考研主任2005數(shù)一真題及解析33獲取

入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試一、填空題：1-6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上xy

2x

xy2yxlnxy(1)1的解為9設(shè)函數(shù)u(x,yz)

x2y2z 6

3 3x2R2x2y設(shè)是由錐面x2R2x2y整個(gè)邊界的外側(cè)，則xdydzydzdxzdxdy 設(shè)1,2,3均為3A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B 1,2,3,4X,再從1,2,X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,P{Y n1xn1x處處可導(dǎo)

，則f(x)在(,)內(nèi) 設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，"MN"表示“M的充分必要條件是N”， F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù) (B)F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù) (D)F(x)是單調(diào)函f(x是單調(diào)函數(shù)x設(shè)函數(shù)u(x,y)(xy)(xy)xy(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有x

(B)

x

yy

x

y xxyzlny

zz(xyyy(xzzz(xyxxyzzz(xyxxyzyy(xz設(shè)1,2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12)線性無關(guān)的充分必要條件是 10 20 (C)10 (D)20

A*B*分別A交換A*的第1列與第2列得B* 交換A*的第1行與第2行得B*(C)交換A*的第1列與第2列得B* 交換A*的第1行與第2行得B*設(shè)二維隨量(X,Y)的概率分布為 010b1a已知隨機(jī)事件{X0}與{XY1}a0.2,b a0.4,b a0.3,b 設(shè)X1,X2,,Xn(n2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，X為樣本均值，S2為 nX~ nS2~2(n1)X (n1)X~t(n

1~F(1,n三、解答題：15－2394分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說D設(shè)D{(x,y)x2y2 2,x0,y0}，[1x2y2]表示不超過1x2y2的最大整數(shù).計(jì)算二重積分xy[1x2y2]dxdy.D

分)求冪級(jí)數(shù)(n1(1 n(2n

f(x

如圖，曲線C的方程為yf(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線l1與l2分別是曲線C 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積3(x2x)f0f(x在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)f(0)0,f(1)1.(I)存在(0,1),f()1(II)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),(0,1)f(f(設(shè)函數(shù)y)L(y)dx 2x2y (Ix0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有(II)求函數(shù)(y)的表達(dá)式

(y)dx02x2yf(xxx1a)x21a)x22x22(1a)xx的秩

1

已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零矩陣B 6(k為常數(shù) AB0,Ax0的通解

3 k 設(shè)二維 量(X,Y)的概率密度為f(x,y)1,0x1,0y 求：(I)X,YfX(x),fYy(IIZ2XYfZX1X2,Xn(n2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本，XYiXiX,i1,2,,求：(I)Yi的方差DYi,i1,2,,n (II)Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1,Yn 年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解一、填空題y1x1 f【詳解】由求斜漸近線公式y(tǒng)axb(其中alim ，blim[f(x)ax])，得a=limf(x)

1

x2x2 blimf(x)ax 1 x2(2x 所以所求斜漸近線方程為y x y1xlnx1

P(xyQ(xyePx)dxQ(x)ePx)dxdxC(其中C是常數(shù)

y2ylnxxdx e1x[lnxexdxC] [x2lnxdx

xlnx x 其中C是常數(shù) 1

y(1)

得C0，故所求解為y xlnx 3【答案 3 【詳解設(shè)f 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),l0cos,cos,cos為給定的向量l的單 向量,則f 沿l方向的方向?qū)?shù)計(jì)算公式為lxcosycoszcos y z u 因?yàn)閡(x,y,z)1 131313cos ,cos ,cos131313

=13

113313

113313

313313【答案】(2 2)P(xyz),Q(xyzR(xyz在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 其中是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).x2yR2x2y以表示由z x2yR2x2yxdydzydzdxzdxdy 3R2d4sind d2(12)R3(2

【答案】1：因?yàn)?

