29由單元的虛功方程2.4算例

任意性相等節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系式就建立起來了令則(21)式變?yōu)閱卧獎偠确匠套⒁猓哼@里，節(jié)點力不是結(jié)構(gòu)上的外載荷，而是按虛位移原理把單元邊界上的分布力近似等效到單元節(jié)點上的一種節(jié)點力。節(jié)點力在實際結(jié)構(gòu)中是不存在的總結(jié)：式（22）、（23）是由三角形常應(yīng)變單元推導(dǎo)得到的，但是，這兩式及其推導(dǎo)過程所基于的原理和方法具有普遍性。原則上說（22）式是位移有限元分析中普遍適用的單元剛度矩陣表達式，對于不同單元，只是其中的具體計算細節(jié)不同。由單元的虛功方程2.4算例任意性相等節(jié)點力和節(jié)點位30三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣分析2.4算例

一般情況，單元應(yīng)變矩陣[B]是坐標的函數(shù)矩陣。這里，三角形常應(yīng)變單元，[B]是常數(shù)矩陣。如果材料是線性的、勻質(zhì)的，矩陣[D]也是常數(shù)矩陣。單元厚度t是常量,則dV=tdxdy,因此，三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣可以寫成：三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣分析2.4算例一般情況，31將單元剛度矩陣寫成分塊形式：2.4算例

將單元剛度矩陣寫成分塊形式：2.4算例322.4算例

（1）對稱性——單元剛度矩陣是對稱矩陣；（2）奇異性——單元剛度矩陣是奇異矩陣，它不存在逆矩陣；（3）主元恒正——單元剛度矩陣對角元素的數(shù)值恒大于0，可由（25）式看出；（4）單元剛度矩陣的元素具有明確的物理意義，如圖所示單元，其剛度矩陣第一列的6個元素ki1(i=1,2,3,4,5,6)的物理意義是，當單元的第1個節(jié)點位移(節(jié)點i的ui)為1，而其他節(jié)點位移全為0時，需要在6個節(jié)點位移方向上施加的節(jié)點力的大小。單元剛度矩陣的特性2.4算例（1）對稱性——單元剛度矩陣是對稱矩陣；332.4算例

4.單元等效節(jié)點載荷應(yīng)用虛位移原理進行載荷等效移植：移植后的節(jié)點載荷和移植前的載荷在約束允許的任意虛位移上所做的功相等。單元的節(jié)點虛位移為單元的虛位移為劃分單元時，一般都將作用有集中力的地方劃分為節(jié)點，集中力即可直接施加到節(jié)點上。以下說明體積力和表面力向節(jié)點移植：2.4算例4.單元等效節(jié)點載荷應(yīng)用虛位移原理進行342.4算例

(1)體積力等效移植

令單位體積的力為：單位體積力在x軸和y軸方向的分量令單元體積力等效的移植到單元節(jié)點上的等效節(jié)點載荷為：由虛位移原理，和在虛位移上所做的虛功相等，即單元面積單元厚度(16)式代入(28)式：2.4算例(1)體積力等效移植令單位體積的力為：352.4算例

2.4算例36特殊地，體積力是重力，且重力方向為負y方向，單元的單位體積力是2.4算例

特殊地，體積力是重力，且重力方向為負y方向，單元的單位體積力37(2)表面力等效移植

2.4算例

工程問題中，表面力一般都垂直于其作用面，所以，在有限元法中，要求定義的表面力垂直于其作用面，這樣，可以將表面力分解到沿坐標軸方向。令{q}為表面力矢量，則它可以表示為：表面力在x軸和y軸方向的分量令表面力等效的移植到單元節(jié)點上的等效節(jié)點載荷為：由虛位移原理，和在虛位移上所做的虛功相等，即表面力作用的邊界單元的虛位移為代入(33)式得到：(2)表面力等效移植2.4算例工程問題中，表面力382.4算例

2.4算例392.4算例

沿單元邊界均勻分布的表面力mi邊上有垂直于邊界的均勻分布的表面力q,將分解為x和y方向的均布力qx和qy，這樣，mi邊上的表面力可以表示為：邊的邊長為2.4算例沿單元邊界均勻分布的表面力mi邊上有垂直402.4算例

