樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤課件

第9章

估計(jì)與信賴區(qū)間9-1第9章

估計(jì)與信賴區(qū)間9-19-2目標(biāo)定義點(diǎn)估計(jì)。定義信賴水準(zhǔn)。在母體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。在母體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。建構(gòu)母體比例的信賴區(qū)間。決定抽樣的樣本個(gè)數(shù)。9-2目標(biāo)定義點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）：由樣本資料計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，使用來(lái)估計(jì)母體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)（intervalestimate）：某區(qū)間會(huì)涵蓋母體參數(shù)的可能性。信賴區(qū)間（confidenceinterval）：在特定機(jī)率下，估計(jì)母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範(fàn)圍。此特定的機(jī)率值可以稱為信賴水準(zhǔn)。9-3點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）：由樣點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間決定信賴區(qū)間的因素有：樣本大小n。母體資料的離散程度，通常使用s

估計(jì)。信賴水準(zhǔn)。9-4點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間決定信賴區(qū)間的因素有：9-4點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，且樣本個(gè)數(shù)大於30，我們使用z分配。9-5點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，且樣本個(gè)數(shù)大於30，我們點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體近似常態(tài)分配而母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本個(gè)數(shù)小於30，我們使用t分配。在給定信賴係數(shù)下，t分配的值依賴自由度而定。9-6點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體近似常態(tài)分配而母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本個(gè)樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本平均數(shù)抽樣分配的標(biāo)準(zhǔn)差可稱為「標(biāo)準(zhǔn)誤」（standarderror）。9-7樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本平均數(shù)抽樣分配的標(biāo)準(zhǔn)差可稱為「標(biāo)準(zhǔn)誤」樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為

為樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的符號(hào)。為母體標(biāo)準(zhǔn)差。n

為樣本大小。9-8樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為9-8樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤若σ未知，以及n≥30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差表示為s，可估計(jì)母體標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式如下：

9-9樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤若σ未知，以及n≥30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間估計(jì)陳述母體參數(shù)可能落入的範(fàn)圍值。估計(jì)母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範(fàn)圍。最常使用的信賴水準(zhǔn)為95%與99%。9-10區(qū)間估計(jì)陳述母體參數(shù)可能落入的範(fàn)圍值。9-10區(qū)間估計(jì)95%信賴區(qū)間表示在100組樣本所得到的100個(gè)區(qū)間中，約有95個(gè)區(qū)間會(huì)涵蓋母體參數(shù)。或者，從母體中抽選出來(lái)的樣本平均數(shù)，其中有95%

會(huì)落在母體平均數(shù)加減1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的範(fàn)圍內(nèi)。9-11區(qū)間估計(jì)95%信賴區(qū)間表示在100組樣本所得到的10區(qū)間估計(jì)而99%信賴區(qū)間意指，從母體中抽選出來(lái)的樣本平均數(shù)，有99%的樣本平均數(shù)會(huì)落在母體平均數(shù)加減2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的範(fàn)圍內(nèi)。9-12區(qū)間估計(jì)而99%信賴區(qū)間意指，從母體中抽選出來(lái)的樣本平μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的95%

信賴區(qū)間為9-13μ的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的95%信μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的99%信賴區(qū)間為9-14μ的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的99%信建構(gòu)母體平均數(shù)μ的信賴區(qū)間母體平均數(shù)信賴區(qū)間的通用計(jì)算公式為9-15建構(gòu)母體平均數(shù)μ的信賴區(qū)間母體平均數(shù)信賴區(qū)間的通用計(jì)算公範(fàn)例美國(guó)管理協(xié)會(huì)希望了解在零售產(chǎn)業(yè)中，中階主管的平均收入?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取256

