常微分方程模擬試卷1

PAGEPAGE9/9填空題1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的積分因子的充要條件是（ 。y有只含

的積分因子的充要條件。２、 稱為黎卡提方程，它有積分因３、 稱為伯努利方程，它有積分因４若X1(t),X2(t), ,Xn(t)為n階齊線性方程的n個解則它們線性無關的充要條件是 。５、形的方程稱為歐拉方程。(t) (t) x'A(t)x

(t)

(t)６、若 和 都是 。

的基解矩陣，則 和

具有的關系是７、當方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當其實部時，零解是穩(wěn)定的，對的奇點稱。二、計算題（６０％）ydx(xy3)dy01、xxsintcos2t2 1

A (t),(0)1３、若(dy４、dx

1 44xydx

試求方程組8y2

xAx的解

2 expAtdyxy2５、求方程dx 經過（0，0）的第三次近似解dx6dt

xy1,dydt

xy

的奇點,并判斷奇點的類型與穩(wěn)定性.三、證明題（１０％）１、n階齊線性方程一定存在n個線性無關解。試卷答案一填空題MN

Ny x

(x)

(y)１、 N Mdyp(x)y2Q(x)yR(x)２、 dx

yyzdyp(x)yQ(x)yn３、dx

u(x,y)yne

(n

p(x)dxw[x４、

(t),x2

, ,xn

(t)]0adyn1dxxndnya dadyn1dx

ay0５、 dxn

dxn1 n(t)(t)C６、７、零 穩(wěn)定中二計算題M1,N

1１、解：因為 ，所以此方程不是恰當方程，方程有積分因子(y)ey

elny2

1y2，兩邊同乘

1 dxxy3dy0y2 y y2得y xy1dxxy3

cy y2 所以解為x

y2cy 2 2xy(y2即

另外y=0也是解xx0的特征方程210故特征根i1f(t)sint11

是特征單根，原方程有特解

xt(AcostBsint)

代入原方程A=-2B=0

f2(t)cos2t 1AxAcos2tBsin2t代入原方程 3B=01 1所以原方程的解為

xc12

costc21

sint tcost cos2t2 3３、解：

p()1

4

269

解得1,2

n2此時k=11

1 ti

t(

)

1v(t)

(A3E)i

1e3t1

1 2 22 22

i0i!

t()2 1 2由公式expAt=

ti et (A E)ii i0 得expAte3tt(A3E)e3t1 0t1 1e3tt t 0 1

1

t 1t dydx

8y2x

8y24ydy dyp x４、解：方程可化為

dx 令dx 則有

4yp

（*）2（*）兩邊對y求導：2

2y(

4y2)dpdy

p(8y2p3)4y2p(p34y2)(2ydp

p)0 2ydp

p0

1 y(p)即 dy

由 dy

pcy2得 即

c 將y代入 c2 2px( (

4 c2xc2

2p y p2（*）

4 c2

即方程的含參數(shù)形式的通解為：

c pp34y20

1p(4y2)3

y x34274又由 得 代入得： 也是方程的解y0 y

0xxdxx21 0 0 2y

x(x

x2)dx

x2x52 0 0 4 2 20

x(xx4

x7)dx

x2

x5

x83５、解：

0 0 4 400 20 2 20 4400 160dxxydtxy10

dyxy６、解：由

xy5

解得奇點令X=x-3,Y=y+2

dt1 因為

=1+1

011由

11

2211222

得1i為穩(wěn)定焦點。三、 證明題由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：x(t1

)1,x2

(t)0,0

,x(tn

)0x'(t1

)0,x'2

(t)1,0

,x(tn

)0xn1(t1

)0,xn1(t2

)0,

,xn1(tn

)1w[x(t1 0考慮

),x2

(t0

,x(tn

1 0)]0 10 0

00101x(t)(i1,2, 從而i

是線性無關的。常微分方程期終試卷(2)一、填空題30%1、形如 的方程，稱為變量分離方程，這.f(x).(y)分別為x.y的續(xù)函數(shù)。2、形如 的方程，稱為伯努利方程，這里P(x).Q(x)為x的連續(xù)函數(shù).n

，可化為線性方程。3、如果存在常數(shù)L 使得不等式

對于所有（x,y函數(shù)1函數(shù)

),(x,y2

)R都成立，L

f(x,y)

