數(shù)學(xué)建模課后習(xí)題

第一章課后習(xí)題6.利用1.5節(jié)藥物中毒施救模型確定對(duì)于孩子及成人服用氨茶堿能引起嚴(yán)重中毒和致命的最小劑量。解：假設(shè)病人服用氨茶堿的總劑量為a，由書中已建立的模型和假設(shè)得出腸胃中的藥量為：x(0)=M(mg)由于腸胃中藥物向血液系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移率與藥量x(t)成正比，比例系數(shù)九〉0，得到微分方程TOC\o"1-5"\h\z—二一九x,x(0)=M (1)dt原模型已假設(shè)t=0時(shí)血液中藥量無藥物，則y(0)=0，y(t)的增長(zhǎng)速度為九x。由于治療而減少的速度與y(t)本身成正比，比例系數(shù)r>0，所以得到方程：?=Xx-Ry,y(0)=0 (2)dt方程(1)可轉(zhuǎn)換為：x(t)=Me-兀\o"CurrentDocument"山、巾 m MX/ 、帶入方程(2)可得：y(t)=-——(e-卬-e-入t)-R將X=01386和R=0.1155帶入以上兩方程，得：x(t)=Me-0.13861y(t)=6M(e-0.11551—e-0.13866)針對(duì)孩子求解，得：嚴(yán)重中毒時(shí)間及服用最小劑量：t=7.876h，M=494.87mg；致命中毒時(shí)間及服用最小劑量：t=7.876h，M=948.46mg針對(duì)成人求解：嚴(yán)重中毒時(shí)間及服用最小劑量：t=7.876h，M=945.83mg致命時(shí)間及服用最小劑量：t=7.876h，M=1987.74mg課后習(xí)題7.對(duì)于1.5節(jié)的模型，如果采用的是體外血液透析的辦法，求解藥物中毒施救模型的血液用藥量的變化并作圖。解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以u(píng)=6u=0.639x(t)=1100e▲,x為胃腸道中的藥量，九二0.1386y(t)-6600(e-國一e-大t)dz-二入x一uz,t>2,x-1100e-%,z(2)=236.5,u-0.639,入=0.1386dt解得：zQ)-275e-0.13861+112.274e-0.6931,t>2用matlab畫圖：圖中綠色線條代表采用體外血液透析血液中藥物濃度的變化情況。從圖中可以看出，采取血液透析時(shí)血液中藥物濃度就開始下降。T=2時(shí)，血液中藥物濃度最高，為236.5；當(dāng)z=200時(shí)，t=2.8731，血液透析0.8731小時(shí)后就開始解毒。第二章1.用2.4節(jié)實(shí)物交換模型中介紹的無差別曲線的概念，討論以下的雇員和雇主之間的關(guān)系：1）以雇員一天的工作時(shí)間上和M工資分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，畫出雇員無差別曲線族的示意圖，解釋曲線為什么是那種形狀；2）如果雇主付計(jì)時(shí)費(fèi)，對(duì)不同的工資率畫出計(jì)時(shí)工資線族，根據(jù)雇員的無差別曲線族和雇主的計(jì)時(shí)工資線族，討論雙方將在怎樣的一條曲線上達(dá)成協(xié)議；3）雇員和雇主已經(jīng)達(dá)成了協(xié)議，如果雇主想使用雇員的工作時(shí)間增加到t2他有兩種