位中階主管，其平均數(shù)為$45,420、標(biāo)準(zhǔn)差$2,050。協(xié)會(huì)想要了解下列幾個(gè)問(wèn)題：母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的合理估計(jì)值是多少？母體平均數(shù)會(huì)合理地落在什麼範(fàn)圍內(nèi)？以上答案的意義為何？ 9-16範(fàn)例美國(guó)管理協(xié)會(huì)希望了解在零售產(chǎn)業(yè)中，中階主管的平均範(fàn)例continued因不知道母體平均數(shù)是多少，只知道樣本平均數(shù)是$45,420。因此只能使用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)母體參數(shù)，所以樣本平均數(shù)$45,420是未知母體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。所計(jì)算出來(lái)的範(fàn)圍是$45,169至$45,671間，這兩個(gè)數(shù)值也可以稱為信賴界限（confidencelimits）。因此在95%信賴水準(zhǔn)（或信賴係數(shù)）下，信賴區(qū)間是從$45,169至$45,671?！?251稱為容界誤差（marginoferror）。9-17範(fàn)例continued因不知道母體平均數(shù)是多少，只知道樣範(fàn)例continued以上答案的意義為何？假設(shè)我們隨機(jī)抽出很多組樣本數(shù)為256位中階主管的樣本，也許抽選出好幾百組。對(duì)於這些每一組樣本，計(jì)算其平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，之後建立每組相對(duì)應(yīng)的95%信賴區(qū)間，建構(gòu)信賴區(qū)間的過(guò)程如上所示。我們希望所有的信賴區(qū)間中，約有95%的信賴區(qū)間將涵蓋母體平均數(shù)，另外約有5%信賴區(qū)間沒(méi)有包含母體平均數(shù)μ。然而，某特別信賴區(qū)間也許會(huì)包含母體平均數(shù)，或也許不會(huì)包含。9-18範(fàn)例continued以上答案的意義為何？9-18範(fàn)例continued9-19範(fàn)例continued9-19t分配的假設(shè)：母體為常態(tài)分配或近似常態(tài)分配t分配的特徵：1.t分配是連續(xù)型的機(jī)率分配。2.t分配的圖形是鐘形與對(duì)稱分配。3.有一整個(gè)t分配的家族。4.t分配比標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配更平坦，且離散程度也較大。當(dāng)樣本數(shù)增加時(shí)，t分配就會(huì)愈接近標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配。9-20t分配的假設(shè)：母體為常態(tài)分配或近似常態(tài)分配t分配的特徵：9範(fàn)例一個(gè)輪胎製造商想要研究公司所生產(chǎn)的輪胎其厚度耗損程度?，F(xiàn)在隨機(jī)選取行駛了50,000英里的10個(gè)輪胎為樣本，發(fā)現(xiàn)輪胎剩餘厚度的樣本平均數(shù)為0.32英寸、標(biāo)準(zhǔn)差為0.09英寸。請(qǐng)建構(gòu)母體平均數(shù)的95%信賴區(qū)間。如果製造商的結(jié)論是：在行駛了50,000英里之後，輪胎剩餘厚度的母體平均數(shù)仍然是0.3英寸。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)結(jié)論合理嗎？9-21範(fàn)例一個(gè)輪胎製造商想要研究公司所生產(chǎn)的輪胎其厚度耗損範(fàn)例continued一開(kāi)始假設(shè)母體分配是常態(tài)分配。為了要應(yīng)用中央極限定理，故需要使用大樣本，也就是樣本數(shù)至少在30以上。在這個(gè)範(fàn)例中，樣本數(shù)只有10個(gè)，因此不能使用中央極限定理。也就是不可以使用公式[9-1]，而必須使用公式[9-2]：

9-22範(fàn)例continued一開(kāi)始假設(shè)母體分配是常態(tài)分範(fàn)例continued

找出t

值的第一步，是在信賴區(qū)間的那一列找出所要的信賴水準(zhǔn)。在此例中，所需之信賴水準(zhǔn)是95%，即對(duì)應(yīng)到標(biāo)題為95%的那一行，並往左邊標(biāo)示為df

的那一行移動(dòng)。所謂的df是自由度（degreesoffreedom），自由度是將樣本中觀測(cè)資料的數(shù)量減去1，在此例中它是10－1=9。所以95%信賴水準(zhǔn)的那一行與自由度9的那一列(p.546)，交叉得到t

