圖形的旋轉(zhuǎn)（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（浙教版）

專題3.3圖形的旋轉(zhuǎn)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)的概念把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)..點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′，那么，這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).特別說明：旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.要點(diǎn)二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA=OA′）；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(△ABC≌△).特別說明：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

要點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)的作圖在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．特別說明：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；

(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．(1)按要求畫出圖形：①將向右平移6個(gè)單位得到；②再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；(2)如果將（1）中得到的看成是由經(jīng)過以某一點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一次得到的，請(qǐng)寫出M的坐標(biāo)．【答案】(1)①見分析；②見分析；(2)M（1，-1）【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出、、的位置，順次連接即可；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出、的位置，順次連接即可；（2）連接CC2，AA1，線段CC2，AA1的垂直平分線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)的位置，作出M點(diǎn)寫出坐標(biāo)即可．(1)解：①如圖，即為所求；②如圖，即為所求；(2)解：連接CC2，AA1，線段CC2，AA1的垂直平分線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)的位置，由圖可知，M的坐標(biāo)為（1，-1）．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖—平移和旋轉(zhuǎn)，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在如圖的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給頂點(diǎn)的網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，并完成下列問題：(1)直接寫出的形狀；(2)畫出點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E；(3)在AB上畫點(diǎn)F，使∠BCF∠BAC．(4)線段AB繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到線段CA（A與C對(duì)應(yīng)，B與A對(duì)應(yīng)），直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【答案】(1)是等腰三角形，理由見分析；(2)見分析(3)見分析(4)【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得結(jié)論．（2）取格點(diǎn)Q，使得，線段AQ與格線的交點(diǎn)E，即為所求作．（3）取格點(diǎn)W，連接CW交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求作．（4）線段AC，AB的中垂線的交點(diǎn)J，即為所求作，構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)解：（1）∵，，∴，∴是等腰三角形．如圖所示，取格點(diǎn)Q，則，，，∴AQ=AC=AB，CQ=CB，∴，∴線段AQ與格線的交點(diǎn)E，即為所求作；（3）如圖所示，如圖，點(diǎn)F即為所求作．（4）如圖所示，取格點(diǎn)H（11，7）∵，，∴AC中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線AC的解析式為：y=-x+8，AH的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，7）設(shè)線段AC的中垂線為，∴，∴∴線段AC的中垂線為，同理可得：線段AB的中垂線y=7x-25，由，解得，∴旋轉(zhuǎn)中心J的坐標(biāo)為【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)距離公式，找旋轉(zhuǎn)中心，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰三角形的判定，全等三角形的判定，軸對(duì)稱作圖等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉(zhuǎn)后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是______；（3）請(qǐng)說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.【答案】（1）；（2）.點(diǎn)、點(diǎn)或者線段的中點(diǎn)；（3）【分析】(1)因?yàn)楹陀泄策匒C，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉(zhuǎn)后與重合，可以以點(diǎn)A、點(diǎn)C或AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180.解：(1)∵和都是等邊三角形，∴和是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填A(yù)C;(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與重合，則可以以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60或以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，或以AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180即可；（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180.【點(diǎn)撥】此題考查平移的對(duì)稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定即可.類型二、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解3、為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．(1)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形；(2)試求的周長和面積．【答案】(1)見分析(2)周長為：；面積為：2【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行作圖；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出周長和面積即可．(1)解：如圖所示：即為所求；(2)解：∵，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，故的周長為：；的面積為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形面積求法，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在中，，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．(1)當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，如圖1，求的大??；(2)若時(shí)，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，如圖2，求證：四邊形BEDF是平行四邊形（請(qǐng)用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）【答案】(1)(2)見分析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF＝AC，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求出AB＝AC，從而得出BF＝AB，然后證出△ACD和△BCE為等邊三角形，再利用HL證出△CFD≌△ABC，證出DF＝BE，即可證出結(jié)論．(1)解：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC，點(diǎn)E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°．