,) (24)(

221 313，3，

3(39)(

,

3故B,24,39(

1 ,) 3 記A(1,2,3)，兩邊取行列式

31

BA

31292：利用行列式性質(zhì)(在行列式中，把某行的各元素分別乘以非零常數(shù)加到另一行的對B123,12243,132123,233,22[3]

====123,233,=2123,2

[2]

====2

A

1

2

2P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X11,2,3,4 4而Y表示從1,2,X中任取一個(gè)數(shù)，也就是說Y是等可能取到1,2,也就是說Y在XP{Y2X1}0X1Y2是不可能事件P{Y2X2}1X2Y1，2等可能取值2P{Y2X3}1X3Y1，2，3等可能取值3P{Y2X4}1X4Y1，2，3，4等可能取值4故P{Y2P{X1}P{Y2X1}P{X2}P{Y2X 11 +P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X4}(0) 23 二、選擇題【答案】n1|xnn當(dāng)|x|1時(shí)，有n1 ，命n取n1|xnn

由準(zhǔn)則得f(x)limn1|x|3n1當(dāng)|x|1f(xlimn11

nnn|x當(dāng)|x|1時(shí)，|n|x

n2|xn1|x n2|xn1|xlimn2|x|3n|x|3， 準(zhǔn)則得f(x)lim|x|3(

1)1|x|3nn

f(x)

x |x|

|xf(x的不可導(dǎo)點(diǎn).x1f(x不可導(dǎo)，故應(yīng)選方法1：應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義判定，f(xF(x)xf(t)dtCF(x0

f當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有F(x)F(x)，于是F(x1)F(x)，即f(xf(xf(xf(x)f(x f(t)dtC，令tk，則有dtdk 所 F(x)0f(t)dtC0f(k)dkC0f(k)dkCF(x)x F(x)0f(t)dtC 方法2：排除法，f(x1,F(x)x1,排除(B)、f(xxF(x)1x2,排除2【答案】 (xy)(xy)(xy)(xy)u(xy)(xy)(xy)(xy)是 (xy)(xy)(xy)(xy)，

(xy)(xy)(xy)(xy) (xy)(xy)(xy)(xy)y2ux

y2，應(yīng)選此鄰域內(nèi)由方程F(xyz)0可以確定唯一的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zz(xy)滿足

x

F(x,y,0Fz(x,y,0

,MMM

Fy(x,y,Fz(x,y,F(xyzxyzlnyexz1,Fyexzz，F(xiàn)xz，F(xiàn)lnyexzx 所 Fx(0,1,1)20，F(xiàn)y(0,1,1)10，F(xiàn)z(0,1,1)0Fz(0,1,1)0，所以由隱函數(shù)存在定理知，不一定能確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zz(xy，所以排除(A)、(B)、(C)Fx(0,1,1)20Fy(0,1,1)10，所以可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)xxy,z)yy(x,z，故應(yīng)選(D).方法1：利用線性無1,2分別是特征值1, 對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，A111,A222A(12)112k11k211k2220(k1k21)1k2220因12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,2線性無關(guān)，則k1k21 當(dāng)

k2220k10,k20，此時(shí)1A(121A(12)線性無關(guān)，則必然有2011,2分別是特征值1, 對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，A111,A222A(12)112 1由于1,A(12)1,1 2因12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，知1,2線性無關(guān).若1A(12線性無r1A(12)2 1 1 1 2r1,2 minr1,2,r r 2 2 2 1 1 故2r 2，從而r 2，從而 2 2

2 1若 20，則r 2，又1,2若 2 1 1 r1,2 r 2 2 2則r,A()r, 1 2 2 從而1，A(12)線性無關(guān)的充要條

20.故應(yīng)選方法3：利用矩

1,分別是特征對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、征向量的定義，有A111A222A(12112因12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,2線性無關(guān)，又因 1,1122

將的-倍加到第2 1,22r(11122r(1)220(若20，與r(1,22) 1,2分別是特1,對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，有A111,A222A(12)112由12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,2線性無1,A(12)線性1,11220 1 1,1122X0只有零解，又1,11221,2 2 1x11,2 x0 22,線性無關(guān)時(shí)

