工程力學基礎(講義)

工程力學基礎 1工程力學基礎工程力學基礎 2目錄概 述 第一章 物體的受力分析和靜力學平衡方程 第一節(jié) 靜力學基本概念 5第二節(jié) 約束和約束反力 .0第三節(jié) 分離體和受力圖 .3第四節(jié) 力的投影合力投影定理 16第五節(jié) 力矩力偶 9第六節(jié) 力的平移 .2第七節(jié) 平面力系的簡化合力矩定理 .3第八節(jié) 平面力力系的平衡方程 30第九節(jié) 空間平面力系 .8第二章拉伸、壓縮與剪切 43第一節(jié) 軸向拉伸與壓縮的概念和實例 44第二節(jié) 軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力 45第三節(jié) 軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力 47第四節(jié) 軸向拉伸或壓縮時的變形 .0第五節(jié) 材料在拉伸與壓縮時的力學性能 .4第六節(jié) 軸向拉伸或壓縮時的強度計算 59第七節(jié) 應力集中的概念 .3第八節(jié)剪切與擠壓的實用計算 .4第三章 扭 轉(zhuǎn) 68第一節(jié) 扭轉(zhuǎn)的概念和實例 .8第二節(jié) 扭轉(zhuǎn)時外力和內(nèi)力的計算 69第三節(jié) 純剪切 .1第四節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力 .3第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)的強度計算 76第六節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)的變形和剛度計算 .8第四章彎曲 79第一節(jié) 平面彎曲的概念和實例 79第二節(jié) 梁彎曲時的內(nèi)力—剪力和彎矩 81第三節(jié) 剪力圖和彎矩圖 .4第四節(jié) 純彎曲時梁橫截面上的正應力 89第五節(jié) 慣性矩和彎曲截面系數(shù) 91第六節(jié) 梁的彎曲強度計算 .2第七節(jié) 不作要求* .6第八節(jié) 彎曲變形 6第五章組合變形構(gòu)件的強度計算 .第一節(jié) 點的應力狀態(tài)簡介 101第二節(jié) （第二、三節(jié)不講） 103第三節(jié) （第二、三節(jié)不講） 103第四節(jié) 強度理論簡介 103第五節(jié) 組合變形的強度計算 106第六章交變應力 .第一節(jié) 交變應力及構(gòu)件的疲勞破壞 113第二節(jié) 循環(huán)特征和持久極限（二、三節(jié)合并） 115第四節(jié) 提高構(gòu)件疲勞強度的措施 118工程力學基礎 3工程力學基礎概 述工程力學是一門研究物體機械運動及構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性的科學。土力學，巖體力學等。而固體力學包括材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學、塑性力學、復合材料力學以及斷裂力學等。如按使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生反應的作用性質(zhì)分類，工程力學的許多分支都可以再分為靜力學與動力學。例如結(jié)構(gòu)靜力學與結(jié)構(gòu)動力學。本篇包括工程力學的兩個基礎部分的內(nèi)容：靜力學和材料力學。力是物體間相互的（機械）(N)(KN)。作用在物體上的力會引起兩種效應：一是引起物體機械運動狀態(tài)的改變，稱為外效應；二是引起物體的變形，稱為內(nèi)效應。靜力學是研究物體在外力系作用下平衡規(guī)律的科學，即主要研究外效應。而材料力學主要是研究物體的變形規(guī)律，即主要研究內(nèi)效應。為保證構(gòu)件正常工作，構(gòu)件應具有足夠的能力負擔所承受的載荷。因此，構(gòu)件應當滿足以下要求：用下構(gòu)件當然不應破壞，包括斷裂和發(fā)生較大的塑性變形。例如，沖床曲軸不可折斷；建筑物的梁和板不應發(fā)生較大塑性變形。強度要求就是指構(gòu)件在規(guī)定的使用條件下不發(fā)生意外斷裂或塑性變形。件即使有足夠的強度，但若變形過大，仍不能正常工作。例如，機床主軸的變形過大，將影響加工精度；齒輪軸變形過大將造成齒輪和軸承的不均勻磨損，引起噪音。剛度要求就是指構(gòu)件在規(guī)定的事業(yè)條件下不發(fā)生較大的變形。的細長桿，如千斤頂?shù)穆輻U、內(nèi)燃機的挺桿等應始終維持原有的直線平衡狀態(tài)，保證不被壓彎。穩(wěn)定性要求就是指構(gòu)件在規(guī)定的使用條件下不產(chǎn)生喪失穩(wěn)定性破壞。如果構(gòu)件的橫截面尺寸不足或形狀不合理，或材料選用不當，不能滿足上述要求，將不能保證工程結(jié)構(gòu)或機械的安全工作。相反，如果不恰當?shù)募哟髽?gòu)件橫截面尺寸或選用高強材工程力學基礎 4料，這雖滿足了上述要求，卻使用了更多的材料和增加了成本，造成浪費。我們可以作出以下結(jié)論：材料力學是研究各類構(gòu)件（主要是桿件）性的學科，它提供了有關的基本理論、計算方法和實驗技術，使我們能合理地確定構(gòu)件的材料和形狀尺寸，以達到安全與經(jīng)濟的設計要求。工程力學基礎 5第一章物體的受力分析和靜力學平衡方程靜力學主要研究的以下兩個內(nèi)容：力系的簡化力系地說剛體就是在力的作用下不發(fā)生變形的物體。在對剛體進行受力分析時，往往可以把剛體看成一個點（質(zhì)點）來研究。等效力系：如果作用于一剛體上的力系可以用另一力系代替而不改變其對剛體的作用效果，則稱這兩個力系為等效力系。力系的簡化：用一個簡單的等效力系代替一個復雜的力系稱為力系的簡化。剛體的平衡條件指剛體處于平衡狀態(tài)時作用于剛體上的力系應滿足的條件。本章將闡述靜力學中的一些基本概念、靜力學公理、工程上常見的典型約束和約束反力，以及物體的受力分析。第一節(jié)靜力學基本概念一、力的概念及作用形式肌肉緊張而感受到力的作用，這種作用廣泛存在于人與物及物與物之間。例如，奔騰的水流能推動水輪機旋轉(zhuǎn)，錘子的敲打會使燒紅的鐵塊變形等。1、力的定義 力是物體之間相互的機械作用，這種作用將使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化或者使物體產(chǎn)生變形前者稱為力外效后者稱為力的內(nèi)效應。2力的三要素 實踐證明力對物體的作用效應決定于力大小、方（包括方位和指向）作用點的位這三個因素就稱力的三要在這三個要素中如果改變其中任何一個也就改變了力對物體的作用效應。例如：用扳手擰螺母時，作用工程力學基礎 6在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用 圖點不同，它們產(chǎn)生的效果就不同（圖。注意1）力是矢量 力是一個既有大小又有方向的量，而且又滿足矢量的運算法則，因力是矢量（或稱向量。矢量常用一個帶箭頭的有向線段來表示（圖，線段長度B按一定比例代表力的力的作用線。用黑體字F代表力矢，并以同一字母的非黑體字F代表該矢量的模（大小。（2）力的單位 力的國際制單位是牛頓或千牛頓，其符號為或。3、集中力、均布力（均布載荷）（如圖。分布力：當力的作用范圍比較大時稱為分布力（如圖。其大小用分布力集度（單位長度力的大小)（如圖。q(x)x(b)F(c)qq(x)x(b)F(c)(a)(a)圖1-2二、剛體的概念其幾何形狀和尺寸不變的物體。在對剛體進行受力分析時，往往可以把剛體看成一個點（質(zhì)點）來研究。顯然，剛體是一個理想化的模型，實際上并不存在這樣的物體。但是，工程實際中的機械零件和結(jié)構(gòu)構(gòu)件，在正常工作情況下所產(chǎn)生的變形，一般都是非常微小的。這樣微小的變就不能把物體看作是剛體，否則會導致錯誤的結(jié)果，甚至無法進行研究。工程力學基礎 7三、平衡的概念1、平衡如果物體相對于地球靜止或作均速直線運動，則稱該物體處于平衡狀態(tài)。當物體處于平衡狀態(tài)時，作用于該物體上的力系稱為平衡力系。力系平衡所滿足的條件稱為平衡條件。如果兩個力系對同一物體的作用效應完全相同，則稱這兩個力系互為等效力系。當一個力系與一個力的作用效應完全相同時，把這一個力稱為該力系的合力，而該力系中的每一個力稱為合力的分力。必須注意，等效力系只是不改變原力系對于物體作用的外效應，至于內(nèi)效應顯然將隨力的作用位置等的改變而有所不同。2、二力平衡原理及二力體（圖1-3）這個公理揭示了作用于物體上的最簡單的力系在平衡時所必須滿足的條件，它是靜力學中最基本的平衡條件。二力體只受兩個力作用而平衡的物體稱為二力體（如果為桿件 圖則稱二力。圖1-4機械和建筑結(jié)構(gòu)中的二力體常常統(tǒng)稱為“二力構(gòu)件”。它們的受力特點是：兩個力的方向必在二力作用點的連線上。應用二力體的概念，可以很方便地判定結(jié)構(gòu)中某些構(gòu)件的受力方向。如圖1-4所示三鉸拱中ABAB力構(gòu)件，故AB兩點的作用力必沿AB連線的方向。3、加減平衡力系原理工程力學基礎 8圖1-54力的可傳性原理 作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內(nèi)任一點而不改變原。例如，圖1-6中在車后A點加一水平力推車，與在車前B力拉車，其效果是一樣的。這個原理可以利用上述公理推證如下（圖：設F作用于A點（圖；在力的作用線上任取一點，并在B點加一平衡力系F，F(xiàn)，使F

