均值與方差在生活中的運用 新高考 數(shù)學一輪 復習專項提升精講精練 （含答案解析）

8.4均值與方差在生活中的運用（精練）（提升版）題組一均值與方差1．（2020·浙江·磐安縣第二中學）已知隨機變量題組一均值與方差012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【解析】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）設，隨機變量的分布列為X012Pb則當在內增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】A【解析】根據(jù)隨機變量分布列的性質可知，，，因為，所以單調遞增，故選：A3．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）設，隨機變量X的分布列是（

）X01Pb則當a在內增大時，（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以所以當時，增大增大，當時，減小減小.故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習）從裝有個白球和個黑球的袋中無放回任取個球，每個球取到的概率相同，規(guī)定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數(shù)和記為隨機變量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數(shù)和記為隨機變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據(jù)題意，，，，分布列如下：根據(jù)題意，，，，分布列如下：，，，，可得，故選：C.5．（2022·浙江·三模）隨機變量的分布列如下所示，其中，則下列說法中正確的是（

）01PA． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)分布列可得：，則，因為，故，即．令（）則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減又因為所以與大小無法確定故選：D．6．（2022·浙江紹興·模擬預測）設，隨機變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】設隨機變量為X，其可能的取值是，對應概率為，則其數(shù)學期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯誤；若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯誤．故選：A．7．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經驗可得，隨機變量X的分布列為X0a2Pb其中結論正確的是（

