北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上典中點(diǎn)第四章階段強(qiáng)化專訓(xùn)四

專訓(xùn)四：巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問(wèn)題名師點(diǎn)金：位似圖形是特別地址的相似圖形，它擁有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形必須具備三個(gè)條件：(1)兩個(gè)圖形相似；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線訂交于一點(diǎn)；(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同素來(lái)線上．三角形的內(nèi)接正三角形問(wèn)題1．如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題．畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′C∥′EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D∥′ED，交OB于點(diǎn)D′；③連接C′D，′則△C′D′是E′△AOB的內(nèi)接等邊三角形．求證：△C′D′是E′等邊三角形．(第1題)三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題2．求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，極點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，并且有DE∶EF＝1∶2.(第2題)三角形的內(nèi)接正方形問(wèn)題(方程思想)3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個(gè)極點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？(第3題)4．(1)如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P.求證：DP＝PEBQQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個(gè)極點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖②，若AB＝AC＝1，直接寫出MN的長(zhǎng)；②如圖③，求證：MN2＝DM·EN.(第4題)專訓(xùn)四1．證明：∵E′C∥′EC，CEOE∴∠C′E′O＝∠CEO，＝.又∵E′D∥′ED，DEOE∴∠D′E′O＝∠DEO，＝.CEDE∴∠CED＝∠C′E′，D′＝.C′E′D′E′∴△CDE∽△C′D′E′.又∵△CDE是等邊三角形，∴△C′D′是E′等邊三角形．2．解：在AB邊上任取一點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥′BC于E′，在BC上截取E′F，′使E′F′＝2D′E，′分別過(guò)F′作F′G⊥′BC，過(guò)D′作D′G∥′BC交F′G于′點(diǎn)G′，作射線BG′交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥G′F，′DG∥D′G，′GF交BC于點(diǎn)F，DG交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥D′E′交BC于點(diǎn)E，則四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，且DE∶EF＝1∶2.圖略．3．解：設(shè)吻合要求的正方形PQMN的邊PN與△ABC的高AD訂交于點(diǎn)E.設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為xmm，PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∵△APN與△ABC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴△APN與△ABC是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形．AE＝PN.∴80－x＝x.ADBC80120解得x＝48.即這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.點(diǎn)撥：利用位似圖形的性質(zhì)“位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比”，構(gòu)造方程，利用方程思想解決問(wèn)題．4．(1)證明：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴BQDP＝AQAP.同理△ACQ∽△AEP，∴PE＝AP.QCAQDPPEBQ＝QC.2(2)①解：MN＝9.②證明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，∴∠B＝∠CEF，又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴DG＝BG.CFEFDG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