=－F1 2 1 2（圖；由加減平衡力系公理知，這并不影響原力F對剛體的作用效應；再從該力系中去掉平衡力系,F，則剩下的F（圖）與原力F等效。1 2這樣就把原來作用在A點的力F沿其作用線移到了B點。根據(jù)力的可傳性原理，力在剛體上的作用點已為它的作用線所代替，所以作用于剛體上的力的三要素又可以說是：力的大小、方向和作用線。這樣的力矢量稱為滑移矢量。（a） （b） （c）圖1-6應當指出，力的可傳性原理只適用于剛體，對變形體不適用。5、力的平行四邊形法則和1-7F=F+FR 1 2

（1-1）圖1-7 圖1-8工程力學基礎 9從圖1-8形就行了。為了使圖形清晰起見，通常把這個三角形畫在力所作用的物體之外。如圖1-7所O先畫出一力矢FF的終點畫一力矢FO點至力1 1 2矢FFF、

的合力。合力的作用點仍為匯交點A。這種作圖方2 R 1 2法稱為力的三角形法則但次序可變，合力力矢與最后分力箭頭相接。此外還應注意，力三角形只表示力的大小和方向，而不表示力的作用點或作用線。工程實際中，通常是分解為方向互相垂直的兩個分力。例如，在進行直齒圓柱齒輪的受力分析時，常將齒面的法向正壓力Fn

分解為推動齒輪旋轉(zhuǎn)的即沿齒輪分度圓圓周切線方向的分力––– 圓周力F，指向軸心的壓力 ––– 徑向力F（圖。若已知F與分度圓圓周t r n切向所夾的壓力角為α ，則有F=Fcosα F=Fsinαt n r n運用力系加減原理和力的平行四邊形法則可以得到下面的推論：物體受三個力作用而平衡時，此三個力的作用線必匯交于一點。此推論稱為三力平衡匯交定理。6、作用與反作用定律兩個物體間的作用力與反作用力，總是大小相等，方向相反，作用線相同，并分別作用于這兩個物體。這個公理概括了自然界的物體相互作用的關系，表明 圖了作用力和反作用力總是成對出現(xiàn)的。必須強調(diào)指出，作用力和反作用力是分別作用于兩個不同的物體上的，因此，決不能認為這兩個力相互平衡，這與兩力平衡公理中的兩個力有著本質(zhì)上的區(qū)別。不同，內(nèi)力與外力是可以互相轉(zhuǎn)化的。工程力學基礎 10第二節(jié)約束和約束反力凡能主動引起物體運動狀態(tài)改變或使物體有運動狀態(tài)改變趨勢的力稱為主動力。工程中常把主動力稱為載荷。在空間不受限制任意運動的物體稱為自由體。若物體受到某些條件的限制，在某些方向不能運動，則這種物體稱為非自由體。那些限制物體某些運動的條件，稱為約束。這些限制條件總是由被約束體周圍的其它物體構(gòu)成的。為方便起見，構(gòu)成約束的物體常稱為約束。約束約束反力總是作用在被約束體與約束體的接觸處，其方向也總是與該約束所能限制的運動或運動趨勢的方向相反。據(jù)此，即可確定約束反力的位置及方向。常見的典型平面約束有以下幾種：1、柔索約束由繩索、膠帶、鏈條等形成的約束稱為柔索約束。這類約束只能限制物體沿柔索伸長方向的運動，因此它對物體只沿柔索方向的拉，如圖、1-11所示，常用符號為F 。T輪緣的切線方向（圖。（a） （b） （a） 圖1-10 圖1-112、光滑面約束當兩物體直接接觸，并可忽略接觸處的摩擦時，約束只能限制物體在接觸點沿接觸面的公法線方向約束物體的運動，不能限制物體沿接觸面切線方向的運動，故約束反力必過接觸點沿接觸面法向并指向被約束體，簡稱法向壓力，通常用FN

表示。圖1-12中A和B所示分別為光滑曲面對剛體球的約束和齒輪傳動機構(gòu)中齒輪輪齒的約束。圖1-13為直桿與方槽在A、B、C三點接觸，三處的約束反力沿二者接觸點的公法線方向作用。工程力學基礎 113、圓柱鉸鏈約束

圖1-12 圖1-13鉸鏈是工程上常見的一種約束。它是在兩個鉆有圓孔的構(gòu)件之間采用圓柱定位銷所形成的連接，如圖1-14所示。門所用的活頁、鍘刀與刀架、起重機的動臂與機座的連接等，都是常見的鉸鏈連接。一般認為銷釘與構(gòu)件光滑接觸，所以這也是一種光滑表面約束，約束反力應通過接觸點K沿公法線方向（通過銷釘中心）指向構(gòu)件，如圖1-15a際上很難確定K的位置，因此反力F的方向無法確定。所以，這種約束反力通常NFF來表示x y可以任意設定，如圖1-14b。圖1-14 圖1-15這種約束在工程上應用廣泛，可分為三種類型：固定鉸支座 用以將構(gòu)件和基礎連接，如橋梁的一端與橋墩連接時，常用種約束，如圖1-16a所示，圖1-16b是這種約束的簡圖。a） b)圖1-16可動鉸支座 在橋梁、屋架等結(jié)構(gòu)中，除了使用固定鉸支座外，還常使用一工程力學基礎 12種放在幾個圓柱形滾子上的鉸鏈支座，這種支座稱為可動鉸支座，也稱為滾動鉸支座或輥軸支座，它的構(gòu)造如圖1-176所示。由于輥軸的作用，被支承構(gòu)件可沿支承面的切線方向移動，故其約束反力的方向只能在滾子與地面接觸面的公法線方向。圖中間鉸鏈 用來連接兩個可以相對轉(zhuǎn)但不能移動的構(gòu)件，如曲柄連桿機構(gòu)中曲柄與連桿、連桿與滑塊的連接。通常在兩個構(gòu)件連接 圖1-17處用一個小圓圈表示鉸鏈，如圖1-18c所示。*4軸承約束

a) b) c)圖1-18軸承約束是工程中常見的支承形式，它的約束反力的分析方法與鉸鏈約束相同。（）支承傳動軸的向心軸承（圖（2）推力軸承（圖1-20a）除了與向心軸承一樣具有作用線不定的徑向約 a) 束力外，由于限制了軸的軸向運動，因而還 圖1-19有沿軸線方向的約束反力（圖。其力學符號如圖c所示。圖1-20工程力學基礎 13第三節(jié)分離體和受力圖解決力學問題，關鍵是要進行受力分析。所謂受力分析，是指分析所要研究的物體（稱為研究對象）上受力多少、各力作用點和方向的過程。工程中物體的受力可分為兩類，一類稱為主動力，如工作載荷、構(gòu)件自重、風力等，這類力一般是已知的或可以測量的，另一類就是約束反力。進行受力分析時，研究對象可以用簡單線條組成的簡圖來表示。畫受力圖的步驟：確定研究對象，解除約束，取分離體；先畫出作用在分離體上的主動力，再根據(jù)約束的性質(zhì)在解除約束的地方畫上約束反力；畫物體受力圖時，要利用相鄰物體間的作用力與反作用力之間的關系。畫受力圖是解決力學問題的第一步驟，正確地畫出受力圖是分析、解決力學問題的前提。如果沒有特別說明，則物體的重力一般不計，并認為接觸面都是光滑的。下面舉例說明受力圖的作法及注意事項。例1（教材例1-1，P5）例2（教材例1-2，P5）例3 重力為P的圓球放在板AC與墻壁AB之間，如圖1-21a所示。設板AC重力不計，試作出板與球的受力圖。解：先取球為研究對象，作出簡圖。球上主動力約束反力有F 和FND NE