辦法：一是提高計(jì)時(shí)工資率，在協(xié)議線的另一點(diǎn)達(dá)成新的協(xié)議；二是實(shí)行超時(shí)工資制，即對(duì)工時(shí)當(dāng)仍付原計(jì)時(shí)工資，對(duì)工時(shí)今一片付給更高的超時(shí)工資，試用作圖方法分析那種辦法對(duì)雇主更有利，指出這個(gè)結(jié)果的條件。解：1）雇員的無差別曲線族"X是下凸的，如圖。當(dāng)工資較低時(shí)，他愿意以多的工作時(shí)間換取少的工資；當(dāng)工資較高時(shí)，就要求以多的工資來增加工作時(shí)間。2）雇主的計(jì)時(shí)工資族是“皿，&是工資率，這族直線與”二￡的切點(diǎn)氣號(hào)等的連線儂為雇員與雇主的協(xié)議線，通?；晔巧仙?，見圖:3）設(shè)雙方在片品，叫）點(diǎn)達(dá)成協(xié)議，當(dāng)雇主想使雇員的工作時(shí)間增至G時(shí)，用提高計(jì)時(shí)工資率值的辦法，應(yīng)在協(xié)議線再。上找出橫坐標(biāo)為右的Pn點(diǎn)，工資額為f，見上圖，用超時(shí)工資的辦法，應(yīng)從網(wǎng)點(diǎn)作某一條無差別曲線的切線，使切點(diǎn)P2’的橫坐標(biāo)剛好是t2,若點(diǎn)P2’在P2的下方，則工資額w2’<w2,即第二種辦法對(duì)雇主有利，得到這個(gè)結(jié)果的條件是，在雇員沒有工作時(shí)和已經(jīng)工作了.時(shí)，其無差別曲線族’沒有變化。

課后第三章習(xí)題1.在3.1節(jié)的存貯模型總費(fèi)用中增加購買貨物本身的費(fèi)用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量，證明在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來的一樣。解：設(shè)購買單位重量貨物的費(fèi)用為k，對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為2，T,Q的最優(yōu)結(jié)果不變，對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為+呸q⑴丁-如+㈣， 》2r ，注意到重="，可知T，Q的最優(yōu)結(jié)果也不變。k"2.建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型，設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k,銷售速率為常數(shù)r,k＞r,在每個(gè)生產(chǎn)周期t內(nèi)，開始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間缶＜上＜力只銷售不生產(chǎn)，畫出存貯量q（t）的圖形，設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為4，單位時(shí)間每件產(chǎn)品存貯費(fèi)為4，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論上之「和土冏廠的情況。解:0一戶*燈，使c（T）達(dá)到貯存量q（t）的圖形如圖，單位時(shí)間總費(fèi)用， ，使c（T）達(dá)到最小值的最優(yōu)周期2qJt最小值的最優(yōu)周期2qJt吶上一4T=T=當(dāng)k>>r時(shí)，2cl①，相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況，當(dāng)上1HL時(shí)，T-皿，產(chǎn)量被銷售量抵消，無法形成貯存量。tt第四章1、某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)，到期年限，收益如表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；（2）所購證券的平均信用等級(jí)不超過1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。表1證券信息證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益/%A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145D政府134.4E市政524.5問：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元的資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券人的稅前收益增加為4.5%，投資應(yīng)否改變?若證券陰勺稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？問題分析問經(jīng)理應(yīng)該如何投資實(shí)際上是在問對(duì)已知的幾種類型的證券要如何投資才能使得經(jīng)理的最終收益最大。應(yīng)該先對(duì)表中所給的幾種證券的各個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，列出幾種證券投資后經(jīng)理的收益函數(shù)，同時(shí)使得該函數(shù)所得結(jié)果要滿足題目

中給定的幾個(gè)限制。對(duì)于（2）、（3）問的求解只用調(diào)整相應(yīng)的限制條件和第一問函數(shù)的幾個(gè)三叔即可。模型建立（1）假設(shè)投資給證券A，B，C，D，E的資金分別為a，b，c，d，e（百萬元），經(jīng)理最終的收益為y（百萬元），則可以建立如下數(shù)學(xué)模型：y=0.043*a+0.027*b+0.025*c+0.022*d+0.045*eb+c+d>46*a+6*b-4*c-4*d+36*e<054*a+10*b-c-2*d-3*e<0a,b,c,d,e>0用LINGO軟件求解:CLSlnLE-PTL9L1■ElWE*131ua3i-czLnibjuc^EniriiRibilLEieB'iETjelJ.mu■Lsn*—"2.Q?MLinbEFLD.tflWKIQ?MLinbEFLD.tflWKISuhIfrJir-S-.MEdMH口艮■m口艮■m卒內(nèi)加叫胃ri±irH4r|：*IE.J-S!^!5d