證明：如圖2，連接AD，∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，∴BF＝AF=CF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF=CF＝AB，∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，∴DE＝BF，△ACD和△BCE為等邊三角形，∴BE＝CB，∵點(diǎn)F為△ACD的邊AC的中點(diǎn)，∴DF⊥AC，在Rt△CFD和Rt△ABC中，∴Rt△CFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和平行四邊形的判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和平行四邊形的判定是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，（1）試說明：是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形【答案】(1)見分析；(2)△AOD是直角三角形，理由見分析；(3)110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形.【分析】（1）根據(jù)CO=CD，∠OCD=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得到△COD是等邊三角形；（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等邊三角形得∠CDO=60°，于是可計(jì)算出∠ADO=90°，由此可判斷△AOD是直角三角形；（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí)，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；當(dāng)∠AOD=∠DAO時(shí)，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；當(dāng)∠ADO=∠DAO時(shí)，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分別解方程求出對(duì)應(yīng)的α的值即可．解：(1)∵∠ACD=∠BCO∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°又∵CO=CD∴△COD是等邊三角形；(2)∵△COD是等邊三角形∴CO=CD又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC∴△ACD≌△BCO（SAS）∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等邊三角形，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等邊三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC?∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；(3)∵△COD是等邊三角形，∴∠CDO=∠COD=60°，∴∠ADO=α?60°,∠AOD=360°?60°?110°?α=190°?α，當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí),△AOD是等腰三角形,即190°?α=α?60°,解得α=125°；當(dāng)∠AOD=∠DAO時(shí),△AOD是等腰三角形,即2(190°?α)+α?60°=180°,解得α=140°；當(dāng)∠ADO=∠DAO時(shí),△AOD是等腰三角形,即190°?α+2(α?60°)=180°,解得α=110°，綜上所述,∠BOC的度數(shù)為110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形.【點(diǎn)撥】此題考查等腰三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.類型三、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明線段、角相等3、如圖，點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)C在線段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段BE和線段BQ中哪一條線段長為定值，并求出該定值．【答案】(1)2(2)CD=BD+AC．理由見分析(3)BQ是定值，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-2=0，4b-8=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到結(jié)果；（2）證明：將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF根據(jù)已知條件得到∠DBF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同時(shí)代的∠BOD+∠AOC=45°，求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得到∠PAB=∠PDE=135°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BPA=∠PED，推出△PBA≌EPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=ED，于是得到FD+ED=PF+AP．即：FE=FA，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．(1)解：∵（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0，∴a-2=0，4b-8=0，∴a=2，b=2，∴A（2，0）、B（0，2），∴OA=2，OB=2，∴△AOB的面積=；(2)證明：如圖2，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF，而∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°，∠DBA=90°，∴∠DBF=180°，∵∠DOC=45°，∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=45°，∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，在△ODF與△ODC中，，∴：△ODF≌△ODC，∴DC=DF，DF=BD+BF，∴CD=BD+AC．(3)BQ是定值，BE明顯不是定值，理由如下：作EF⊥OA于F，在FE上截取FD=PF，∵∠BAO=∠PDF=45°，∴∠PAB=∠PDE=135°，∴∠BPA+∠EPF=90°，∠EPF+∠PED=90°，∴∠BPA=∠PED，在△PBA與△EPD中，，∴△PBA≌EPD（AAS），∴AP=ED，∴FD+ED=PF+AP，即：FE=FA，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°，∴OA=OQ=2，∴BQ=4．為定值．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（1）求證：≌．（2）若，，求正方形的邊長．【答案】（1）證明見分析；（2）正方形的邊長為6．【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）設(shè)正方形的邊長為x，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：四邊形ABCD是正方形，即，即在和中，；（2）設(shè)正方形的邊長為x，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：由（1）已證：又四邊形ABCD是正方形則在中，，即解得或（不符題意，舍去）故正方形的邊長為6．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，等腰三角形中，，．作于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，連接．（1）求證：；（2）延長線段，交線段于點(diǎn)．求的度數(shù)（用含有的式子表示）．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證，得到即可；（2）由（1）得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和證明即可．解：證明：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到線段，，．，．在與中，．（2）解：，，又，，【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明．類型四、旋轉(zhuǎn)圖形中的旋轉(zhuǎn)角4、已知：如圖，繞某點(diǎn)按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1.(1)根據(jù)點(diǎn)和的位置確定旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)______________．(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出;(3)請(qǐng)具體描述一下這個(gè)旋轉(zhuǎn)：________________________________．【答案】(1)；(2)詳見分析.(3)解析解析.【分析】（1）連接和,分別作它們的垂直平分線，垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心;(2)通過（1）作圖發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，然后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）△ABC繞順（逆）旋轉(zhuǎn)多少°得到即可.解：