，均屬光滑面約束的法向反力。受力圖如圖1-21b所示。再取板作研究對象。由于板的自重不計，故只有A、C、E處的約束反力。其中A處為固定鉸支座，其反力可用一對正交分力F、F處為柔索約束，其反力為拉力

；E處Ax By T的反力為法向反力圖如圖1-21c所示。

，要注意該反力與球在處所受反力FNE

為作用與反作用的關系。受力例4 圖1-22所示為一起重機支架，已知支架重量、吊重。試畫出重物、吊鉤、滑與支架以及物系整體的受力圖。圖1-21解：重物上作用有重量G和吊鉤沿繩索的拉力F、FT1 T2

(圖1-22d)。工程力學基礎 14吊鉤受繩索約束，沿各繩上畫拉力（圖1-22c）滑車上有鋼梁的約束反力T1 T2 T3F、FR1

及吊鉤繩索的拉力F′

（圖。T3支架上有A點的約束反力F 、

，B

及滑車滾輪的壓力F′ 、NAx′ ，支架自重（圖。R2

NAy

NB R1整個物系作用有、FF 、F ，其余為內(nèi)力，均不顯示（圖。NB NAx NAy圖1-22例5 畫出圖1-23bc兩圖中滑塊及推桿的受力圖，并進行比較。圖1-23a是曲柄滑塊機構(gòu)，圖1-23d是凸輪機構(gòu)。解： 分別取滑塊推桿為分離體畫出它們的主動力和約束反力其受力1-23c所示。滑塊上作用的主動力FR

圖1-23與F的交點在滑塊與滑道接觸長度范圍以內(nèi)，其合力使滑塊單面靠緊滑道，故產(chǎn)生一個與約束面相垂直的反力F、F、

三力匯交。推桿上的主動力N R N工程力學基礎 15F、FR

的交點在滑道之外，其合力使推桿傾斜而導致D兩點接觸，故有約束反力F 。NB ND畫受力圖時，須注意以下幾點：有時為了簡便起見，可以在題圖上畫受力圖，但要明確，這時整體所受的約束實際上已被解除。它們之間結(jié)合處的反力是內(nèi)力不必畫出。而當兩個相互連接的物體被拆開時，其連接處的約束反力是一對作用力與反作用力，要等值、反向、共線地分別畫在兩個物體上。若機構(gòu)中有二力構(gòu)件，應先分析二力構(gòu)件的受力，然后再分析其它作用力。畫受力圖可概括為：“據(jù)要求取構(gòu)件，主動力畫上面；連接處解約束，先分析二力件?！惫こ塘W基礎 16第四節(jié)力的投影合力投影定理一、力的投影概念從力矢量F的兩端AB分別向x軸作垂足a,bab稱為力F在xX表示（圖，x稱為投影軸。若力F與X軸正向夾角為α，則有：X=FcosαF B B FA ) αXa

x'Xb x b

αA x'a x(a)

(b)圖1-24力在軸上的投影是代數(shù)量，其符號可直觀判斷。從a到b與x（）（）將力平行移動，此力在同一軸上的投影值不變。二、力在直角坐標軸上的投影F（b、abFxy軸上投影的aF在x軸和y軸上的投影分別計作FF，若已知F的大小及其與x軸 圖1-25x y所夾的銳角α ，則有：FFcosx （1-2）FFsiny如將FFF的值與在同軸上的投影F

相等。但須注意，x y x y力在軸上的投影是代數(shù)量，而分力是矢量，不可混為一談。若已知F、F值，可求出F的大小和方向，即：x yF F2F2

工程力學基礎 17x ytanF Fy x

（1-3）三、合力投影定理設剛體上作用有一個平面力系F、F、…、F，據(jù)式（1-1）有1 2 nF=F+F+…+F=∑FR 1 2 n將上式兩邊分別向x軸和y軸投影，即有F F

FRx 1xF FRy 1y

2x nxF F2y

x （1-4） Fy式（1-4）即為合力投影定理：力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和。若進一步按式（1-3）運算，即可求得合力的大小及方向，即F (F

)2(

)2xRytanF F xRyy x

（1-5）例1 一固定于房頂?shù)牡蹉^上有三個力FFF，其數(shù)值與方向如圖1-26所示。用解析法求此三力的合力。

1 2 3圖1-26解：建立直角坐標系，并應用式，求出F =F+F+FRx 1x 2x 3x=732N+0– 2000N×cos30°=-1000NF =FRy

+F+F2y 3y再按式（1-5）得

=0– 732N– 2000N×sin30°=-1732N工程力學基礎 18(F)2(F)2(F)2x yRtanF Fy x60

1.732工程力學基礎 19第五節(jié)力矩力偶一、力矩（力對點之矩）人們從實踐中知道，力的外效應作用可以產(chǎn)生移動和轉(zhuǎn)動兩種效應。由經(jīng)驗知道，力使物體轉(zhuǎn)動的效果不僅與力的大小和方向有關，還與力的作用點（或作用線）的位置有關。例如，用扳手擰螺母時（圖，螺母的轉(zhuǎn)動效應除與力F的大小和方向有關外，還與點O到力作用線的距離h有關。距離h顯然，當力的作用線通過螺母的轉(zhuǎn)動中心時，則無法使螺母轉(zhuǎn)動。圖1-27 圖1-28可以用力對點的矩這樣一個物理量來描述力使物體轉(zhuǎn)動的效果。其定義為：力F對某點O的矩等于力的大小與點O到力的作用線距離h的乘積。記作M±Fho式中，點O表示力使物體繞點O轉(zhuǎn)動效果的大小，而正負號則表明：M是一個代數(shù)量，可以用它來描述物體的轉(zhuǎn)動方向。通常規(guī)定：使物體逆時針o方向轉(zhuǎn)動的力矩為正，反之為負。力矩的單位為牛頓·米（N·m。根據(jù)定義，圖1-27中所示的力F1

對點O的矩為M（F）＝-Fh＝-Fhsinαo 1 11 1由定義知：力對點的矩與矩心的位置有關，同一個力對不同點的矩是不同的。因此，對力矩要指明矩心。F對點OOAB1-28（）（）前述扳手通過螺母中心的情況即屬于第種情況。二、力偶與力偶矩1、力偶的定義在日常生活及生產(chǎn)實踐中，常見到物體受一對大小相等、方向相反但不在同一作用線上的工程力學基礎 20平行力作用。例如圖1-29不共線的平行力組成的力系稱為力偶，此二力之間的距離稱為力偶臂。力偶對物體作用的外效應是使物體單純地產(chǎn)生轉(zhuǎn)動運動的變化。2、力偶矩及力偶的三要素

