方差分析培訓教材課件

方差分析方差分析1

一方差分析的意義工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)劣，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)量高低，由諸多因素造成。如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，肥料，澆灌，良種，管理等；化工生產(chǎn)中，原料成分，催化劑，劑量，反應溫度，壓力，溶液，機器設備與操作人員水平。每種因素的改變，可影響產(chǎn)品質(zhì)量與數(shù)量，那么在諸因素中找出對質(zhì)量的某種指標有顯著影響的因素，還要弄清這些顯著因素在什么狀態(tài)下（水平）起的作用大。方差分析就是根據(jù)試驗結(jié)果進行分析，鑒別各個因素對試驗結(jié)果影響的有效方法。

2

試驗指標：在試驗中要考察的指標稱為試驗指標。

因素：影響試驗指標的條件稱為因素?？煽匾蛩兀喝纾磻獪囟?，原料劑量，濃度。不可控因素：如，測量誤差，氣象條件等。

水平：因素所處狀態(tài)稱為因素的水平。

單因素試驗：試驗中只有一項因素在改變稱為單因素試驗。否則就稱多因素試驗。例1設有三臺機器，用來生產(chǎn)規(guī)模相同的鋁合金薄板,取樣測量薄板至千分之一厘米，得結(jié)果如下表所示；試驗指標：在試驗中要考察的指標稱為試驗指標。3

機器1機器2機器30.2360.2570.2580.2380.2580.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262

x=0.242x=0.256x=0.262這里，試驗指標是薄板的厚度。機器為因素，不同的三臺機器是這個因素的三個不同的水平。試驗的目的是為了考察各臺機器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著差異。機器14

例2下面列出了隨機選取的，用于計算器的四種類型的電路的響應時間（以毫秒計）。表9.2電路的響應時間類型1類型2類型3類型4192016182221152220331619182726154017這里，試驗指標是電路的響應時間。電路類型為因素，這一因素有四個不同的水平。試驗的目的是為了考察各種類型的電路的響應時間有無顯著差異。例2下面列出了隨機選取的，用于計算器的四種5

二單因素試驗在例1中，我們在因素的每一個水平下進行了獨立試驗，其結(jié)果是一個隨機變量。表中的數(shù)據(jù)可看成來自三個不同總體的樣本值。將各個總體的均值依次記作1,

2,

3,按題意需檢驗假設H0：1=2=3

H1：1,2,3不全相等。現(xiàn)在若假設各總體均為正態(tài)變量，且各總體的方差相等，那么這是一個檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。設因素A有s個水平A1,A2,…,As,在水平Aj(j=1,2,…s)下，進行了nj(nj2)次獨立試驗，得到如下表的結(jié)果二單因素試驗6

表9.4水平觀察值A1A2…As

x11x12…x1s

x21x22…x2s

…………xn11xn22…xnss

樣本總和T.1T.2…T.s

樣本均值...總體均值

1

2...

s

7我們假定：各個水平Aj(j=1,2,…,s)下的樣本x1j,A2j,…,Anjj來自具有相同方差s2，均值分別為mj(j=1,2,…,s)的正態(tài)總體N(mj,s2),mj與s2未知。且設不同水平Aj下的樣本之間相互獨立。

其中mj與s2均為未知參數(shù)，（1）式稱為單因素試驗方差分析的數(shù)學模型。我們假定：各個水平Aj(j=1,2,…,s8方差分析的任務是對于模型（1）：10檢驗s個總體N(m1,s2),…,N(ms,s2)的均值是否相等

H0：1=2=…=s,(2)

H1：1,2,…,s不全相等。20作出未知參數(shù)1,2,…,s,s2的估計。方差分析的任務是對于模型（1）：9利用這些記號，模型（1）可改寫成而假設（2）等價假設

H0：1=2=…=s=0(2)’

H1：1,2,…,s不全為零。這是因為當且僅當1=2=…=s時,

j=

,即

j=0.三平方和的分解利用這些記號，模型（1）可改寫成而假設（210是數(shù)據(jù)的總平均。ST又稱總變差。記水平Aj下的樣本平均值為，即則有是數(shù)據(jù)的總平均。ST又稱總變差。記水平Aj下的樣本平均值11于是我們將ST分解成為：其中(10)于是我們將ST分解成為：其中(10)12上述SE的各項表示在水平Aj下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機誤差引起的,SE稱誤差平方和。而SA的各項表示在水平Aj下樣本平均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平Aj及隨機誤差引起的.SA稱效應平方和。

三SE，SA的統(tǒng)計特性上述SE的各項表示在水平Aj下，樣本觀察值13方差分析培訓教材14方差分析培訓教材15方差分析培訓教材16方差分析培訓教材17單因素試驗方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素ASA s-1誤差SEn-s總和

STn-1單因素試驗方差分析表18即有即有19方差分析培訓教材20單因素試驗方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A0.0010533320.0005266132.92誤差0.000192120.000016總和