值為2.262。9-23範(fàn)例continued找出t值的第一步，是在範(fàn)例continued

信賴區(qū)間的界限是0.256與0.384。那麼該如何麼解釋這個(gè)結(jié)果呢？

可以說(shuō)母體平均數(shù)落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，製造商可以確認(rèn)（95%的信心程度）胎面的平均剩餘厚度仍然在0.256至0.384英寸間。因?yàn)?.3

英寸落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)很可能是0.3英寸。9-24範(fàn)例continued信賴區(qū)間的界限是0.25範(fàn)例佛羅里達(dá)州InletSquare百貨公司的經(jīng)理，想要估計(jì)每一位顧客平均採(cǎi)購(gòu)金額是多少。下表列示了20位顧客採(cǎi)購(gòu)金額的樣本資料。

請(qǐng)問(wèn)母體平均數(shù)的最佳點(diǎn)估計(jì)是多少？計(jì)算95%

的信賴區(qū)間，並解釋這個(gè)結(jié)果。如果母體平均數(shù)是$50，這個(gè)說(shuō)法合理嗎？那麼母體平均數(shù)為$60，合理嗎？9-25範(fàn)例佛羅里達(dá)州InletSquare百貨公司的範(fàn)例continued百貨公司的經(jīng)理假設(shè)顧客花費(fèi)金額的母體服從常態(tài)分配。不知道母體標(biāo)準(zhǔn)差，所以，必須使用

t分配以及使用公式[9-2]來(lái)計(jì)算信賴區(qū)間。自由度是n－1=20－1=19。在表格(p.546)中找出自由度為19、信賴水準(zhǔn)為95%的交叉點(diǎn)是2.093，並將這些值帶入公式[9-2]，計(jì)算出信賴區(qū)間：9-26範(fàn)例continued百貨公司的經(jīng)理假設(shè)顧客花費(fèi)範(fàn)例continued所求出的信賴區(qū)間是$45.13與$53.57之間。所以可以說(shuō)（有95%的信心）母體平均數(shù)會(huì)落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。InletSquare的經(jīng)理猜想母體平均數(shù)是$50或$60。$50在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)有可能是$50。而$60沒(méi)有在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)不太可能會(huì)是$60。

9-27範(fàn)例continued所求出的信賴區(qū)間是$45.母體比例的信賴區(qū)間母體比例信賴區(qū)間的估計(jì)公式為：9-28母體比例的信賴區(qū)間母體比例信賴區(qū)間的估計(jì)公式為：9-28範(fàn)例BottleBlowersofAmerica（BBA）工會(huì)想要與Teamsters工會(huì)合併。根據(jù)BBA工會(huì)的規(guī)章規(guī)定，至少要有?

的會(huì)員同意，才可進(jìn)行合併。現(xiàn)在隨機(jī)抽選2,000位BBA的會(huì)員，其中有1,600位同意合併的提議。請(qǐng)問(wèn)什麼是母體比例的估計(jì)值？請(qǐng)建構(gòu)母體比例的95%

信賴區(qū)間。基於這些樣本資訊，你認(rèn)為BBA的會(huì)員是否同意合併案的進(jìn)行？為什麼？

9-29範(fàn)例BottleBlowersofAmeric範(fàn)例continued使用公式[9-3]計(jì)算樣本比例，計(jì)算結(jié)果是0.8：因此可估計(jì)母體中有80%的會(huì)員同意合併的計(jì)畫(huà)。使用公式[9-6]計(jì)算95%的信賴區(qū)間。對(duì)應(yīng)於95%信賴水準(zhǔn)的z

值是1.96：

9-30範(fàn)例continued使用公式[9-3]計(jì)算樣範(fàn)例continued信賴區(qū)間的上下限是0.782

與0.818。因?yàn)樾刨囅孪?.782大於0.75，亦即信賴區(qū)間包含了超過(guò)75%的工會(huì)會(huì)員，所以我們可以說(shuō)這個(gè)合併計(jì)畫(huà)可能會(huì)通過(guò)。9-31範(fàn)例continued信賴區(qū)間的上下限是0.78有限母體的校正因子一個(gè)有固定上限的母體數(shù)目，我們稱之為「有限母體」。對(duì)於一個(gè)有限母體，其總數(shù)量為N，以及抽樣的樣本數(shù)為n。9-32有限母體的校正因子一個(gè)有固定上限的母體數(shù)目，我們稱之為「有限有限母體的校正因子樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-33有限母體的校正因子樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-33有限母體的校正因子樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-34對(duì)於有限母體，需進(jìn)行調(diào)整。