圖1-29在力學上，以F與力偶臂d的乘積作為量度力偶在其作用面內(nèi)對物體轉(zhuǎn)動效應的物理量，稱為力偶矩，并記作或M。即：M（F，F(xiàn)'）=M=±Fd力偶矩的大小也可以通過力與力偶臂組成的三角形面積的二倍來表示，如圖1-30所示，即：M=±2△OAB一般規(guī)定，逆時針轉(zhuǎn)動的力偶取正值，順時針取負值。力偶矩的單位為N·m或N·mm。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應取決于下列三要素：。。凡是三要素相同的力偶則彼此等效，即它們可以相互置 圖換，這一點不僅由力偶的概念可以說明，還可通過力偶的性質(zhì)作進一步證明。3力偶的性質(zhì)性質(zhì)1 力偶對其作用面內(nèi)任意點的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無關。證明：設在剛體某平面上A、B兩點作用一力偶M=Fd，現(xiàn)求此力偶對任意點O的力矩。取x表示矩心O到F'之垂直距離，按力矩定義，F(xiàn)與F'對O點的力矩和為M（F）+M（F'）＝F（d-x）+Fx＝Fdo o即 M（F）+M（F'）＝o o不論O點選在何處，力偶對該點的矩永遠等于它的力偶矩，而與力偶對矩心的相對位置無關。性質(zhì)2 由圖1-31可見力偶在任意坐標軸上的投影之和為零，故力偶無合力，力偶能與一個力等效，也不能用一個力來平衡。工程力學基礎 21力偶無合力，故力偶對物體的平移運動不會產(chǎn)生任。由于上述性質(zhì)，所以對力偶可作如下處理：力偶在它的作用面內(nèi)，可以任意轉(zhuǎn)移位置。 圖1-31其作用效應和原力偶相同，即力偶對于剛體上任意點的力偶矩值不因移位而改變。小、方向以及力偶臂的大小。而力偶的作用效應保持不變。各圖中力偶的作用效應都相同。力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改變，就可簡明地以一個帶箭頭的弧線并標出值來表示力偶，如圖1-32d所示。圖1-32工程力學基礎 22第六節(jié) 力的平移作用在剛體上A點處的力一個力偶，其力偶矩等于原來的力F對新作用點O的矩。這就是力的平移定理1-33OF′″（b，則FF對O點的矩，即M＝Mo（F）＝Fd于是作用在A點的力F就與作用于O點的平移力F′和附加力偶M的聯(lián)合作用等效，如圖2-19c所示。圖1-33力的平移定理表明了力對繞力作用線外的中心轉(zhuǎn)動的物體有兩種作用，一是平移力的作用，二是附加力偶對物體產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)作用。如圖1-34所示。圓周力F作用于轉(zhuǎn)軸的齒輪上，為觀察力F的作用效應，將力F軸心O′作用于軸上，同時有附加力偶M使齒輪繞軸旋轉(zhuǎn)。再以削乒乓球為例（圖，分析力F對球的作用效應，將力F′決定球心的軌跡，而附加力偶則使球產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。圖1-34圖1-35工程力學基礎 23第七節(jié)平面力系的簡化合力矩定理如果力系中所有的力的作用線都在同一個平面內(nèi)，則稱該力系為平面力系。一、平面力系的簡化F、FF2-22a1 2 n點O，稱為簡化中心。根據(jù)力的平移定理，將各力都向O點平移，得到一個匯交于O點的平面匯交力系F′

、F′ 、…、F′ ，以及平面力偶系M、M、…M，如圖1-36b所示。1 2 n 1 2 n(1)平面匯交力系F′圖1-36c所示。

、F′1

2

可以合成為一個作用于O點的合矢量F′ 如n RF′ ＝∑F′＝∑FR它等于力系中各力的矢量和。顯然，單獨的 F′圖1-36

不能和原力系等效，它被稱為原力系的主R矢。將式上式寫成直角坐標系下的投影形式：F'R F F

F Fx 1x 2x

nx xF' FRy 1y

F F F2y ny y因此主矢F′ 的大小及其與x軸正向的夾角分別為：RF' F2F2 (F)2(F)2R Rx Ry x yF F

(2-12)arctan F

arctan yFRx x（2）附加平面力偶系M、M、…、Mn可以合成為一個合力偶矩M，即1 2 oM＝M+M+…+M＝∑Mo 1 2 n o顯然，單獨的Mo

也不能與原力系等效，因此它被稱為原力系對簡化中心O的主矩。綜上所述，得到如下結(jié)論：平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化可以得到一個力和一個力偶，這個力等于力系中各力的矢量和，作用于簡化中心，稱為原力系的主矢；這個力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，稱為原力系的主矩。原力系與主矢F′

主矩M的聯(lián)合作用等效主矢F′ 的大小和方向與簡化中心的選擇R o R無關。主矩Mo

的大小和轉(zhuǎn)向與簡化中心的選擇有關。工程力學基礎 24平面一般力系的簡化方法，在工程實際中可用來解決許多力學問題，如固定端約束問題。固定端約束是使被約束體插入約束內(nèi)部被約束體一端與約束成為一體而完固定，既不能移動也不能轉(zhuǎn)動的一種約束形式。工程中的固定端約束是很常見的，諸如：機床上裝卡加工工件的卡盤對工件的約束（圖 a；大型機器中立柱對橫梁的約束（圖；房屋建筑中墻壁對雨篷的約束（圖；飛機機身對機翼的約束（圖。固定端約束的約束反力是由約束與被約束體緊密接觸而產(chǎn)生的一個分布力系，當外力為平面力系時，約束反力所構(gòu)成的這個分布力系也是平面力系。由于其中各個力的大小與方向均難以確定，因而可將該力系向A個反力偶矩來表示，這就是固定端約束的約束反力，如圖1-38圖1-37圖1-38二、平面一般力系簡化結(jié)果的討論由前述可知，平面一般力系向一點O簡化后，一般來說得到主矢F′ 主矩M，但這并R o不是簡化的最終結(jié)果，進一步分析可能出現(xiàn)以下四種情況：（1）F′ ＝0，M≠0；R o說明該力系無主矢，而最終簡化為一個力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此時主矩與簡化中心無關。工程力學基礎 25（2）F′ ≠0，M＝0；R o說明原力系的簡化結(jié)果是一個力，而且這個力的作用線恰好通過簡化中心，此時F′ 就R是原力系的合力F。R（3）F′ ≠0，M≠0；R o這種情況還可以進一步簡化根據(jù)力的平移定理逆過程可以把F′ 和M合成一個合力R oF。合成過程如圖1-39所示，合力F的作用線到簡化中心O的距離為：R RoodM MooF F'R R（4）F′

＝0，M＝0；

圖1-39R o這表明：該力系對剛體總的作用效果為零，即物體處于平衡狀態(tài)。三、平面江匯交力系及其平衡條件設剛體上作用有一個平面匯交力系F、F、…、F，各力匯交于A點（圖。根據(jù)1 2 n力的可傳性，可將這些力沿其作用線移到A點，從而得到一個平面共點力系（圖平面匯交力系可簡化為平面共點力系。a） b）圖1-40連續(xù)應用力的平行四邊形法則，可將平面共點力系合成為一個力。在圖1-40b中，先合成力F與F（圖中未畫出力平行四邊形，可得力

，即F＝F+F；再將F

與F合成為力1 2F，即F＝F+F；依此類推，最后可得

R1 R1 1 2

R1 3R12nR2 R2R12n

R1 3

F＝F+F+…+F＝∑Fi工程力學基礎 26式中FR

即是該力系的合力。故平面匯交力系的合成結(jié)果是一個合力，合力的作用線通過匯交點，其大小和方向由力系中各力的矢量和確定。因合力與力系等效，故平面匯交力系的平衡條件是該力系的合力為零。四、平面力偶系的合成與平衡方程作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶，總稱為平面力偶系。1、平面力偶系的合成設在剛體某平面上有力偶M1

、M的作用，如圖1-41a所示，現(xiàn)求其合成的結(jié)果。2圖1-41在平面上任取一線段B1-41bMdF 1, Fd1 2

M d2于是在A、B兩點各得一組共線力系，其合力為FR

與F'′′，如圖1-415c所示，且有RF＝F'＝F FR R 1 2F與F'為一對等值、反向、不共線的平行力，它們組成的力偶即為合力偶，所以有R RM＝FR

d＝(F1

-F)d＝M＋M2 1 2若在剛體上有若干個力偶作用,采用上述方法疊加,可得合力偶矩為M＝M+M+…+M＝∑M1 2 n和。2、平面力偶系的平衡條件由合成結(jié)果可知，要使力偶系平衡，則合力偶的矩必須等于零，因此平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即∑M＝0平面力偶系的獨立平衡方程只有一個，故只能求解一個未知數(shù)。例1 四連桿機構(gòu)在圖1-42所示位置平衡，已知OA=60cm，O1