5.總體平衡方程的建立厚度為t的正方形板，左邊固定，在其右上角分別作用有x、y方向的集中力F1x，F(xiàn)1y，建立其總體有限元平衡方程。(1)劃分單元，所有節(jié)點總體編號121234(2)對號入座12324123單元號局部編碼整體編碼i14j32m23122.4算例5.總體平衡方程的建立厚度為t的正方形41單元剛度矩陣，其分塊形式為2.4算例

整體剛度矩陣，其分塊形式為單元號局部編碼整體編碼i14j32m2312單元剛度矩陣，其分塊形式為2.4算例整體剛度矩陣，422.4算例

(3)總體平衡方程121234單元號局部編碼整體編碼i14j32m2312……總體平衡方程整體剛度矩陣整體節(jié)點位移整體節(jié)點力2.4算例(3)總體平衡方程121234單元號局部432.4算例

1212342.4算例121234446.位移邊界條件的處理及總體平衡方程的求解2.4算例

(1)零位移邊界條件的處理劃行劃列法6.位移邊界條件的處理及總體平衡方程的求解2.4算例45對角線元素改1法2.4算例

對角線元素改1法2.4算例462.4算例

2.4算例47(2)非零位移邊界條件的處理——乘大數(shù)法2.4算例

如果與第i個方程對應(yīng)的節(jié)點位移不為0，而是某一個數(shù)值可將kii乘以一個大數(shù)M，同時將載荷列陣中對應(yīng)的元素改為(2)非零位移邊界條件的處理——乘大數(shù)法2.4算例482.4算例

4.習(xí)題作業(yè)如圖所示的平面應(yīng)力直角三角形單元直角邊長分別為a,b,厚度為t，彈性模量為E，泊松比為求該單元的剛度矩陣。2.4算例4.習(xí)題作業(yè)如圖所示的平面應(yīng)力直角三角49第二章結(jié)構(gòu)分析的有限元法

第二章結(jié)構(gòu)分析的有限元法502.1有限元法發(fā)展簡況

利用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理St.Venant扭轉(zhuǎn)問題的近似解有限元法的研究現(xiàn)代有限元法飛機結(jié)構(gòu)分析1943Courant應(yīng)用數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師1960Tumer、Clough第一次成功嘗試第一次用三角形單元平面應(yīng)力問題解答提出了有限單元法的名稱各種非線性問題多物理場耦合問題多尺度問題商品化有限元軟件20世紀70年代國外幾何非線性：因幾何變形引起結(jié)構(gòu)剛度改變材料非線性：彈性（超彈和多線性彈性）、粘彈性、非彈性狀態(tài)非線性：接觸問題2.1有限元法發(fā)展簡況利用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函512.1有限元法發(fā)展簡況

固體力學(xué)流體力學(xué)傳熱學(xué)電磁學(xué)學(xué)科應(yīng)用力學(xué)計算結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算功能計算技術(shù)純粹數(shù)值技術(shù)前、后處理技術(shù)的高度智能化和與CAD的集成化2.1有限元法發(fā)展簡況固體力學(xué)流體力學(xué)學(xué)科應(yīng)用力學(xué)計算結(jié)522.2有限元法的基本思路及其求解步驟

經(jīng)典的解析法從連續(xù)體的微分方程入手，尋求滿足微分方程和定解條件的適合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域內(nèi)任意點的解大多數(shù)問題，特別是實際問題很難甚至無法用解析法得到問題的解析解在整個求解域上滿足控制方程在邊界上滿足邊界條件的場函數(shù)尋找很困難有限元法單元節(jié)點有限元模型2.2有限元法的基本思路及其求解步驟經(jīng)典的解析法532.2有限元法的基本思路及其求解步驟

有限元法基本思路拋棄尋找一個滿足整個求解域的場函數(shù)的思路把求解域劃分成有限個四邊形單元對每一個單元通過插值的方法，用其節(jié)點上的位移建立該單元的位移函數(shù)123每個單元都有與其對應(yīng)的位移函數(shù)表達式用全部單元域之和代替整個求解域，用全部單元的位移函數(shù)之和代替滿足整個求解域的位移函數(shù)4對單元進行力學(xué)特性分析，建立單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移的關(guān)系，并將結(jié)構(gòu)的外載荷等效移植到節(jié)點上，再在節(jié)點上建立力的平衡方程，求解后得到節(jié)點上的位移，繼而得到各個單元的應(yīng)力5以節(jié)點位移為未知量，通過求解力的平衡方程獲得節(jié)點位移，然后按單元計算應(yīng)力2.2有限元法的基本思路及其求解步驟有限元法基本思542.2有限元法的基本思路及其求解步驟