Y0只有零解，故Y

1x1 2 1x10Y x00 22

x 22

0，故應(yīng)選方法5：由121,2線性無向量組I:1,2和向量組II:1A(121122.顯然向量組II可以由向量組I線性表出；當(dāng)20時(shí)，不1的取值如何，向量組I可以由向量組II線性，(1)1()11A() 1 2 從而III是等價(jià)向量組20r1,2r11122方法1：E12(n階單位矩陣的第1行與第2行所得)1 B*(EA)*A1 E 12又 E1(行列式的兩行互換，行列式反號(hào))，E1E， B* A* E1A*E1A*E A*E

B*,可見應(yīng)選 又因A是可逆E12E1，故BE12AE12AA0，BB1EA)1A1E. ABB ABBAA

,

E12B

AA*E

B*【答案】 量聯(lián)合概率分布的性質(zhì)pij1，有0.4ab0.1 ab0.5，又事件{X0}與{XY1}P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} P{X0,XY1}P{X0,Y1}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}abP{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}0.4方法2P{XY1X0}P{XY1}因?yàn)楠?dú)立，所以{XY1}發(fā)生與{X0}發(fā)不發(fā)生沒有關(guān)系)P{Y1|X0}P{XY1}ab所 P{Y0X0}1P{Y1X0}10.50.5因 P{Y1|X0}P{Y0X0}由乘法公式P(AB)P(A|B)P(B，上式P{X0,Y0P{X0,Y1}即0.4a.又因?yàn)閍b0.5，得b0.1. FX~2(nY~2(nXn1F(n Y 2分布的定義：若Z,Z相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) ii

Z2~2你考研的超級(jí)班讓考研更輕松ZZ~N(,2

~N1 性組合也服從正態(tài)分布，故X Xi~N ) n將其標(biāo)準(zhǔn)化有：X0 ~N(0,1) nnXn S

(n1)S (n1)S 而 (n

~(n1)，不能斷定(B)是正確選項(xiàng)X2~2(1X2~2(n1)X2~2(1)與

X2~2(n1 X2

于是

1~F(1n1).故應(yīng)選 X2(n X 三、解答題1：令D1xy)0x2y21x0y0D2{(x,y)1x2y2 2,x0,y

[1x2y2]

當(dāng)（xy當(dāng)（xy 2sincos r3dr22sincos r3dr(根據(jù)牛—萊公式 4|12

44 2sincosd 2sincosdr| 4 412sincosd2

2sincos

4 4 方法2：用

|2 4

|2 Dxy[1x2y2]dxdyD

2d

r3sincos[1r2 4 2sincos

r3[1r2]dr(根據(jù)?！R公式

4 14002

0

r3[1r2]dr2

r3[1r2]dr [1r2] 0r4 1r4 1 2D從而xy[1D

y]dxdy2(0rdr12rdr(定積分對區(qū)域的可加性1r4|12r4|42(根據(jù)牛—萊公式2(4 41(11(21))2 (1)n(1 lim (n1)(2n1)

x2x2

n(2n

n(n1)(2n n(2n1)).級(jí)數(shù)在x1處為發(fā)散的.

n1 f(x) (1n(2n

n(2n

(1)n1

(x2)n

n(2n1)S1(x)S2(x)，x xn1xx2xn

1 2 S1(x)(x

1(x2

，x(1,1)1x2對S2(x)，則由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上可導(dǎo)并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式得2S(x)2

x2n1,x2n

S(x)