B=40cm，作用在搖桿OA上的力偶矩M1

=1N·m，不計桿自重，求力偶矩M2

的大小。工程力學基礎 27解：1）受力分析

圖1-42OA桿分析，如圖1-426bM1AF及F，o A而連桿AB為二力桿，所以FA

的作用方向被確定。再取OB桿分析，如圖1-42c所示，此時1桿上作用一個待求力偶M，此力偶與作用在O、B兩端點上的約束反力構(gòu)成的力偶平衡。2 1列平衡方程∑M=0， M－F×OA=01 AF M N1

（a）A OA1-42cF×O＝0B 1 2

（b）因 F=F=1.67NB A故由式（b）得M＝F×OB×0.5＝1.67N×0.4m×0.5＝0.33N·m2 A 1五、合力矩定理在計算力系的合力對某點的矩時，除根據(jù)力矩的定義計算外，還常用到合力矩定理，即：平面匯交力系的合力對平面上任一點之矩，等于所有各分力對同一點力矩的代數(shù)和。證明：如圖1-43所示，設力F、F作用于剛體上的A點，其合力為F，任取一點O為矩心，過O作1 2 ROA之垂線為x軸，并過各力矢端B、C、D向x軸引垂線，得垂足b、c、d，按投影法則有按合力投影定理，有：

1x

，2x

RxOd＝Ob+Oc各力對O點之矩，可用力與矩心所形成的三角形面積的兩倍來表示，故有工程力學基礎 28M（F×Ob1M（F×Oc2M（F）＝2△OAD＝OA×Odo R顯然M（F）＝M（F）M（F） 1-43o R o 1 o 2若在A點有一平面匯交力系F、F、…、F作用，則多次重復使用上述方法，可得1 2 nM（F）＝∑Mo R o上述合力矩定理不僅適用于平面匯交力系，對于其它力系，如平面任意力系、空間力系等，也都同樣成立。在計算力矩時，當力臂較難確定的情況下，用合力矩定理計算更加方便。例2 圖1-44a所示圓柱直齒輪的齒面受一嚙合角α＝20°的法向壓力F＝1kN的作用，n齒面分度圓直徑d＝60mm。試計算力對軸心O的力矩。解1：按力對點之矩的定義，有onnM（F）Fonn

h

dn2cos28.2Nmn解2：按合力矩定理將F沿半徑的方向分解成一組正交的圓周力F＝F與cosα與徑向力F＝F

cosα 。n t n r n有 M（F）＝M（F）＋M（F）o R o 1 o 2＝Fr＋0＝Ft n

cosαr＝28.2N·ma） b）圖1-44例3 一輪在輪軸B處受一切向力F的作用，如圖1-45a所示。已知r和α 。求此力對輪與地面接觸點A的力矩。工程力學基礎 29a） b）圖1-45：由于力F對矩心AF在BFF，x y再應用合力矩定理，有M（F）＝M（F）+M（F）A A x A yM（F）＝－FCAA x x＝－Fx

(OA– (R-)M（F）＝FrsinαA y y＝FsinαrsinαnαM（）＝αR-α)+nαA＝F(r– )例4（教材例1-3，P10） 例5（教材例1-4，P10）工程力學基礎 30第八節(jié)平面力力系的平衡方程1、平面一般力系的平衡方程基本形式若力系是平衡力系，則其主矢、主矩必同時為零。因此，平面一般力系平衡的充要條件是F'R

0(F(F)2(F)2Mxyo(F)0Mo 故得平面一般力系的平衡方程為

F 0 x （2）F 0 y Mo(F)0上式滿足平面一般力系平衡的充分和必要條件，所以平面一般力系有三個獨立的平衡方程，可求解最多三個未知量。用解析表達式表示平衡條件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式還有二矩式和三矩式兩種形式。二矩式F 0 x （3）附加條件：AB連線不得與x軸相垂直。三矩式

M (F)0A MB(F)0M (F)0 A （4）M (F)0B MC(F)0附加條件：A、B、C三點不在同一直線上。式（3）和（4）是物體取得平衡的必要條件，但不是充分條件，讀者可自行推證。幾個平面特殊力系的平衡方程A、平面匯交力系：平面力系中所有力的作用線匯交于一點的力系稱為平面匯交力系。平面匯交力系結(jié)果為一合力，故自然滿足式（2）的第三式，所以列平衡方程時只列其中的第一、第工程力學基礎 31二式即可。B直角坐標軸時使其中一個與各力平行（如y軸，則第一式自然滿足，只要列其它兩式即可。2、平面一般力系平衡方程的解題步驟11-46所示一圓柱體放置于夾角為αV型槽內(nèi)，并用壓板D夾緊。已知壓板作用于圓柱體上的壓力為F。試求槽面對圓柱體的約束反力。解：（1）取圓柱體為研究對象，畫出其受力圖如圖1-46b所示；列平衡方程式求解未知力，由 ∑F=0得：xF cosNB 2

F cosNC

0 ∑F=0， F

sinF sinF0 （B）y NB

2 NC 2由式（A）得 F =FNB NC由式（B）得 F FNB NC

F 2sin2討論 由結(jié)果可知F 與FNB NC

均隨幾何角度α而變,角度α愈小則壓力F 或FNB NC就愈大，因此，α角不宜過小。a） b）圖1-46例2 圖1-47所示為一簡易起重機利用絞車和繞過滑輪的繩索吊起重物其重力G20kN，各桿件與滑輪的重力不計?；咮的大小可忽略不計，試求桿AB與BC所受的力。工程力學基礎 32解（1）取節(jié)點B為研究對象，畫其受力圖，如圖1-47bABBC均為兩力構(gòu)件，對B的約束反力分別為F1

與F，滑輪兩邊繩索的約束反力相等，2即T＝G。列平衡方程式求解未知力；∑F＝0，F(xiàn)cos30°-F-Tsin30°＝0 （1）x 2 1 1∑F＝0，F(xiàn)sin30°-Tcos30°-G＝0 （2）y 2 12由式得 F＝74.6kN a） b）2代入式得 F＝54.6kN 圖1-471F與F1 2

的方向與圖示一致，即AB桿受拉力，BC桿受壓力。例31-48akN，繩與斜面平行，α＝30°，a＝0.75m，不計摩擦。求鋼絲繩的拉力及軌道對車輪的約束反力。圖1-48解：（）取小車為研究對象，畫受力圖（圖。小車上作用有重力，鋼絲繩的拉力FT

，軌道在、B處的約束反力F 和F 。NA NB（2）取圖示坐標系，列平衡方程∑F＝0， －F+Psinα=0x T∑F＝0， F +

－Pcosα＝0y NA NB∑M0， Fsinα －Pacosα＝0O解得 FT

NB=5kN，F(xiàn)NB

=5.33kN，F(xiàn)NA

=3.33kN例4懸臂梁如圖1-49所示，梁上作用有均布載荷，在B端作用有集中力和力偶為，梁長度為，已知q和（力的單位為，長度單位為。求固定端的約束反力。解：（）取B梁為研究對象，畫受力圖（圖，均布載荷q可簡化為作用于梁工程力學基礎 33中點的一個集中力FQ