有限元法求解步驟1離散化將結(jié)構(gòu)（求解域）劃分為有限個單元，讓全部單元的集合與原結(jié)構(gòu)近似等價劃分單元時，二者在幾何形體上越逼近越好，特別是在位移和應(yīng)力急劇變化的地方2選擇單元位移函數(shù)在有限元法中，需要用單元節(jié)點位移通過插值方法建立單元位移函數(shù)（單元位移模式），即用單元節(jié)點位移來描述單元位移。單元位移函數(shù)的合理與否，直接關(guān)系到有限元分析的計算精度、效率和收斂性。通常取為多項式形式2.2有限元法的基本思路及其求解步驟有限元法求解步552.2有限元法的基本思路及其求解步驟

3單元特性分析（1）依照應(yīng)變與位移之間的幾何關(guān)系，根據(jù)所選擇的單元位移函數(shù)，建立單元應(yīng)變與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點位移后，可以求得單元應(yīng)變。（2）依照物理關(guān)系（胡克定律），建立單元應(yīng)力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。據(jù)此式，在求出節(jié)點位移后，可以求得單元應(yīng)力。（3）根據(jù)虛位移原理或最小勢能原理，建立單元剛度方程，即單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系式。此步驟核心是計算單元剛度矩陣。4外載荷處理將外載荷（體力、面力等）等效移植到節(jié)點上。2.2有限元法的基本思路及其求解步驟3單元特性分析562.2有限元法的基本思路及其求解步驟

5建立節(jié)點上的力平衡方程按照有限元法的統(tǒng)一格式，形成如下形式的以節(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組由各個單元的剛度矩陣組裝成的總體剛度矩陣待求的節(jié)點位移列陣按節(jié)點編號順序形成的節(jié)點載荷列陣6處理邊界條件、解算節(jié)點位移(2.1)按照實際位移邊界條件，對式(2.1)進行整理，解之，可得單元節(jié)點位移。有了節(jié)點位移，即可根據(jù)單元特性分析中建立的關(guān)系式，求應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等。后處理：對所選應(yīng)力、應(yīng)變等，以彩色云圖或圖表的形式顯示計算結(jié)果。2.2有限元法的基本思路及其求解步驟5建立節(jié)點上的572.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

對一個題目或一個實際工程問題進行有限元分析，大體上分3個主要步驟有限元建模有限元求解計算結(jié)果分析與整理前處理求解器后處理程序結(jié)構(gòu)2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介對一個題目或一個實際工程582.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

前處理幾何模型的建立定義約束條件網(wǎng)格剖分確定材料參數(shù)和載荷有限元建模形成有限元分析所需用的有限元計算數(shù)據(jù)可視化有限元模型前處理中，可以用圖形顯示所建立的幾何模型、單元網(wǎng)格、約束條件等2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介前處理幾何模型的建立定義59求解器2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

有限元程序的核心部分主要完成有限元模型的力學(xué)計算，即根據(jù)前處理形成的有限元計算數(shù)據(jù)，完成以下工作：計算單元剛度矩陣計算節(jié)點載荷組裝總體剛度矩陣將載荷等效簡化到節(jié)點上形成總體有限元平衡方程求解節(jié)點位移計算應(yīng)力、應(yīng)變、內(nèi)力等求解器2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介有限元程序的核心部602.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介

后處理根據(jù)計算者的要求對計算結(jié)果進行檢查、分析、整理、打印輸出等進行數(shù)據(jù)檢索響應(yīng)量合成繪制變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、曲線圖等可視化的方式分析、觀察計算結(jié)果計算者進行有限元分析的工作量主要體現(xiàn)在前處理和后處理方面2.3有限元程序的結(jié)構(gòu)簡介后處理根據(jù)計算者的要求對612.4算例