稱為在R上關于y滿足利普希茲條件。14、形如 的方程，稱為歐拉方程，這里1

,a,是常數(shù)。25、設(t)是xAx的基解矩陣，(t)是xA(t)xf(t)的某一解，則它的任一解(t)可表為 。二、計算題40% 6 xy的通解。1、求方程dx xdy yexy2、求方程dx x 的通解。3x6x'5xe2t的隱式解。dy4dx

xy2通過點的第三次近似解。三、證明題30%

0 1 t2

2 2

xtt1.試驗證

2t

是方程組x

t2

t

x,x=

1x2 ，在任何不包含原點的區(qū)間xatb上的基解矩陣。t2.設 為方程x'=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即（0）=E，證明:1(t0(t-t0)其中t0《常微分方程》期終試卷答卷一、填空題（每空5分） f(x)(y) P(x)y Q(x)yn1dx 、dx z=y1nf(x,y3

)f(x,y2

) Ly y1 2xdnyxn

axn1

dn1y a xdy

y04、 dxn 1

dxn1

n1 dx n5、(t)(t)(t)二、計算題（10）

y21、這是n=2時的伯努利不等式，令z=y,算得dx dxdz6zx

c x2代入原方程得到dx

，這是線性方程，求得它的通解為z=x6 81 c x2

x6

x8c帶回原來的變量y，得到此外方程還有解y=0.2、

y=x6

8或者y 8

，這就是原方程的解。dy xexyy解：dx

e

xyxxdy(xexyy)dxxdyydxxexydxdxyxexydxdxyxdxexy積分：

exy1x2c21x2故通解為：23、

exyc0x6x'5x0的特征方程為

650，1

5x(t

etc2

e5t12不是特征根，所以方程有形如x(t)Ae2t1x(t代回原方程4Ae1

12Ae2t5Ae2te2tA21x(t)c

etc

e5t

1e2t于是原方程通解為4、

1 2 21 (x)0解0(x)x[x1 0

2(x)]dxx22x x2 x5(x)[x2 0

2(x)]dx 2 20(x)x[x

2(x)]dx

x2

x5

x8

x113 2 2 20 160 44000三、證明題（15）11

t2

0 12 21、證明：令

的第一列為

(t)=,這時'(t)=2= t2111

t 1 0

故111

(t) 2 2 0 是一個解。同樣如果以2(t) 第二列，我們有2()= = t2 t

2(t)tt

2(t)也是一個解。因此

是解矩陣。又因為det

=-t2故

是基解矩陣。2、證明1）

(t-t0)是基解矩陣。

由

為方程x'=Ax

1(t0x=Axt=t0(t01(t0)=E,(t-t0（0）=E.得t1(t0)=(t-t0)常微分方程期終試卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1. 2xylnydx+{x2+y2dy y

}dy=0dx(

11y2x-xy2y2 )2x2y23.y'=2xx2y2xy'= +y5. tgydx-ctydy=06.6. {y-x(x2+y2)}dx-xdy=0一質量為m（比例系數(shù)為k1的力作用在它上面，此外質點又受到介質的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2。試求此質點的速度與時間的關系。x已知f(x)0

f(t)dt

=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達式。二．證明題(10%*2=20%)1Mdx+Ndy=0MNxM+yN0,則(xMyN)是該方程的一個積分因子。證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解。試題答案： MNM N1.解：y=2xlny+2x,y=2x,則

y M

2xlny 12xylnyy,故方1 1x2x2y21y22xylny

y

1dy=e y =

y ，原方程兩邊同乘以y 得y程的解為

dx+13x23lny+

yy2

dy=0是恰當方程.d(32=C。

x211y2y1解：1）y=0是方程的特解2）當y0時，令z= 得dz 6

cx2dx=xz+x.這是線性方程，解得它的通解為z=x6 81 cx2代回原來的變量y得方程解為y=x6 8；y=0. v 2dv uv解：令x=u+3,y=v2,可將原方程變?yōu)閐u= ，v udz

z z

z1z2udz z2uz=uz+u=1 2

，即u= ，z z分離變量并兩端積分得

dz du1z1z2

z lnu+2arctgz=

+lnC，

2arctgvlnzu=2arctgz+lnC代回原變量得v=Ce u2arctgy2e所以，原方程的解為y+2=C

x3.11y2x解：將方程改寫為y'=

+x（*）令u=x

,得到x

y'=xu'+u,則(*)變?yōu)閤1udu1uy

u,變量分離并兩邊積分得arcsinu=ln +lnC,故方程的解為arcsinx=lnCx。解變量分離ctgxdy=tgydx,兩邊積分得ln(siny)=lncosx+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+2(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)當C=0時的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=C。x2 y2 x2 y2解：ydx-xdy-x( + )dx=0,兩邊同除以 + 得ydxxdyx2y

xxdx=0d(arctgy

1)2

x2=0,故原方程的解為arctg

x 1y2x

=C。dv解：因為F=ma=mdt，又F=

F1

ktkv1 2 ，dv ktkv

dvktkv即