＝q×2l。列平衡方程∑F＝0， F =0x Ax∑M0， l＝0，A A故 M=A Q

Q

－2ql2＝ql2∑F＝0， F+＝0y Q故 F＝FQ圖1-49例5（教材例1-5，P12）例6（教材例1-6，P12）3、物體系統(tǒng)的平衡物系平衡時，組成系統(tǒng)的每一個物體也都保持平衡。若物系由n面一般力系作用的物體至多只能列出3個獨立的平衡方程，對整個物系至多只能列出3n個獨立的平衡方程。若問題中未知量的數(shù)目不超過獨立的平衡方程的總數(shù)，即用平衡方程可以解出全部未知量，這類問題稱為靜定問題。反之，若問題中未知量的數(shù)目超過了獨立的平衡方程的總數(shù)，則單靠平衡方程不能解出全部未知量，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題。在工程實際中為了提高剛度和穩(wěn)固性，常對物體增加一些支承或約束，因而使問題由靜定變?yōu)槌o定。例如圖1-50ab為靜定結(jié)構(gòu)，圖b為靜不定結(jié)構(gòu)。在用平衡方程來解決工程實際問題時，應首先判別該問題是否靜定。本章只研究靜定問題。圖1-50工程力學基礎 34圖1-51求解物系平衡問題的步驟是：適當選擇研究對象，畫出各研究對象的分離體的受力圖（研究對象可以是物系整體、單個物體，也可以是物系中幾個物體的組合。。研究對象的受力圖可分為兩類，一類是未知量數(shù)等于獨立平衡方程的數(shù)目，稱為是可解的；另一類是未知量數(shù)超過獨立平衡方程的數(shù)目，稱為暫不可解的。若是可解的，應先取其為研究對象，求出某些未知量，再利用作用與反作用關系，擴大求解范圍。有時也可利用其但有三個未知量匯交于一點，則可取該三力匯交點為矩心，列方程解出不匯交于該點的那個未知力。這便是解題的突破口，因為由于某些未知量的求出，其它不可解的研究對象也可以成為可解了。這樣便可確定求解順序。。由于同一問題中有幾個受力圖，所以在列出平衡方程前應加上受力圖號，以示區(qū)別。例7 如圖1-53a所示的人字梯ACB置于光滑水平面上，且處于平衡，已知人重為夾角為α，長度為。求B和鉸鏈C處的約束反力。解（）選取研究對象，畫出整體及每個物體的受力圖如圖cd所示。AC和BC桿所受的力系均為平面一般力系，每個桿都有四個未知力，暫不可解。但由于物系整體受平面平行力系作用，故是可解的。先以整體為研究對象，求出F、F，則AC和A BBC便可解了，故再取BC為研究對象，求出C處反力。圖1-53工程力學基礎 35取整體為研究對象，列平衡方程求解 M (F)0,

F 2sin

G2lsin0A B 2 3 2故 F GB 3 F 0, Fy

F G0B故 F GF GG2GA B 3 3BC桿為研究對象，列平衡方程求解F 0, F F 0y B Cy故M (F)0,

F FCy F lsinF

G32lsinF

2lcos0E B3

Cy 3 2

Cx 3 2故 F GtanCx 2 2例8 一構(gòu)架如圖1-54a所示，已知F和且F1

=2F。試求兩固定鉸鏈A、B和鉸鏈C的約束反力。圖1-54解：（1）ACD及BEC為研究對象，畫出各分離體的受力圖，如圖2-33b、c（2）2-33b2-33c力匯交于一點，可先求出F和F 。Bx Cx故 MC

(F)0, FBx

2aFa0F FBx 2故 Fx

0,

F FCx

Fa0F FF FFFCx Bx 2 2工程力學基礎 36解出F′Cx

后，圖1-54b中的FCx

變?yōu)橐阎?，因而可解。M (F)0A

F aFCy

2aF1

2a0故 F 2F2F 2F2F2F

F3FCy 1 Cx 1 2 1F 0, F F F0y 0,

CyFF

1F(2F

F)FFx

1 Cy 1 1F 0Cx故求出FCy

后，再轉(zhuǎn)圖1-54c求解FBy

F F FCx 2∑F＝0， F＝0y By Cy故 F=＝3FBy Cy例9組合梁由AC和CE用鉸鏈連接，載荷及支承情況如圖1-55a所示，已知：l＝8m，F(xiàn)＝5kN,均布載荷集度q＝2.5kN/m,力偶的矩M＝5kN·m。求支座A、B、E及中間鉸C的反力。解（）分別取梁E及C為研究對象，畫出各分離體的受力圖，如圖c所示。其中FQ1

和F 分別為梁CE梁ABC上均布載荷的合力。Q2列平衡方程求解 圖2-34c有五個未知力，不可解；圖1-55b有三個未知力，可解。F0, F

cos450x F 0, Fy

REF F

sin450M (F)0, FC

15FRE

sin4540得 F＝3.54＝2.5kN，F(xiàn)＝2.5kNRE Cx Cy圖1-55ABC為研究對象，列平衡方程F 0

工程力學基礎 37F F 0x Ax Cx F 0,

F FF

F 0y Q2 Cy RB M (F)0

F1F 2F 3

40A RB Q2 Cy得 F＝5，F(xiàn)＝-2.5（方向向下F＝5Ax Ay RB工程力學基礎 38第九節(jié)空間平面力系力系一樣，空間力系也可以求出各力在某坐標軸上的投影。一、力在直角坐標軸上的投影一次（直接）投影法 如果一個力F的作用線與直角坐標軸z正向?qū)膴A角分別為α、β、γ（稱為方向角，如圖a所示，則可直接將力F向三個坐標軸投影，得xFFcosxFFcos

（1）yFFcosz其中， 分別為力F與z三坐標軸間的夾角cosαcosβcosγ稱為力的方向余弦，有如下關系：cos2α+cos2β+cos2γ=1二次投影法 當力F與y坐標軸間的夾角不易確定時可先將力F投影到坐標平面xoy上，得一力Fxy

，進一步再將Fxy

向y軸上投影。如圖1-56b所示。 為力F與z軸間的夾角，φFxy

與xF在三個坐標軸上的投影為：FF

cosFsincosxyFF

sin

Fsinsin

（2）FFcosz圖1-56具體計算時，可根據(jù)問題的實際情況選擇一種適當?shù)耐队胺椒?。力和它在坐標軸上的投影是一一對應的，如果力F的大小、方向是已知的，則它在選定的坐標系的三個軸上的投影是確定的；反之，如果已知力F在三個坐標軸上的投影F、F、x yFF的大小、方向也可以求出，其形式如下z工程力學基礎 39F F2F2F2 （3）x y zFcos x FF F cos y （4）F z cos F z F 圖1-57例3-1 已知圓柱斜齒輪所受的嚙合力F＝1410N，齒輪壓力角α螺旋角β＝25°n（圖。試計算斜齒輪所受的圓周力F、軸向力F和徑向力F。t a r解： 取坐標系如圖1-57a所示，使、z分別沿齒輪的軸向、圓周的切線方向和徑向。先把嚙合力Fn

向z軸和坐標平面xoy投影，得F＝-F＝-Fsinαr nF在xoyFn

，其大小為

＝-1410Nsin20°=-482NF＝Fcosα＝1410Ncos20°=1325N然后再把Fxy

xy n投影到x、y軸得F＝F＝-F x a xy＝-Fcosαsinβn＝-1410Ncos20°sin25°＝-560NF＝F＝-Fcosβ＝-Fcosαcosβt n＝-1410Ncos20°cos25°＝-1201N工程力學基礎 40二、力對軸之矩力對軸之矩的概念在工程中，常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的情形，為了度量力對轉(zhuǎn)動剛體的作用效應，必須引入力對軸之矩的概念。現(xiàn)以關門動作為例，圖1-58a中門的一邊有固定軸，在A點作用一力剛體的轉(zhuǎn)動效應，可將該力F分解為兩個互相垂直的分力：一個是與轉(zhuǎn)軸平行的分力F＝Fzsinβ ；另一個是在與轉(zhuǎn)軸垂直平面上的分力F＝cosβ。由經(jīng)驗可知，F(xiàn)z

xy不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動，只有分力Fxy

才能產(chǎn)生使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應。如以d表示Fxy

圖1-58作用線到z軸與平面的交點O的距離，則Fxy

對O點之矩，就可以用來度量力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應，記作M（F）＝±F

d （5）o xy力對軸之矩在軸上的投影是代數(shù)量，其值等于此力在垂直該軸平面上的投影對該軸與此z順時針方向轉(zhuǎn)動為負（或用右手法則確定其正負。由式（）可知，當力的作用線與轉(zhuǎn)軸平行（F＝0，或者與轉(zhuǎn)軸相交時（＝0，即當xy力與轉(zhuǎn)軸共面時，力對該軸之矩等于零。力對軸之矩的單位是N·m。合力矩定理FF、…、FF

對某軸之矩等于各分力對1 2 n R R同軸力矩的代數(shù)和。可寫成M（F）=∑M（6）z R z式（6）常被用來計算空間力對軸求矩。工程力學基礎 41三、空間力系的平衡方程及其應用空間一般力系的平衡條件和平衡方程某物體上作用有一個空間一般力系F、F、…、F（圖。若物體不平衡，則力系可1 2 n能使物體沿zz三軸的移動狀態(tài)不變，繞該三軸的轉(zhuǎn)動xx即∑Fx