若n/N<0.05，則可忽視有限母體的校正因子。有限母體的校正因子樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-34對(duì)於有限母體，範(fàn)例

賓州Scandia地區(qū)有250

個(gè)家庭。隨機(jī)抽選40

個(gè)家庭，發(fā)現(xiàn)這些家庭每年捐獻(xiàn)給教堂的平均金額是$450、標(biāo)準(zhǔn)差$75。母體平均數(shù)可能是$445或是$425？母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的最佳估計(jì)值是多少？討論為何必須使用有限母體矯正因子？請(qǐng)計(jì)算平均每年捐獻(xiàn)金額的90%信賴區(qū)間。信賴區(qū)間的上界與下界分別是多少？解釋信賴區(qū)間。9-35範(fàn)例賓州Scandia地區(qū)有250個(gè)家庭。隨範(fàn)例continued不知道母體平均數(shù)，故必須估計(jì)之。母體平均數(shù)的最佳估計(jì)值是樣本平均數(shù)$450。樣本數(shù)占母體數(shù)量的比例超過(guò)5%；也就是n/N=40/250=0.16。因此使用有限母體矯正因子，透過(guò)FPC去調(diào)整信賴區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)誤。母體平均數(shù)的信賴區(qū)間公式變成9-36範(fàn)例continued不知道母體平均數(shù)，故必須估計(jì)之。母範(fàn)例continued信賴區(qū)間的信賴界限是$431.65與$468.35。母體平均數(shù)可能超過(guò)$431.65，但是少於$468.35。所以母體平均數(shù)可能是$445。但不太可能是$425。因?yàn)?445落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，而$425沒(méi)有落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。

9-37範(fàn)例continued信賴區(qū)間的信賴界限是選擇樣本大小在此可以考慮下列三個(gè)因素，來(lái)決定樣本的大?。盒刨囁疁?zhǔn)。研究者的最大容忍誤差。母體資料的變異程度。9-38選擇樣本大小在此可以考慮下列三個(gè)因素，來(lái)決定樣本的大?。?-估計(jì)母體平均數(shù)所需的樣本數(shù)量

其中:n

是樣本數(shù)量z

為在特定信賴水準(zhǔn)下，標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的值

是母體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)E

為最大的容許誤差9-39估計(jì)母體平均數(shù)所需的樣本數(shù)量9-39範(fàn)例一位在政府機(jī)構(gòu)打工的學(xué)生，想要計(jì)算議員每月的平均薪資是多少，他估計(jì)的最大容忍誤差是$100，同時(shí)使用95%

的信賴水準(zhǔn)。這位學(xué)生也發(fā)現(xiàn)勞工部門(mén)之前也作過(guò)一次類似的研究，在該次的研究中，標(biāo)準(zhǔn)差是$1,000。請(qǐng)問(wèn)本次研究所需要的樣本數(shù)是多少？9-40範(fàn)例一位在政府機(jī)構(gòu)打工的學(xué)生，想要計(jì)算議員每月的平均範(fàn)例continued

最大的容忍誤差E

是$100，95%信賴水準(zhǔn)相對(duì)應(yīng)的z

值是1.96，同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值是$1,000。將這些值帶入公式[9-5]中計(jì)算：計(jì)算結(jié)果是384.16，經(jīng)過(guò)無(wú)條件進(jìn)位法處理後是385。所以在這次研究需要抽選385個(gè)樣本。

