工程數(shù)學(xué)試卷及答案

....--優(yōu)選得分得分評卷人一、單項(xiàng)選擇題315代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。3Aii那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A.全部擊中. B.至少有一發(fā)擊中.C.必然擊中 D.擊中3發(fā)對于任意兩個隨機(jī)變量X和假設(shè)那么有( )。X和Y獨(dú)立。 B.X和Y不獨(dú)立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.D(XY)=D(X)D(Y)以下各函數(shù)中可以作為某個隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是〔 A． f(x)|x|) |x1。 B. f(x)0.5 |x2 0 其它 0 其它 1 (x)2 x0C. f(x)

e 20

x0

D.f(x)ex x0，0 4．設(shè)隨機(jī)變量N(, 42),N(, 52), P1

P{X4},P 5},那么有〔 〕2A.對于任意的,P=PB.對于任意的,P<P1 2 1 2C.只對個別的，才有P=P D.對于任意的,P>P1 2 1 2設(shè)X為任意非零常數(shù)，那么以下等式中正確的選項(xiàng)是〔〕A．D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-c答案1．B 2．CD.D(cX)=cD(X)3．D 4．A 5．A得分評卷人 得分評卷人二、填空題〔每空3分，共15分〕設(shè)3階矩陣A的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*，那么|A*+3A–2E|=。0 1 1 2 0 0

1 0 1 1

0 x 0 x=。 1 1 0 3個元件并聯(lián)，每個元件正常工作的概率為P常工作的概率為。0 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)2x 0xA0 1PX ) 。1210．設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)ke(3x4y) xy0，那么系數(shù)k 。0 其它0答案：6.9 7.1 8.1–(1–P)3 9.3/4 10.12求函數(shù)f(t)e

的傅氏變換(這里0)，并由此證明：得分評卷人2 cost 得分評卷人220

d2e t三、計(jì)算題〔每題10分，共50分〕0.6和0.4三、計(jì)算題〔每題10分，共50分〕11〞，而是0.8和0.2“1〞時(shí)，收報(bào)臺分別以概率0.9和0.1收到信號“0〞和“1〞。求〔1〕收報(bào)臺收到信號“1〞的概率；〔2〕當(dāng)收報(bào)臺收到信號“1〞時(shí)，發(fā)報(bào)臺確是發(fā)出信號“1〞的概率。設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y的聯(lián)合概率函數(shù)是ce(2x4y) xy0f(x,y) 0 其它1〕常數(shù)2〕概率≥Y3〕X與Y出理由。將n個球隨機(jī)的放入N可能的，求有球盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。一球，記隨機(jī)變量X為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求X(2)EX得分評卷人 得分評卷人四、證明題〔共10分〕設(shè)

,a,…,a)T，a≠0,其長度為║a║，又A=aaT,1 2 n 1(1)證明A2=║a║2A；a是A0是A的n-1AΛ嗎？假設(shè)能,寫出對角陣Λ.得分評卷人得分評卷人五、應(yīng)用題〔共10分〕設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量X是隨機(jī)變量,它在[2000,4000](噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假設(shè)銷售不出而囤積在倉庫，那么1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、1．B選擇題〔每題3分，共15分〕2．C 3．D4．A 5．A二、6.9填空題〔每題3分，共15分〕7.1 8.1–(1–P)3 9.3/410.12三、計(jì)算題〔每題10分，共50分〕11.解答：函數(shù)f(t)的付氏變換為： [e|t|e|t|edtej)tdtej)t 0 0= 1 1 2

(2分)j j 22由付氏積分公式有f(t)=1

[F(w)]=1

F

d (2=12

2 (costjsint)d22==1

2

costd

2 cost〔2分〕

2

220所以

cost d e

〔1分〕22 20解答:設(shè) A1=“發(fā)出信號1〞，A0=“發(fā)出信號0〞收到信號1〞2分(1)由全概率公式1分〕有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)〔2分〕=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52 〔1分〕(2)由貝葉斯公式〔1分〕有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/〔2分〕=0.8x0.6/0.52=12/13 〔1分〕解答:(1)

dx f(x,y)dy1 dxce即 (2x4y)dy1〔2分〕dxce0 0從而〔2分〕(2)P(XY)

f(x,y)dxdyxy

xe(2x4y)dydx0 0dx

23〔2分〕(3)當(dāng)時(shí)， f (x)X

f(x,y)dye(2x4y)dye2x〔2分〕當(dāng)時(shí), fX

0(x)0同理有f

(y)4e4y y0〔1Y 0 其它因f(x,y)fX

(x)fY

(y)

x,y故X與Y相互獨(dú)立〔1分〕解答：1設(shè)X i

第i個盒子有球否則

i=1,2,…,N (2那么XNi1

X (1i因P(Xi

0)

(N1)nNn

(2分)P(Xi

1P(Xi

0)1(N1)n(2Nn因而EXi

0P(Xi

0)1P(Xi

1(N1)nNn

(2分)所以EXNEXii1

N

1)n)(2分)N解答：〔1〕隨機(jī)變量X的取值為1，2，3。 〔1分〕依題意有：P{X1 ;P{X3 ;P(X2

〔3分〕6 6 6X的分布函數(shù)F(x)P{X〔1分由條件知：當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)〔1分〕當(dāng)1x2FPX1;〔16當(dāng)2x3FPXPX2)x3F〔1

2;〔1分〕3〔2EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13/6 〔1分〕四、證明題〔共10分〕A2=aaT·aaT=aTa·aaT=║a║2A 〔2分〕因Aa=aaT·a=aTa·a=║a║2a 〔2分故a是A的一個特征向量。又A對稱，故A必相似于對角陣 〔1分〕設(shè)A∽diag(λ,λ,…,λ)=B,其中λ,λ,…,λ是A的特征值 (1)1 2 n 1 2 n因rank(A)=1,所以rank(B)=1 (1分)從而λ,λ,…,λ中必有n-1個為0,即0是A的n-1重特征值 〔1分〕1 2 nA對稱，故A必相似于對角陣Λ，Λ=diag(║a║2,0,…,0) (2分)五、應(yīng)用題〔共10分〕解答:設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量這個數(shù)量可只介于2000與4000之間用Z示國家的收益〔萬元, 〔1分〕那么有 Zg(X) 3y3X(yX)因 X服從R(2