a.aax-iiiaC'.'3EI?3ID.-3EM133得到如下結(jié)果：證券A投資2.182百萬元，證券C投資7.364百萬元，證券E投資0.454百萬元;經(jīng)理最大稅后收益為0.298百萬元。⑵由⑴的結(jié)果可知，若資金增加100萬元，收益可增加0.0298百萬元。大于以2.75%的利率借到100萬元資金的利息，所以應(yīng)借貸。修改（1）中的條件建立如下的心新模型：y=0.043*a+0.027*b+0.025*c+0.022*d+0.045*eb+c+d>46*a+6*b-4*c-4*d+36*e<115..―一―.一一.一4*a+10*b-c-2*d-3*e<0a,b,c,d,e>0求解得到：證券A投資2.40百萬元，證券C投資8.10百萬元，證券E投資0.50百萬元，最大稅后收益為0.3007百萬元。⑶由（1）的結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許范圍可知，證券人的稅前收益可增加0.35%，故若證券人的稅前收益增加為4.5%，投資不應(yīng)改變；證券陰勺稅前收益可減少0.112%（注意按50%的稅率納稅），故若證券而勺稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)該改變。2、一家出版社準(zhǔn)備在某市建立兩個(gè)銷售代理點(diǎn)，向7個(gè)區(qū)的大學(xué)生售書，每個(gè)區(qū)的大學(xué)生數(shù)量（單位:千人）已經(jīng)表示在圖上。每個(gè)銷售代理點(diǎn)只能向本區(qū)和相鄰區(qū)的大學(xué)生售書，這兩點(diǎn)銷售代理點(diǎn)應(yīng)建立在何處，才能使所能供應(yīng)的大學(xué)生的數(shù)量最大？建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型并求解。圖1問題分析首先簡(jiǎn)化作圖，使得圖中的鄰里關(guān)系更加清楚，其次，通過假設(shè)0-1變量得到供應(yīng)量最大化的函數(shù)，由于一個(gè)地區(qū)不能被兩個(gè)銷售點(diǎn)供應(yīng)，所以得到七個(gè)限制條件，并由LINGO求解，得到一個(gè)0-1整數(shù)規(guī)劃問題的解.建立模型將大學(xué)生數(shù)量為34,29,42,21，56，18,71的區(qū)分別編號(hào)為1，2,3,4,5,6,7區(qū)，如圖所示：記rr為第i區(qū)的大學(xué)生人數(shù)，用0-1變量X=1表示(i,j)區(qū)的大學(xué)生由一個(gè)銷ij售代理點(diǎn)供應(yīng)圖書(i<j且i,j相鄰)，否則x=0o建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型:maxZ(r+r)x

ijijmaxi,j相鄰6環(huán)2+7環(huán)3+7卜23+5也4+85*25+6漢4+7及45+必46+92*47+%56+89*67X12+X13+X23+X24+X25+X34+X45+X46+X47+X56+X672X12+X13-1X12+X23+X24+X25 1X13+X23+X24：；1X24+X34+X45+X46+X47、1X25+X45+X56.1X46+X56+X67-1X47+X67-1Xij=0或1用LINGO軟件求解：網(wǎng)600門口-]5而《1 ?5口口0甘閏*EdiUnSOW^ydaAMap臼瀏H冏上聞?但生|第0|整購網(wǎng)畫到事劇士|第■SlcbJil aluR：?他gmi.Z&CiMALbL] 1U超33D腿仃＜1徒口EE1321111Z3SnMWWHi-SWW121SnMMW&5i-3WMCuBEE114&.MMM149O.MWWISiGMMMBC'.MMM3.MMMD-MMMXN口必EDQ13EEEOMgg1EM殳13/D￡JurplIoi EmiJ!Jrxc*L["IT-8Ei.MMM0.M33九伽舊舊得到最優(yōu)解為x25=x47=1,其余均為0,最優(yōu)解為177人。3、某儲(chǔ)蓄所每天的營業(yè)時(shí)間是上午9:00到下午5:00。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時(shí)間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如表所示：表二不同時(shí)間段要求的服務(wù)員數(shù)量時(shí)間段/時(shí)9-1010-1111-1212-11-22-33-44-5服務(wù)員數(shù)量43465688儲(chǔ)蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員。全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之間必須安排1h的午餐時(shí)間。儲(chǔ)蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須連續(xù)工作4h,報(bào)酬40元。問該儲(chǔ)蓄所應(yīng)如何雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如果該雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費(fèi)用？問題分析先為午餐時(shí)間的服務(wù)人員假定一個(gè)人數(shù)，再利用題目所給的表中的各個(gè)時(shí)段服務(wù)人員的相應(yīng)限制人數(shù)來假定各個(gè)時(shí)段的無非人員人數(shù)。表中每個(gè)時(shí)段所需服務(wù)員人數(shù)可以得到若干個(gè)約束條件，目標(biāo)函數(shù)即為服務(wù)員數(shù)與工資的乘積得出，最小值即為最優(yōu)解。若不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，則使其數(shù)量為零并重新修改原模型；如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的人數(shù)沒有限制，則在原來模型的基礎(chǔ)上去掉關(guān)于半時(shí)工作人員數(shù)量的約束條件即可得出新的模型。