=0；同理可得∑Fy

=0，∑Fz

=0。當物體繞x軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變時，該力系對x軸力矩的代數(shù)和為零，即∑M(F)=0，同理可得∑M(F)=0，∑M(F)=0。由此可見，空間一般力系的平衡方程為

x y zM(F)0,F,F ,FM(F)0,x y zM(F)0,

(F)0

（7）x y x式（7）表達了空間一般力系平衡的必要和充分條件為：各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和以及各力對三個坐標軸之矩的代數(shù)和都必須分別等于零。利用該六個獨立平衡方程式，可以求解六個未知量。圖1-59 圖1-60 圖1-70例3-3OB和鋼繩C組成。已知θ=φ＝O點吊一重量G2N的重物（圖。試求兩桿和鋼繩所受的力。圖中、、D四點都在同一水平面上，桿和繩的重量都忽略不計。解：（1）選研究對象，畫受力圖。取鉸鏈O為研究對象，設坐標系為Dxyz，受力如圖3-9b所示。（2）列平衡方程式，求未知量，即∑F=0， Fx sinφ=0工程力學基礎 42∑F=0， Fy cosφ=0∑F=0， -G=0zF

1.2

2.4kN 3-9sin sin30解上述方程得F=Fcosθcosφ=2.4kNcos30°cos60°=1.04kNAF=θnφ=4N°°8B例3-5傳動軸如圖1-72Bd=17.3壓力角αN·m。如輪軸自重和摩擦不計，求傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時B。圖1-72解：（1）取整個軸為研究對象。設B兩軸承的反力分別為F FF F ，并沿Ax Az Bx Bz、z軸的正向，此外還有力偶M和齒輪所受的嚙合力（2）取坐標軸如圖所示，列平衡方程M (F)

MFcos20d20yM (F)xM(F) z

Fsin20220mmF 332mm0BzF 332mmFcos20220mm0BxF xF z

F F Fcos200BxF F Fsin200Az Bz聯(lián)立求解以上各式得 F=12.67FBz

=-2.87kN， FBx

=7.89kN，F(xiàn)=4.02kN， FAx

=-1.46kN本章練習：教材P16-17頁第1-1、1-3、1-5、1-7、1-11。工程力學基礎 43第二章拉伸、壓縮與剪切一、材料力學的基本假設由各種固體材料制成的構(gòu)件，在載荷作用下將產(chǎn)生變形，統(tǒng)稱為變形固體。為便于分析和簡化計算，對變形固體作以下基本假設。連續(xù)性假設 即認為組成構(gòu)件的物質(zhì)毫無空隙地充滿到整個構(gòu)件的幾何容積體內(nèi)。均勻性假設 即認為材料的各個部分的力學性能完全相同。各向同性假設 材料在各個方向的力學性能完全相同。若材料沿不同方向呈現(xiàn)不同的力學性能，則稱為各向異性。本書主要討論各向同性材料。從微觀來看，以上的假設是不存在的，但從宏觀來看，按統(tǒng)計學的規(guī)則，材料的力學性依據(jù)上述假設所得到的理論，滿足一般工程的要求，是符合實際的。小變形假設認為構(gòu)件受力后的變形量與構(gòu)件原始尺寸相比是極其微小的。這樣，在研究構(gòu)件的平衡二、桿件的基本受力與變形形式實際的工程結(jié)構(gòu)中，許多承力構(gòu)件如橋梁、汽車傳動軸、房屋的梁、柱等，其長度方向的尺寸遠遠大于橫截面尺寸，這一類的構(gòu)件在材料力學的研究中，通常稱作桿件，桿的所有橫有橫截面的形狀和尺寸都相同的桿稱為等截面桿；不同者稱為變截面桿。材料力學主要研究等截面直桿。桿件在不同的外力作用下，將產(chǎn)生不同形式的變形。主要的受力和變形有如下幾種：軸向拉伸與壓縮當作用于桿件的外力合力的作用線與桿件的軸線重合，桿將產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮變形，如圖2-1所示。圖2-1 圖2-2剪切工程力學基礎 44當大小相等、方向相反、作用線非常接近的兩個力沿著垂直于軸線方向施加于桿件時，將產(chǎn)生剪切變形如圖2-2所示。扭轉(zhuǎn)軸。彎曲當外力施加于桿的某個縱向平面內(nèi)并垂直于桿的軸線，或者在某個縱向平面內(nèi)施加力偶時，桿將發(fā)生彎曲變形，其軸線將由直線變成一曲線，如圖2-4所示。承受彎曲的桿件稱為梁。圖2-3 圖2-4第一節(jié)軸向拉伸與壓縮的概念和實例工程中有很多承受拉伸或壓縮作用的構(gòu)件。例如圖2-5所示的吊架，在重物作用下，BC桿受到拉伸，而AB桿受到壓縮。圖2-5起重機吊架1-35a2-6b工程力學基礎 45a） b）圖2-6 拉伸與壓縮第二節(jié)軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力一、內(nèi)力的概念桿件內(nèi)部各部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力隨外力增大而加大，到達某一限度時就會引起桿件的破壞，因而它與桿件的強度是密切相關的。二、截面法 軸力F作用的桿件(圖)，用平面1—12-7b外力F作用下，要使之保持平衡，在截面1—1上，右段對其必有作用力。設其合力為F，則Nx由平衡方程 x

0可知，F(xiàn)N

=F。根據(jù)作用與反作用定律，在右段的截面1′一1′上(圖2-7c)，左段對其也必作用有大小相等、方向相反的力，其合力F′仍等于F。N N圖2-7 拉桿的內(nèi)力這種取桿件的一部分為研究對象，利用靜力學平衡方程求內(nèi)力的方法，稱為截面法。截面法求內(nèi)力可按以下三個步驟進行：截 沿欲求內(nèi)力的截面，用假想平面把桿件分成兩部分。代 取其中一部分為研究對象，畫出其受力圖。在截面上用內(nèi)力代替移去部分對留部分的作用。求 列出研究對象的靜力平衡方程，確定未知的內(nèi)力。工程力學基礎 46對于受軸向拉、壓的桿件，因為外力的作用線與桿件的軸線重合，所以內(nèi)力的合力蘆N的作用線也必然與桿的軸線重合，這種內(nèi)力稱為軸力。軸力或為拉力，或為壓力。當軸力的向朝向截面時，則桿受壓，規(guī)定軸力為負。對于在不同位置受多個力作用的桿件，從桿的不同部位截開，其軸力是不相同的。所以必須分段用截面法求出各段軸力，從而確定其最大軸力。例1（教材P22例題2-1）▲求軸力方法總結(jié)：拉（壓）外力的代數(shù)和。軸力圖的作法：以橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示軸力（大小和正負號。例2 圖2-8a表示一等截面直桿，其受力情況如圖所示。試作其軸力圖。（）圖，求約束反力F；AA1234根據(jù) =0， －F－F+F－F+F=0A1234得 F=－40kN＋55AkN－25kN＋20kN=10kN求各段橫截面上的軸力并作軸力圖。（5-1）式，因而不必再逐段截開及作研究段的分離體圖。在計算時，取截面左側(cè)或右側(cè)均可，一般取外力較少的軸段為好。AB段： F=F=10kN（考慮左側(cè)）N1 ABC段： F=10kN＋40kN=50kN（考慮左側(cè)）N2CD段 FN3

=20kN－25kN=-5kN (考慮右) 圖2-8DE段： F=20kN（考慮右側(cè)）N4由以上計算結(jié)果可知，桿件在CD段受壓，其它各段均受拉。最大軸力FNmax

在BC段，其軸力圖如圖2-8c所示。工程力學基礎 47第三節(jié)軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力一、應力的概念同一種材料制成橫截面積不同的兩根直桿，在相同軸向拉力的作用下，其桿內(nèi)的軸力相同。但隨拉力的增大，橫截面小的桿必定先被拉斷。這說明單憑軸力FN

并不能判斷拉（壓）桿的強度，即桿件的強度不僅與內(nèi)力的大小有關， 圖2-9而且還與截面面積有關，即與內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度（簡稱集度）有關，為此引入應力的概念。要了解受力桿件在截面m-m上的任意一點C處的分布內(nèi)力集度，可假想將桿件在m-m處截開，在截面上圍繞C點取微小面積ΔA上分布內(nèi)力的合力為Δ2-9a)，將Δp除以面積ΔA，即ppmA