9-41範(fàn)例continued最大的容忍誤差E是$範(fàn)例continued

如果這位學(xué)生想要增加信賴水準(zhǔn)，例如99%，則必須增加樣本數(shù)。99%信賴水準(zhǔn)相對(duì)應(yīng)的z值是2.58：經(jīng)過(guò)計(jì)算的樣本數(shù)為666。我們也可以看到當(dāng)信賴水準(zhǔn)改變時(shí)，樣本大小也會(huì)改變──當(dāng)信賴水準(zhǔn)從95%提高到99%時(shí)，樣本數(shù)量也增加了281

個(gè)。9-42範(fàn)例continued如果這位學(xué)生想要增加信賴水估計(jì)母體比例所需的樣本大小在進(jìn)行母體比例的研究時(shí)，決定樣本數(shù)量的因素也跟上述的因素相同。其中，

p為過(guò)去實(shí)驗(yàn)的估計(jì)比例z為某特定信賴水準(zhǔn)的

z值E為可允許的最大誤差9-43估計(jì)母體比例所需的樣本大小在進(jìn)行母體比例的研究時(shí)，決定樣本數(shù)範(fàn)例根據(jù)先前的範(fàn)例，有位學(xué)生想要研究擁有私立垃圾掩埋場(chǎng)的城市比例是多少，其母體比例的最大容忍誤差是0.1，信賴水準(zhǔn)是90%，但是母體比例則無(wú)法取得估計(jì)值。請(qǐng)問(wèn)本次研究所需要的樣本數(shù)量是多少？

9-44範(fàn)例根據(jù)先前的範(fàn)例，有位學(xué)生想要研究擁有私立垃圾掩埋場(chǎng)範(fàn)例continued母體比例最大的容忍誤差E是0.1，信賴水準(zhǔn)90%

相對(duì)應(yīng)的z

值是1.65，但因?yàn)闆](méi)有母體比例的估計(jì)值，所以使用0.5

來(lái)計(jì)算。建議的樣本數(shù)量是：因此，這位學(xué)生需要抽選69個(gè)城市為樣本。9-45範(fàn)例continued母體比例最大的容忍誤差E第9章

估計(jì)與信賴區(qū)間9-46第9章

估計(jì)與信賴區(qū)間9-19-47目標(biāo)定義點(diǎn)估計(jì)。定義信賴水準(zhǔn)。在母體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。在母體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。建構(gòu)母體比例的信賴區(qū)間。決定抽樣的樣本個(gè)數(shù)。9-2目標(biāo)定義點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）：由樣本資料計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，使用來(lái)估計(jì)母體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)（intervalestimate）：某區(qū)間會(huì)涵蓋母體參數(shù)的可能性。信賴區(qū)間（confidenceinterval）：在特定機(jī)率下，估計(jì)母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範(fàn)圍。此特定的機(jī)率值可以稱為信賴水準(zhǔn)。9-48點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）：由樣點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間決定信賴區(qū)間的因素有：樣本大小n。母體資料的離散程度，通常使用s

估計(jì)。信賴水準(zhǔn)。9-49點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間決定信賴區(qū)間的因素有：9-4點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，且樣本個(gè)數(shù)大於30，我們使用z分配。9-50點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，且樣本個(gè)數(shù)大於30，我們點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體近似常態(tài)分配而母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本個(gè)數(shù)小於30，我們使用t分配。在給定信賴係數(shù)下，t分配的值依賴自由度而定。9-51點(diǎn)估計(jì)與信賴區(qū)間若母體近似常態(tài)分配而母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本個(gè)樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本平均數(shù)抽樣分配的標(biāo)準(zhǔn)差可稱為「標(biāo)準(zhǔn)誤」（standarderror）。9-52樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本平均數(shù)抽樣分配的標(biāo)準(zhǔn)差可稱為「標(biāo)準(zhǔn)誤」樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為

為樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的符號(hào)。為母體標(biāo)準(zhǔn)差。n

為樣本大小。9-53樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為9-8樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤若σ未知，以及n≥30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差表示為s，可估計(jì)母體標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式如下：