如圖：可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心為；如圖：由（1）作圖發(fā)現(xiàn)是將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接CO1，繞O1旋轉(zhuǎn)90°，確定C1，最后順次連接A1，B1，C1即可.繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)方式是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中，斜邊，把三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（如圖乙）.這時(shí)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為________________.

【答案】【分析】根據(jù)題意∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以可得∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.解：如圖,由題意可知∠3=15°,∠E′=90°，因?yàn)椤?=∠2，所以∠1=75°.

又因?yàn)椤螧=45°，所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.【點(diǎn)撥】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是知道旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的．（1）請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角是度；（2）以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出△A1AC1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形；（3）設(shè)Rt△ABC兩直角邊BC＝a、AC＝b、斜邊AB＝c，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．【答案】（1）O(0，0)；90度（2）見分析（3）見分析解：（1）圖象的旋轉(zhuǎn)可以利用某點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)來找到旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)中心；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為依次90°、180°，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O，從而可分、找出各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可分別得出旋轉(zhuǎn)后的三角形．（3）利用正方形的面積的不同計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證勾股定理．解：(1)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)是O(0，0)，旋轉(zhuǎn)角是90度；…2分(2)畫出的圖形如圖所示；…6分(3)有旋轉(zhuǎn)的過程可知，四邊形CC1C2C3和四邊形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2．類型五、旋轉(zhuǎn)圖形中的坐標(biāo)5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A落到點(diǎn)C處，點(diǎn)B落到點(diǎn)D處，線段AB上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)E在線段CD上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣，）【分析】（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx＋b得關(guān)于k、b的方程組，然后解方程組求出k和b的值，從而得到直線AB的解析式；（2）先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出E點(diǎn)坐標(biāo)，作EH⊥x軸于H，如圖，然后旋轉(zhuǎn)變換求E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)．(1)解：把點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，2）代入y＝kx＋b得，解得，所以直線AB的解析式為y＝﹣2x＋2；(2)解：當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2?＋2＝，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），作EH⊥x軸于H，如圖，∵△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，∴把△OEH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OFQ，∴∠OHE＝∠OQF＝90°，∠QOH＝90°，OQ＝OH＝，F(xiàn)Q＝EH＝，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y＝kx＋b；再將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；然后解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o后得到，求點(diǎn)的坐標(biāo)？【答案】【分析】根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，則可判斷軸，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：當(dāng)時(shí)，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，因?yàn)榘选骼@點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△，所以，，，，則軸，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：，，，，．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【變式2】如圖，已知線段OA在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)．(1)將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，過點(diǎn)作軸，垂足為B．請(qǐng)?jiān)趫D中用不含刻度的直尺和圓規(guī)分別作出、；(2)若，則的面積是______．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)的性質(zhì)作OA′，利用垂直平分線的作法求B點(diǎn)；（2）設(shè)A′（a，b），如圖過A作AC垂直x軸于C，過A′作A′⊥AC于D，連接AA′；在Rt△ADA′和Rt△OBA′中利用勾股定理建立方程組，解方程即可解答；(1)解：分別以O(shè)、A為圓心，以AO為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A′，連接OA′即為所求線段；以A′為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧交x軸于點(diǎn)E、F，再分別以點(diǎn)E、F為圓心，以EA′、FA′為圓心作弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接CA′交x軸于點(diǎn)B，A′B即為所求線段；(2)解：設(shè)A′（a，b），如圖過A作AC垂直x軸于C，過A′作A′D⊥AC于D，連接AA′，則四邊形DCBA′是矩形；由（1）作圖可得，OA=OA′=AA′==∵A（-2，6），A′（a，b），∴Rt△ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，①Rt△OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，②∴（6-b）2+（a+2）2=a2+b2，解得：a=3b-10，代入②，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b=，b=時(shí)，a=，符合題意；b=時(shí)，a=，不符合題意；∴A′（，），的面積=×（）×（）=；【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法；利用勾股定理構(gòu)建方程是解題關(guān)鍵．類型六、旋轉(zhuǎn)綜合題6、閱讀下列材料：問題：如圖（1），已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．解決下列問題：(1)圖（1）中的線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是______．(2)圖（2），已知正方形ABCD的邊長為8，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，求△EFC的周長．【答案】(1)EF=BE+DF(2)過程見分析【分析】對(duì)于（1），先將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根據(jù)“SAS”證明△FAE≌△HAE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出答案；對(duì)于（2），先根據(jù)（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根據(jù)“HL”證明Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．解：(1)EF=BE+DF．理由如下：如圖，將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠EAF=∠EAH=45°．∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE，∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF；(2)由（1），得△FAE≌△HAE，AG，AB分別是△FAE和△HAE的高，∴AG=AB=AD=8．在Rt△AEG和Rt△ABE中，，∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），∴EG=BE，同理GF=DF，∴△EFG的周長=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【點(diǎn)撥】這是一道關(guān)于正方形和旋轉(zhuǎn)的綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)DG＝PG(2)①見分析；②成立，理由見分析【分析】（1）先判斷出△ABE≌△ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出∠DAG＝∠MFG，再判斷出AG＝FG，即可得出結(jié)論；②由①知，△AGD≌△FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，進(jìn)而得出CM＝CF，由（1）知，DE＝CF，得出CM＝DE，進(jìn)而判斷出△ADE≌△DCM，得出AE＝DM，最后同①的方法即可得出結(jié)論．(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，∵△ECF為等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，∴，∴，∵P為EF中點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，∴PG是△AEF的中位線，∴，∴DG＝PG，故答案為：DG＝PG；(2)①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠MFG，∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，∴AG＝FG，在△AGD和△FGM