模型建立儲(chǔ)蓄所每天雇傭的全時(shí)服務(wù)員中以12:00-1:00為午餐時(shí)間的有a名，以1:00-2:00為午餐時(shí)間的有b名；半時(shí)服務(wù)員中從9:00,10:00，11:00，12:00，1:00開始工作的分別為A,B,C,D,E名。100*x+100*y+40*A+40*B+40*C+40*D+40*E;x+y+A二4;x+y+A+B二3;x+y+A+B+C4;y+A+B+C+D6;x+B+C+D+E5;x+y+C+D+E6;x+y+D+E二；x+y+E二8;A+B+C+D+E3;x,y,A,B,C,D,E0且為整數(shù)求解：囹5口口IM?EduiEWpsd?60011腎q/EdtoLINGDWhdwMrip，口工㈣B|二|二|制?同劇國|?|回周口屈IOlqlul 4△:Eitlanf-zucd.CidtOCKMPilUtl iiS.WMMigUXDliiq1白i ClWMW機(jī)tfdiii QTncoJ3q1vex■LEiaaBK 1J3.MMD0M.MIMOOtr-'MMKf3.MMD0M.MIMOOtr-'MMKf酬gO-TMSj。.國Wgl.MMK-LM.4MDLM.OHOfrElCA"L.4MM04!i4MMD明3E國口frElCA"L.4MM04!i4MMD明3E國口-31-3MM5fl.aWMO*口E6J。1 mMEgi 本mwgi 弧ggg4 1nggg7 S.MMPO*9D-WMK'm D.MMOO得到最優(yōu)解x=3,y=4,A=0,B=0,C=2,D=0,E=1,最小費(fèi)用為820元。如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，則最優(yōu)解x=5,y=6,A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,最小費(fèi)用為1100元，即每天至少增加1100-820=280元。如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，則最優(yōu)解為x=0,y=0,A=4,B=0,C=0,D=2,E=8，最小費(fèi)用為560元，即每天可以減少費(fèi)用820-560=260元。馬爾薩斯人口模型及阻滯增長(zhǎng)模型時(shí)間:1790年-2000年繪圖代碼如下：t=1790:10:2000;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0105.7122131.7150.7179.3203.2226.5248.7281.4];p=polyfit(t,10g(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2))x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x,'r+',t,x1,'b') %紅色的為原始數(shù)據(jù)，藍(lán)色的為擬合數(shù)據(jù)r=0.0202,x0=1.1960e-15圖型如下：1.2時(shí)間：1790年-1900年繪圖代碼：t=1790:10:1900;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.0];p=polyfit(t,10g(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2))x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x,'r+',t,x1,'b') %紅色的為原始數(shù)據(jù)，藍(lán)色的為擬合數(shù)據(jù)

r=0.0274,x0=1.9790e-21圖像如下:1、阻滯增長(zhǎng)模型clc;clear;t=1790:10:1900;976.0];x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262x_m=x(1,1:11);976.0];y=ones(1,11);fori=1:11y(i)=(x(i+1)-x(i))/x(i)/10;endp=polyfit(x_m,y,1);r=p(2);xm=r/-p(1);

ji111111p[-3,Wle-04,0.0369]-2.44...0.036g—r0.03O.O3&90.-0369-t〈1x12doub-le^仃9。1900--Xc1