9-54樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤若σ未知，以及n≥30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間估計(jì)陳述母體參數(shù)可能落入的範(fàn)圍值。估計(jì)母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範(fàn)圍。最常使用的信賴水準(zhǔn)為95%與99%。9-55區(qū)間估計(jì)陳述母體參數(shù)可能落入的範(fàn)圍值。9-10區(qū)間估計(jì)95%信賴區(qū)間表示在100組樣本所得到的100個(gè)區(qū)間中，約有95個(gè)區(qū)間會(huì)涵蓋母體參數(shù)?；蛘撸瑥哪阁w中抽選出來(lái)的樣本平均數(shù)，其中有95%

會(huì)落在母體平均數(shù)加減1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的範(fàn)圍內(nèi)。9-56區(qū)間估計(jì)95%信賴區(qū)間表示在100組樣本所得到的10區(qū)間估計(jì)而99%信賴區(qū)間意指，從母體中抽選出來(lái)的樣本平均數(shù)，有99%的樣本平均數(shù)會(huì)落在母體平均數(shù)加減2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的範(fàn)圍內(nèi)。9-57區(qū)間估計(jì)而99%信賴區(qū)間意指，從母體中抽選出來(lái)的樣本平μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的95%

信賴區(qū)間為9-58μ的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的95%信μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的99%信賴區(qū)間為9-59μ的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的99%信建構(gòu)母體平均數(shù)μ的信賴區(qū)間母體平均數(shù)信賴區(qū)間的通用計(jì)算公式為9-60建構(gòu)母體平均數(shù)μ的信賴區(qū)間母體平均數(shù)信賴區(qū)間的通用計(jì)算公範(fàn)例美國(guó)管理協(xié)會(huì)希望了解在零售產(chǎn)業(yè)中，中階主管的平均收入。現(xiàn)在隨機(jī)抽取256

位中階主管，其平均數(shù)為$45,420、標(biāo)準(zhǔn)差$2,050。協(xié)會(huì)想要了解下列幾個(gè)問(wèn)題：母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的合理估計(jì)值是多少？母體平均數(shù)會(huì)合理地落在什麼範(fàn)圍內(nèi)？以上答案的意義為何？ 9-61範(fàn)例美國(guó)管理協(xié)會(huì)希望了解在零售產(chǎn)業(yè)中，中階主管的平均範(fàn)例continued因不知道母體平均數(shù)是多少，只知道樣本平均數(shù)是$45,420。因此只能使用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)母體參數(shù)，所以樣本平均數(shù)$45,420是未知母體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。所計(jì)算出來(lái)的範(fàn)圍是$45,169至$45,671間，這兩個(gè)數(shù)值也可以稱為信賴界限（confidencelimits）。因此在95%信賴水準(zhǔn)（或信賴係數(shù)）下，信賴區(qū)間是從$45,169至$45,671?！?251稱為容界誤差（marginoferror）。9-62範(fàn)例continued因不知道母體平均數(shù)是多少，只知道樣範(fàn)例continued以上答案的意義為何？假設(shè)我們隨機(jī)抽出很多組樣本數(shù)為256位中階主管的樣本，也許抽選出好幾百組。對(duì)於這些每一組樣本，計(jì)算其平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，之後建立每組相對(duì)應(yīng)的95%信賴區(qū)間，建構(gòu)信賴區(qū)間的過(guò)程如上所示。我們希望所有的信賴區(qū)間中，約有95%的信賴區(qū)間將涵蓋母體平均數(shù)，另外約有5%信賴區(qū)間沒(méi)有包含母體平均數(shù)μ。然而，某特別信賴區(qū)間也許會(huì)包含母體平均數(shù)，或也許不會(huì)包含。9-63範(fàn)例continued以上答案的意義為何？9-18範(fàn)例continued9-64範(fàn)例continued9-19t分配的假設(shè)：母體為常態(tài)分配或近似常態(tài)分配t分配的特徵：1.t分配是連續(xù)型的機(jī)率分配。2.t分配的圖形是鐘形與對(duì)稱分配。3.有一整個(gè)t分配的家族。4.t分配比標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配更平坦，且離散程度也較大。當(dāng)樣本數(shù)增加時(shí)，t分配就會(huì)愈接近標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配。9-65t分配的假設(shè)：母體為常態(tài)分配或近似常態(tài)分配t分配的特徵：9範(fàn)例一個(gè)輪胎製造商想要研究公司所生產(chǎn)的輪胎其厚度耗損程度。現(xiàn)在隨機(jī)選取行駛了50,000英里的10個(gè)輪胎為樣本，發(fā)現(xiàn)輪胎剩餘厚度的樣本平均數(shù)為0.32英寸、標(biāo)準(zhǔn)差為0.09英寸。請(qǐng)建構(gòu)母體平均數(shù)的95%信賴區(qū)間。如果製造商的結(jié)論是：在行駛了50,000英里之後，輪胎剩餘厚度的母體平均數(shù)仍然是0.3英寸。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)結(jié)論合理嗎？9-66範(fàn)例一個(gè)輪胎製造商想要研究公司所生產(chǎn)的輪胎其厚度耗損範(fàn)例continued一開(kāi)始假設(shè)母體分配是常態(tài)分配。為了要應(yīng)用中央極限定理，故需要使用大樣本，也就是樣本數(shù)至少在30以上。在這個(gè)範(fàn)例中，樣本數(shù)只有10個(gè)，因此不能使用中央極限定理。也就是不可以使用公式[9-1]，而必須使用公式[9-2]：