2.4.1平面三角形常應(yīng)變單元任意區(qū)域三角形單元網(wǎng)格剖分示意圖典型三角形單元yxo單元內(nèi)任意點(x,y)的位移坐標x和y的函數(shù)建立單元位移函數(shù)通過插值方法建立，即用單元的節(jié)點位移來表示單元內(nèi)任意點的位移1.單元位移函數(shù)2.4算例2.4.1平面三角形常應(yīng)變單元任意區(qū)域三角622.4算例

典型三角形單元yxo單元位移函數(shù)選用坐標x和y的一次多項式待定系數(shù)未知量求解(2)(3)得到2.4算例典型三角形單元yxo單元位移函數(shù)選用坐標632.4算例

2.4算例642.4算例

代入將求得的得到用單元的節(jié)點位移表示的單元位移函數(shù)式中是單元形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)是常數(shù)，取決于單元的三個節(jié)點坐標返回P242.4算例代入將求得的得到用單元的節(jié)點位移表示的單652.4算例

三角形單元的面積A2.4算例三角形單元的面積A66單元位移函數(shù)表達式2.4算例

寫成矩陣形式簡寫為其中，表示單元內(nèi)任意點處位移的單元位移函數(shù)列陣為形函數(shù)矩陣返回P28單元位移函數(shù)表達式2.4算例寫成矩陣形式簡寫為其中672.4算例

形函數(shù)的性質(zhì)在節(jié)點上形函數(shù)的值是式（6）表示形函數(shù)Ni在其自身節(jié)點上的值等于1，在其他節(jié)點上的值等于0，即12.4算例形函數(shù)的性質(zhì)在節(jié)點上形函數(shù)的值是式（6）68單元中任意一點上的各個形函數(shù)之和等于1，即22.4算例

由單元中任意一點上的各個形函數(shù)之和等于1，即22.4算例692.4算例

小結(jié)（1）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是線性的，為x、y的一次函數(shù)；（2）在單元內(nèi)部和各條單元邊上，位移也是線性的，可由兩個節(jié)點的位移唯一確定；（3）相鄰單元的公共節(jié)點的節(jié)點位移是相等的，因此，能保證相鄰單元在公共邊界上以及單元內(nèi)部的位移連續(xù)性。2.4算例小結(jié)（1）本節(jié)的三角形單元，形函數(shù)是線性702.4算例

單元位移函數(shù)確定后，根據(jù)幾何方程求得單元內(nèi)任意點處的應(yīng)變，即單元應(yīng)變2.單元應(yīng)變和單元應(yīng)力2.4算例單元位移函數(shù)確定后，根據(jù)幾何方程求得單元712.4算例

由形函數(shù)對坐標變量求偏導(dǎo)式（8）代入式（7）中，得到返回P282.4算例由形函數(shù)對坐標變量求偏導(dǎo)式（8）代入式（72由式（9）得到2.4算例

單元應(yīng)變矩陣（幾何矩陣）分塊矩陣參數(shù)由單元的節(jié)點坐標確定，因此，它們?nèi)Q于單元形狀，當單元的節(jié)點坐標確定后，它們都是常量，所以，3節(jié)點三角形單元的應(yīng)變矩陣[B]是常數(shù)矩陣由式（9）得到2.4算例單元應(yīng)變矩陣（幾何矩陣）分732.4算例

根據(jù)物理方程其中為平面應(yīng)力（平面應(yīng)變）問題的彈性矩陣平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題應(yīng)力矩陣[S]也是常數(shù)矩陣單元應(yīng)力矩陣返回P282.4算例根據(jù)物理方程其中為平面應(yīng)力（平面應(yīng)變）問74（1）3節(jié)點平面三角形單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣都為常數(shù)矩陣；（2）3節(jié)點平面三角形單元，各點的應(yīng)變和應(yīng)力都是相同的，且是常數(shù)，所以3節(jié)點三角形單元是常應(yīng)變單元，也是常應(yīng)力單元；（3）采用3節(jié)點三角形單元時，在應(yīng)力變化劇烈或應(yīng)力梯度較大的部位，單元劃分應(yīng)適當加密。2.4算例

小結(jié)（1）3節(jié)點平面三角形單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣都為常數(shù)矩陣；753.單元剛度矩陣2.4算例