（1）p稱為在面積ΔA上的平均應力，它尚不能精確表示C點處內(nèi)力的分布狀況。當面積無限趨m近于零時比值p的極限，才真實地反映任意一點C處內(nèi)力的分布狀況，即Ap dpplim A0A dA

（2）上式p定義為C點處內(nèi)力的分布集度，稱為該點處的總應力。其方向一般既不與截面垂（表示。將總應力用正應力和切應力這兩個分量來表達具有明確的物理意義，因為它們和材料的兩類破壞現(xiàn)象——拉斷和剪切錯動——相對應。因此，今后在強度計算中一般只計算正應力和切應力而不計算總應力。應力的單位為“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2,常用單位為兆帕MPa，1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。二、軸向拉伸和壓縮時橫截面上的正應力abF使桿發(fā)生變形，此時直線cd分別平移至'且仍保持為（圖工程力學基礎 48面，變形后仍保持為平面，僅沿軸線產(chǎn)生了相對平移，并仍與桿的軸線垂直。這就是平面設。根據(jù)平面假設，等 圖 2-10直桿在軸向力作用下，其橫截面間的所有縱向的變形伸長量是相等的。由均勻性假設，橫截N面上的內(nèi)力應是均勻分布的(圖2-10bN

一致，垂直于橫截面，故橫截面上的正應力可以直接表示為F N （3）A式中，—正應力，符號由軸力決定，拉應力為正，壓應力為負；F—橫截面上的內(nèi)力（軸力；NA—橫截面的面積。例3 例2中，設等直桿的橫截面面積mm2，試求此桿各段截面上的應力，指出此桿危險截面所在的位置。解: 根據(jù)前面已求得的各段軸力，各段截面上的應力為AB段：

F 10103N N1 20MPaAB A 500mm2BC段：

F 50103N N2 100MPaBC A 500mm2CD段：

F 5103N N3 10MPaCD A 500mm2DE段：

F 20103N N4 40MPaDE A 5002由以上計算可知，在BC段應力最大為100MPa，故BC段各截面為危險截面。例4 一鋼制階梯桿如圖1a所示。各段桿的橫截面面積為A0mA1 2，A0，試畫出軸力圖，并求出此桿的最大工作應力。3圖2-11解: （1）求各段軸根據(jù)式得工程力學基礎 49F=F=120kNN1 1F=F－F=120kN－220kN=－100kNN2 1

2F=F=160kNN3 4作軸力圖 由各橫截面上的軸力值，作出軸力圖（圖。求最大應力 根據(jù)式得AB段

F 12104N N1 75MPa

（拉應力）AB A 16002BC段

F

100103N 160MPa （壓應力）BC A 625mm2F 160103NCD段

N3 178MPa （拉應力）CD A 900mm2由計算可知，桿的最大應力為拉應力，在CD段內(nèi)，其值為178MPa。d例5 圓桿上有一穿透直徑的圖2-12a)。已知圓桿直徑mm，槽的寬度為4，設拉力kN，試求最大正應力（槽對桿的橫截面積削弱量可近似按矩形計算。解: （1）求內(nèi)力：桿的軸力圖見（圖F=F=30kNN確定危險截面面積：由軸力圖可知，受力桿件任意截面上的軸力相段的橫截面積為 圖2-12π d d2 A d24

d4

π1NN

30103N max

A 20mm2

140MPa4 π1工程力學基礎 50第四節(jié)軸向拉伸或壓縮時的變形軸向拉伸（或壓縮）時，桿件的變形主要表現(xiàn)為沿軸向的伸長（或縮短由實驗可知，當桿沿軸向伸長（或縮短）時，其橫向尺寸也會相應縮?。ɑ蛟龃笾庇谳S線方向的橫向變形。一、縱向變形設一等截面直桿原長為l，橫截面面積為A。在軸向拉力F的作用下，長度由l變?yōu)閘（圖1。桿件沿軸線方向的伸長為 Δ=l－l1拉伸時Δl為正，壓縮時Δl為負。圖2-13桿件的伸長量與桿的原長有關，為了消除桿件長度的影響，將Δl除以或表示：=（1）l是量綱一的量，其符號與Δl的符號一致。二、胡克定律Δl與軸力F及桿N原長l成正比，與橫截面面積A成反比。即Fl引入比例常數(shù)E，則上式可寫為

l NAFll NEA

（2）上式稱為胡克定律。F將式

N和（1）代入上式，可得A（3）這是胡克定律的另一形式?？杀硎鰹椋寒攽Σ怀^比例極限時，則正應力與縱向線應式中的E工程力學基礎 51為。材料的彈性模量由實驗測定。彈性模量表示在受拉（壓）力。由式越大，桿件的變形Δl就越小，故稱EA抗拉（壓）。2-1。三、橫向變形在軸向力作用下，桿件沿軸向的伸長（縮短）的同時，橫向尺寸也將縮?。ㄔ龃笙虺叽缬蒪變?yōu)閎（圖，1Δb=bb1則橫向線應變?yōu)?b （4）b也是量綱一的量。四、泊松比實驗表明，對于同一種材料，當應力不超過比例極限時，橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為常數(shù)。比值ν稱為泊松比，亦稱橫向變形系數(shù)。即 (5a)由于這兩個應變的符號恒相反，故有

(5b)泊松比是材料的另一個彈性常數(shù)，是量綱一的量，由實驗測得。工程上常用材料的泊松比見表6-1。材料表2-1常用材料的E和E/GPa碳素鋼200~2100.24~0.30合金鋼185~2050.25~0.30灰口鑄鐵80~1500.23~0.27銅及其合金72.5~1280.31~0.42鋁合金700.25~0.33例6 圖2-14a為一階梯形鋼桿，已知桿的彈性模量C段的截面面積為AA，D段AB BC的截面面積為ACD所示。試求：桿截面上的內(nèi)力和應力；桿的總變形。工程力學基礎 52圖2-14解：（1）求各截面上的內(nèi)力BC段與CD段 F=－F=－10kN=－10kN （受壓）N2 2AB段 F=F－F=30kN－10kN=20kN （受拉）N1畫軸力圖（計算各段應力

1 2F 20103NAB段 AB AAB

500mm2

40MPa （拉應力）BC段BCFN2AAB104N500mm220MPa（壓應力）CD段CDFN2ACD104N200mm250MPa（壓應力）桿的總變形全桿總變形Δl 等于各段桿變形的代數(shù)和，即ADΔl=Δl

+Δ

+Δ

F l= N1

F l+ N2

F l+ N2CDAD AB

BC CD EAAB

EA EABC CD將有關數(shù)據(jù)代入，并注意單位和符號，即得Δl=

1 (20103N)N)N)(100mm)AD 200103MPa =－0.015

500mm2 500mm2 200mm2 計算結(jié)果為負，說明整個桿件是縮短的。例8圖2-15a所示桿系由兩根鋼桿1和2的角度，長度均為，直徑均為。設結(jié)點A處懸掛一重物kNA的位移Δ。解：題意分析：A點的位移是由于兩桿受力后伸長引起的，故應先求出各桿的伸長，因此，須求出各桿的軸力。以結(jié)點為研究對象，作受力圖（2-15b）列平衡方程F=0， Fsin

sin=0x N2 N1F=0， Fcos+Fy N1 N2解上兩式得工程力學基礎 53PF=F=

（1）N1 N2

2cos求兩桿的伸長 由題意可知 圖2-15F l PlΔl=Δl= N1= （2）1 2 EA 2EAcosA=d2/4為桿的橫截面面積。求結(jié)點的位移為了求位移Δ ，可假想地將兩桿在點A處拆開，并在桿原長上分別增加長度Δl=AAA 1 1和Δl=AA。由于兩桿在點A為鉸接，變形后仍應鉸結(jié)在一起，即應滿足變形的幾何相容條件。2 2于是，兩桿伸長后的長度為BA、CA。因變形微小，可以切線代弧，過A、A分別作兩桿的1 2 1 2垂線交于，由于兩桿材料相同，受力、變形均對稱，故必與A在同一鉛垂線上，因而從圖（2-15c）可得將式（2）代入式（3）得

Δ =A

Δl1co