9-67範(fàn)例continued一開(kāi)始假設(shè)母體分配是常態(tài)分範(fàn)例continued

找出t

值的第一步，是在信賴區(qū)間的那一列找出所要的信賴水準(zhǔn)。在此例中，所需之信賴水準(zhǔn)是95%，即對(duì)應(yīng)到標(biāo)題為95%的那一行，並往左邊標(biāo)示為df

的那一行移動(dòng)。所謂的df是自由度（degreesoffreedom），自由度是將樣本中觀測(cè)資料的數(shù)量減去1，在此例中它是10－1=9。所以95%信賴水準(zhǔn)的那一行與自由度9的那一列(p.546)，交叉得到t

值為2.262。9-68範(fàn)例continued找出t值的第一步，是在範(fàn)例continued

信賴區(qū)間的界限是0.256與0.384。那麼該如何麼解釋這個(gè)結(jié)果呢？

可以說(shuō)母體平均數(shù)落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，製造商可以確認(rèn)（95%的信心程度）胎面的平均剩餘厚度仍然在0.256至0.384英寸間。因?yàn)?.3

英寸落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)很可能是0.3英寸。9-69範(fàn)例continued信賴區(qū)間的界限是0.25範(fàn)例佛羅里達(dá)州InletSquare百貨公司的經(jīng)理，想要估計(jì)每一位顧客平均採(cǎi)購(gòu)金額是多少。下表列示了20位顧客採(cǎi)購(gòu)金額的樣本資料。

請(qǐng)問(wèn)母體平均數(shù)的最佳點(diǎn)估計(jì)是多少？計(jì)算95%

的信賴區(qū)間，並解釋這個(gè)結(jié)果。如果母體平均數(shù)是$50，這個(gè)說(shuō)法合理嗎？那麼母體平均數(shù)為$60，合理嗎？9-70範(fàn)例佛羅里達(dá)州InletSquare百貨公司的範(fàn)例continued百貨公司的經(jīng)理假設(shè)顧客花費(fèi)金額的母體服從常態(tài)分配。不知道母體標(biāo)準(zhǔn)差，所以，必須使用

t分配以及使用公式[9-2]來(lái)計(jì)算信賴區(qū)間。自由度是n－1=20－1=19。在表格(p.546)中找出自由度為19、信賴水準(zhǔn)為95%的交叉點(diǎn)是2.093，並將這些值帶入公式[9-2]，計(jì)算出信賴區(qū)間：9-71範(fàn)例continued百貨公司的經(jīng)理假設(shè)顧客花費(fèi)範(fàn)例continued所求出的信賴區(qū)間是$45.13與$53.57之間。所以可以說(shuō)（有95%的信心）母體平均數(shù)會(huì)落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。InletSquare的經(jīng)理猜想母體平均數(shù)是$50或$60。$50在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)有可能是$50。而$60沒(méi)有在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)不太可能會(huì)是$60。