分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下產(chǎn)生變形和應(yīng)力，于是在各單元之間就產(chǎn)生相互作用。實際上，各單元之間的相互作用是通過相鄰邊界上（即，單元的邊，實際是面）的分布力而產(chǎn)生的。按照有限元方法，結(jié)構(gòu)離散化為一個個單元后，單元之間的相互作用就由單元的節(jié)點力來實現(xiàn)，即用單元節(jié)點力等效代替相鄰邊界上的相互作用力，這樣，節(jié)點力就與單元應(yīng)力相關(guān)，而單元應(yīng)力與節(jié)點位移相關(guān)，因此，單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移相關(guān)。建立單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系表示單元節(jié)點力單元節(jié)點位移3.單元剛度矩陣2.4算例分析結(jié)構(gòu)在載荷作用下產(chǎn)76由（9）式2.4算例

由（12）式把一個單元作為分析對象時，可以把節(jié)點力看作外力。單元節(jié)點力和單元節(jié)點位移之間的關(guān)系可由虛位移原理導(dǎo)出在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生約束允許的任意微小的虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于整個體積內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。推導(dǎo)1令單元的節(jié)點虛位移為由P18由(9)式由（9）式2.4算例由（12）式把一個單元作為分析772.4算例

2節(jié)點力在虛位移上所做的虛功為3單元應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功為單元體積將代入(19)式由于節(jié)點虛位移是任意的4建立單元的虛功方程為2.4算例2節(jié)點力在虛位移上所做的虛功為3單元應(yīng)力78由單元的虛功方程2.4算例

任意性相等節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系式就建立起來了令則(21)式變?yōu)閱卧獎偠确匠套⒁猓哼@里，節(jié)點力不是結(jié)構(gòu)上的外載荷，而是按虛位移原理把單元邊界上的分布力近似等效到單元節(jié)點上的一種節(jié)點力。節(jié)點力在實際結(jié)構(gòu)中是不存在的總結(jié)：式（22）、（23）是由三角形常應(yīng)變單元推導(dǎo)得到的，但是，這兩式及其推導(dǎo)過程所基于的原理和方法具有普遍性。原則上說（22）式是位移有限元分析中普遍適用的單元剛度矩陣表達式，對于不同單元，只是其中的具體計算細節(jié)不同。由單元的虛功方程2.4算例任意性相等節(jié)點力和節(jié)點位79三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣分析2.4算例

一般情況，單元應(yīng)變矩陣[B]是坐標的函數(shù)矩陣。這里，三角形常應(yīng)變單元，[B]是常數(shù)矩陣。如果材料是線性的、勻質(zhì)的，矩陣[D]也是常數(shù)矩陣。單元厚度t是常量,則dV=tdxdy,因此，三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣可以寫成：三角形常應(yīng)變單元的剛度矩陣分析2.4算例一般情況，80將單元剛度矩陣寫成分塊形式：2.4算例

將單元剛度矩陣寫成分塊形式：2.4算例812.4算例

（1）對稱性——單元剛度矩陣是對稱矩陣；（2）奇異性——單元剛度矩陣是奇異矩陣，它不存在逆矩陣；（3）主元恒正——單元剛度矩陣對角元素的數(shù)值恒大于0，可由（25）式看出；（4）單元剛度矩陣的元素具有明確的物理意義，如圖所示單元，其剛度矩陣第一列的6個元素ki1(i=1,2,3,4,5,6)的物理意義是，當單元的第1個節(jié)點位移(節(jié)點i的ui)為1，而其他節(jié)點位移全為0時，需要在6個節(jié)點位移方向上施加的節(jié)點力的大小。單元剛度矩陣的特性2.4算例（1）對稱性——單元剛度矩陣是對稱矩陣；822.4算例

4.單元等效節(jié)點載荷應(yīng)用虛位移原理進行載荷等效移植：移植后的節(jié)點載荷和移植前的載荷在約束允許的任意虛位移上所做的功相等。單元的節(jié)點虛位移為單元的虛位移為劃分單元時，一般都將作用有集中力的地方劃分為節(jié)點，集中力即可直接施加到節(jié)點上。以下說明體積力和表面力向節(jié)點移植：2.4算例4.單元等效節(jié)點載荷應(yīng)用虛位移原理進行832.4算例

(1)體積力等效移植

令單位體積的力為：單位體積力在x軸和y軸方向的分量令單元體積力等效的移植到單元節(jié)點上的等效節(jié)點載荷為：由虛位移原理，和在虛位移上所做的虛功相