0.00124533

14單因素試驗方差分析表21五、未知參數(shù)的估計我們已經(jīng)知道，不管H0是否為真

五、未知參數(shù)的估計22方差分析培訓教材23例5求例4中的未知參數(shù)s2,mj,dj(j=1,2,3)的點估計及均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。均值差的區(qū)間估計如下。由t0.025(n-s)=t0.025(12)=2.1788得例5求例4中的未知參數(shù)s2,mj,dj(j=1,2,24故u1-u2,u1-u3,及u2-u3,的置信度為0.95的置信區(qū)間分別為例6設在例2中的四種類型電路的響應時間的總體均為正態(tài)且各總體的方差相同。又設各樣本相互獨立。試取水平a=0.05,檢驗各個類型電路的響應時間是否有顯著差異。解分別以1,2,3,4,記類型I,II,III,IV四種電路響應時間總體的平均值。我們需檢驗(a=0.05)H0:1=2=3=4,H1:1,2,3,4,不全相等。故u1-u2,u1-u3,及u2-u3,的置信度為25現(xiàn)在n=18,s=4,n1=n2=5,n4=3,ST,SA,SE的自由度依次為17，3，14，結(jié)果載于下表?，F(xiàn)在n=18,s=4,n1=n2=5,26因F0.05(3,14)=3.34<3.76,故在水平0.05下拒絕H0，認為各類型電路的響應時間有顯著差異。End因F0.05(3,14)=3.34<3.727演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！28方差分析方差分析29

一方差分析的意義工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)劣，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)量高低，由諸多因素造成。如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，肥料，澆灌，良種，管理等；化工生產(chǎn)中，原料成分，催化劑，劑量，反應溫度，壓力，溶液，機器設備與操作人員水平。每種因素的改變，可影響產(chǎn)品質(zhì)量與數(shù)量，那么在諸因素中找出對質(zhì)量的某種指標有顯著影響的因素，還要弄清這些顯著因素在什么狀態(tài)下（水平）起的作用大。方差分析就是根據(jù)試驗結(jié)果進行分析，鑒別各個因素對試驗結(jié)果影響的有效方法。

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試驗指標：在試驗中要考察的指標稱為試驗指標。

因素：影響試驗指標的條件稱為因素。可控因素：如，反應溫度，原料劑量，濃度。不可控因素：如，測量誤差，氣象條件等。

水平：因素所處狀態(tài)稱為因素的水平。

單因素試驗：試驗中只有一項因素在改變稱為單因素試驗。否則就稱多因素試驗。例1設有三臺機器，用來生產(chǎn)規(guī)模相同的鋁合金薄板,取樣測量薄板至千分之一厘米，得結(jié)果如下表所示；試驗指標：在試驗中要考察的指標稱為試驗指標。31

機器1機器2機器30.2360.2570.2580.2380.2580.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262

x=0.242x=0.256x=0.262這里，試驗指標是薄板的厚度。機器為因素，不同的三臺機器是這個因素的三個不同的水平。試驗的目的是為了考察各臺機器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著差異。機器132

例2下面列出了隨機選取的，用于計算器的四種類型的電路的響應時間（以毫秒計）。表9.2電路的響應時間類型1類型2類型3類型4192016182221152220331619182726154017這里，試驗指標是電路的響應時間。電路類型為因素，這一因素有四個不同的水平。試驗的目的是為了考察各種類型的電路的響應時間有無顯著差異。例2下面列出了隨機選取的，用于計算器的四種33

二單因素試驗在例1中，我們在因素的每一個水平下進行了獨立試驗，其結(jié)果是一個隨機變量。表中的數(shù)據(jù)可看成來自三個不同總體的樣本值。將各個總體的均值依次記作1,

2,

3,按題意需檢驗假設H0：1=2=3

H1：1,2,3不全相等?，F(xiàn)在若假設各總體均為正態(tài)變量，且各總體的方差相等，那么這是一個檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。設因素A有s個水平A1,A2,…,As,在水平Aj(j=1,2,…s)下，進行了nj(nj2)次獨立試驗，得到如下表的結(jié)果二單因素試驗34

表9.4水平觀察值A1A2…As

x11x12…x1s

x21x22…x2s

…………xn11xn22…xnss

樣本總和T.1T.2…T.s

樣本均值...總體均值

1

2...

s

35我們假定：各個水平Aj(j=1,2,…,s)下的樣本x1j,A2j,…,Anjj來自具有相同方差s2，均值分別為mj(j=1,2,…,s)的正態(tài)總體N(mj,s2),mj與s2未知。且設不同水平Aj下的樣本之間相互獨立。

其中mj與s2均為未知參數(shù)，（1）式稱為單因素試驗方差分析的數(shù)學模型。我們假定：各個水平Aj(j=1,2,…,s36方差分析的任務是對于模型（1）：10檢驗s個總體N(m1,s2),…,N(ms,s2)的均值是否相等

H0：1=2=…=s,(2)

H1：1,2,…,s不全相等。20作出未知參數(shù)1,2,…,s,s2的估計。方差分析的任務是對于模型（1）：37利用這些記號，模型（1）可改寫成而假設（2）等價假設

H0：1=2=…=s=0(2)’

H1：1,2,…,s不全為零。這是因為當且僅當1=2=…=s時,

j=

,即

j=0.三平方和的分解利用這些記號，模型（1）可改寫成而假設（238是數(shù)據(jù)的總平均。ST又稱總變差。記水平Aj下的樣本平均值為，即則有是數(shù)據(jù)的總平均。ST又稱總變差。記水平Aj下的樣本平均值39于是我們將ST分解成為：其中(10)于是我們將ST分解成為：其中(10)40上述SE的各項表示在水平Aj下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機誤差引起的,SE稱誤差平方和。而SA的各項表示在水平Aj下樣本平均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平Aj及隨機誤差引起的.SA稱效應平方和。

三SE，SA的統(tǒng)計特性上述SE的各項表示在水平Aj下，樣本觀察值41方差分析培訓教材42方差分析培訓教材43方差分析培訓教材44方差分析培訓教材45單因素試驗方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素ASA s-1誤差SEn-s總和

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