(1)n12x2n2

(x2)n12

，x2

12S2(00,S(02S(x)所以，由牛S(x)

xS(t)dt x

0 01S(x)S(0)

xS(t)dt

2 22tarctant|x 20tdarctan=2xarctanx2 01

01

d(1t2 0=2xarctanxln(1t2 02xarctanxln(1x2 x 從 f(x)S1(x)S2(x)1x22xarctanxln(1x)，x(1,1)【詳解】由直線l1過(0,0和(2,4)兩點(diǎn)知直線l12.由直線l1是曲線C在點(diǎn)(0,0)的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(0)2.f(3)2.另外由點(diǎn)(3,2)是曲線C的 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f 33f(x)(2x (323)f(3)(020)f(0)3f(x)(2x000

323f00(231)f(3)(201)f(0)23f000F(x)f(x1xF(x在[0，1]F(0)10,F(1)10于是由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在(0,1),F()0f()1在[0,和[,1]上對f(x)(0,),(,1f(f(f(0)f()f(1f( 1于 f()f()f()1f()1 1 1yl3如圖，將CClyl3一條曲線l3圍繞原點(diǎn)且與C相接(y)dx

2x2(y)dx

(y)dx

x01 2x 2 2x2設(shè)P ( ,Q ，P,Q在單連通區(qū)域x0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)2x2 2x2

(y)dx2x2QP.當(dāng)x0時(shí)，總有 Q

2y(2x2y4)4x2xy(2x2y4

4x2y2(2x2y4)2 P

(y)(2x2y4)4(y)(2x2y4

(2x2y4 (y)2(y)y44(y)y32由③得yy2c，將y代入④得所以c0，從而y)y2.(I)

③④2y54cy3A1

11

0 2，知rA23A01aA1

11

0按第321)33

11

11 a0

211

1a2[(1a)2(1a)2]8a01 當(dāng)a0時(shí)，A

0 0

0

0 0

2

E

(2)(1)33

(2)[(1)2

(2)(22)(EA0，解得12230A有特征值為122,30 10當(dāng)2時(shí)，根據(jù)特征值的定義，有(2EA)X0

0 2 0x 3 0

10

01，因?yàn)槲粗獢?shù)個(gè)數(shù)為3，故

2 0 0x 3個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無關(guān)的解，同解方程組為x1x20x2x3x21x30x20x31 11,20 (根據(jù)特征向量的定義，1,2即為特征值1,2所對應(yīng)的特征向量)因?yàn)?20，故1,2正交當(dāng)30時(shí)，由(0EA)X0AX0AX0

02 2x 3 0 0 0 2 故 0 0r 0r 02 2 x1x202x x1為自由未知x11(選取任意非零常數(shù)都可，因?yàn)樘卣飨蛄勘仨殲榉橇阆蛄浚? 0)，得特征向量為：30 由于實(shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量是相互正交的，故1,2，3兩兩正1,231

111 20, 3

122 22 0 0

1 12121212120202

，

1， 12(1)22取Q12(1)22則

3，即為所求的正交變換矩陣，故QTQE，則Q1QxQy

AQ

3 f(x,x,x)xTAx(Qy)TAQyyTQTAQyyT

=2y22y 1：f(xxx2y22y20y0y0(y y3kk為任意常數(shù)).0xQy 000kkk1k102 32

2k2

為任意常數(shù)

2：f(xxxx2x22x22xxxx)2x20 1 x1x2 x11系數(shù)矩陣001231個(gè)( 00 AB0BAx0r(Ar(B3(3A的列數(shù)或B的行數(shù))k9,1312r(B2,Ax0，又基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)=未知數(shù)的個(gè)數(shù)rA)3rArAA的第一行元素a,bc不全為零，顯然rA1,rA1.Ax0的基礎(chǔ)解系由3rA)

個(gè)線性無關(guān)解向量組成，1,3是方程組的解且線性無 xk12k26k1k2為任意常數(shù) k k9123r(B=1,從而1rA2.rA1r(A)2,133Ax0的同解方程組為：ax1bx2cx30,1，故基礎(chǔ)解系由312 b c b 程組的基礎(chǔ)解系為11,20xk11k20k1k20 1 0 1常數(shù)

【詳解】(I