9-72範(fàn)例continued所求出的信賴區(qū)間是$45.母體比例的信賴區(qū)間母體比例信賴區(qū)間的估計(jì)公式為：9-73母體比例的信賴區(qū)間母體比例信賴區(qū)間的估計(jì)公式為：9-28範(fàn)例BottleBlowersofAmerica（BBA）工會(huì)想要與Teamsters工會(huì)合併。根據(jù)BBA工會(huì)的規(guī)章規(guī)定，至少要有?

的會(huì)員同意，才可進(jìn)行合併。現(xiàn)在隨機(jī)抽選2,000位BBA的會(huì)員，其中有1,600位同意合併的提議。請(qǐng)問(wèn)什麼是母體比例的估計(jì)值？請(qǐng)建構(gòu)母體比例的95%

信賴區(qū)間?；哆@些樣本資訊，你認(rèn)為BBA的會(huì)員是否同意合併案的進(jìn)行？為什麼？

9-74範(fàn)例BottleBlowersofAmeric範(fàn)例continued使用公式[9-3]計(jì)算樣本比例，計(jì)算結(jié)果是0.8：因此可估計(jì)母體中有80%的會(huì)員同意合併的計(jì)畫(huà)。使用公式[9-6]計(jì)算95%的信賴區(qū)間。對(duì)應(yīng)於95%信賴水準(zhǔn)的z

值是1.96：

9-75範(fàn)例continued使用公式[9-3]計(jì)算樣範(fàn)例continued信賴區(qū)間的上下限是0.782

與0.818。因?yàn)樾刨囅孪?.782大於0.75，亦即信賴區(qū)間包含了超過(guò)75%的工會(huì)會(huì)員，所以我們可以說(shuō)這個(gè)合併計(jì)畫(huà)可能會(huì)通過(guò)。9-76範(fàn)例continued信賴區(qū)間的上下限是0.78有限母體的校正因子一個(gè)有固定上限的母體數(shù)目，我們稱之為「有限母體」。對(duì)於一個(gè)有限母體，其總數(shù)量為N，以及抽樣的樣本數(shù)為n。9-77有限母體的校正因子一個(gè)有固定上限的母體數(shù)目，我們稱之為「有限有限母體的校正因子樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-78有限母體的校正因子樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-33有限母體的校正因子樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-79對(duì)於有限母體，需進(jìn)行調(diào)整。

若n/N<0.05，則可忽視有限母體的校正因子。有限母體的校正因子樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：9-34對(duì)於有限母體，範(fàn)例

賓州Scandia地區(qū)有250

個(gè)家庭。隨機(jī)抽選40

個(gè)家庭，發(fā)現(xiàn)這些家庭每年捐獻(xiàn)給教堂的平均金額是$450、標(biāo)準(zhǔn)差$75。母體平均數(shù)可能是$445或是$425？母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的最佳估計(jì)值是多少？討論為何必須使用有限母體矯正因子？請(qǐng)計(jì)算平均每年捐獻(xiàn)金額的90%信賴區(qū)間。信賴區(qū)間的上界與下界分別是多少？解釋信賴區(qū)間。9-80範(fàn)例賓州Scandia地區(qū)有250個(gè)家庭。隨範(fàn)例continued不知道母體平均數(shù)，故必須估計(jì)之。母體平均數(shù)的最佳估計(jì)值是樣本平均數(shù)$450。樣本數(shù)占母體數(shù)量的比例超過(guò)5%；也就是n/N=40/250=0.16。因此使用有限母體矯正因子，透過(guò)FPC去調(diào)整信賴區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)誤。母體平均數(shù)的信賴區(qū)間公式變成9-81範(fàn)例continued不知道母體平均數(shù)，故必須估計(jì)之。母範(fàn)例continued信賴區(qū)間的信賴界限是$431.65與$468.35。母體平均數(shù)可能超過(guò)$431.65，但是少於$468.35