）A．B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C．D．當最小時，【答案】ABC【解析】由題意，，，故選項A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為，故選項B正確；隨機變量X的期望值，可知方差，當時，，故選項C正確；當時，，故選項D錯誤.故選：ABC.題組二題組二利用均值做決策1．（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）真人密室逃脫將玩家關在一間密閉的房間中，主持人講述相關的故事背景和注意事項，不同的主題有不同的故事背景，市面上較多的為電影主題，寶藏主題，牢籠主題等．由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加真人密室逃脫，第一關解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在5分鐘內完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關，否則淘汰出局．甲在5分鐘內解開密碼鎖的概率為0.8，乙在5分鐘內解開密碼鎖的概率為0.6，丙在5分鐘內解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．(1)求該團隊能進入下一關的概率；(2)該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最?。坎⒄f明理由．【答案】(1)【解析】（1）解：記“團隊能進入下一關”的事件為，則“不能進入下一關”的事件為，，所以該團隊能進入下一關的概率為．（2）解：設按先后順序各自能完成任務的概率分別，，，且，，互不相等，根據(jù)題意知的所有可能的取值為1，2，3；則，，，，所以．若交換前兩個人的派出順序，則變?yōu)?，由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可增大均值，應選概率大的甲先開鎖；若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，由交換前，所以交換后的派出順序則變?yōu)?，當時，交換后的派出順序可增大均值．所以先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學期望）達到最?。?．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測（理））核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性．某檢測點根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該處疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗．混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結果就會呈陽性．若混合樣本呈陽性，則再將該組中每一個備份的樣本逐一進行化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗．現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組，每組兩個樣本混合在一起，再分組化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)求4個疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進行化驗，請問：方案一、二中哪個較“優(yōu)”？做出判斷并說明理由．【答案】(1)(2)方案二較“優(yōu)”；理由見解析【解析】(1)用表示4個疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)，則，由題意可知，設4個疑似病例中至少有1例呈陽性為事件A；(2)方案一：逐個檢驗，檢驗次數(shù)為4．方案二：每組兩個樣本檢測時，呈陰性的概率為，設方案二的檢測次數(shù)為隨機變量Y，則Y的可能取值為2，4，6，所以，，，所以隨機變量Y的分布列為：Y246P所以方案二檢測次數(shù)Y的期望為．則采取方案二較“優(yōu)”.3．（2022·惠州模擬）惠州市某高中學校組織航天科普知識競賽，分小組進行知識問題競答.甲乙兩個小組分別從6個問題中隨機抽取3個問題進行回答，答對題目多者為勝.已知這6個問題中，甲組能正確回答其中4個問題，而乙組能正確回答每個問題的概率均為.甲?乙兩個小組的選題以及對每題的回答都是相互獨立，互不影響的.（1）求甲小組至少答對2個問題的概率；（2）若從甲乙兩個小組中選拔一組代表學校參加全市決賽，請分析說明選擇哪個小組更好？【答案】（1）45【解析】（1）解：甲小組至少答對2道題目可分為答對2題或者答對3題；，所求概率（2）解：甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.，結合（1）可知，.設乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則，，由，可得，甲小組參加決賽更好.4．（2022·福建模擬）冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結合在一起.其中男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；②射擊姿勢及順序為：第1圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達終點；③如果選手有發(fā)子彈未命中目標，將被罰時分鐘；④最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標的概率分別為和.假設甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標互不影響.（1）若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求甲勝乙的概率；（2）若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.【答案】（1）（2）乙【解析】（1）解：甲滑雪用時比乙多秒分鐘，因為前三次射擊，甲、乙兩人的被罰時間相同，所以在第四次射擊中，甲至少要比乙多命中4發(fā)子彈.設“甲勝乙”為事件A，“在第四次射擊中，甲有4發(fā)子彈命中目標，乙均未命中目標”為事件，“在第四次射擊中，甲有5發(fā)子彈命中目標，乙至多有1發(fā)子彈命中目標”為事件，依題意，事件和事件是互斥事件，，，，所以，.即甲勝乙的概率為.（2）解：依題意得，甲選手在比賽中未擊中目標的子彈數(shù)為，乙選手在比賽中未擊中目標的子彈數(shù)為，則，，所以甲被罰時間的期望為（分鐘），乙被罰時間的期望為（分鐘），又在賽道上甲選手滑行時間慢3分鐘，所以甲最終用時的期望比乙多2分鐘.因此，僅從最終用時考慮，乙選手水平更高.5．（2022·湛江模擬）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護人員對確診患者進行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復的概率都為，B組3人康復的概率分別為，，.（1）設事件C表示A組中恰好有1人康復，事件D表示B組中恰好有1人康復，求；（2）若服藥一個療程后，每康復1人積2分，假設認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？【答案】（1）（2）甲【解析】（1）解：依題意有，，.又事件C與D相互獨立，則，所以.（2）解：設A組中服用甲種中藥康復的人數(shù)為，則，所以.設A組的積分為，則，所以.設B組中服用乙種中藥康復的人數(shù)為，則的可能取值為：0，1，2，3，，，，，故的分布列為0123所以，設B組的積分為，則，所以，因為，所以甲種中藥藥性更好.題組三題組三均值與其他知識綜合1．（2022·平江模擬）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進行新型冠狀病毒感染率抽樣調查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：方案甲：逐份檢驗，需要檢驗n次；方案乙：混合檢驗，把受檢驗者的血樣分組，假設某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則說明這k個人全部為陰性，因而這k個人的血樣只要檢驗這一次就夠了；若檢驗結果為陽性，為了明確這k個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這k個人的血樣再逐份檢驗，因此這k個人的總檢驗次數(shù)就為．假設在接受檢驗的人中，每個人血樣檢驗結果是陽性還是陰性是相互獨立的，且每個人血樣的檢驗結果是陽性的概率為．（1）若，，用甲方案進行檢驗，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；（2）記為用方案乙對k個人的血樣總共需要檢驗的次數(shù)．①當，時，求；②從統(tǒng)計學的角度分析，p在什么范圍內取值，用方案乙能減少總檢驗次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）0.2（2）見解析【解析】（1）解：對5個人的血樣進行檢驗，且每個人的血樣是相互獨立的，設事件A為“5個人的血樣中恰有2個人的檢驗結果為陽性”，則（2）解：①當，時，5個人的血樣分別取樣再混合檢驗，結果為陰性的概率為，總共需要檢驗的次數(shù)為1次；結果為陽性的概率為，總共需要檢驗的次數(shù)為6次；所以的分布列為：16P所以．②當采用混合檢驗的方案時，根據(jù)題意，要使混合檢驗的總次數(shù)減少，則必須滿足，即，化簡得，所以當P滿足，用混合檢驗的方案能減少檢驗次數(shù)．2．（2022·武昌模擬）接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區(qū)有A、B、C三種新冠疫苗可供居民接種，假設在某個時間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應都很充足.為了節(jié)省時間和維持良好的接種秩序，接種點設置了號碼機，號碼機可以隨機地產生A、B、C三種號碼(產生每個號碼的可能性都相等)，前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號碼相對應的疫苗(例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推).若甲、乙、丙、丁四個人各自獨立的去接種第一針新冠疫苗.（1）記甲、乙、丙、丁四個人中接種疫苗A的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望；（2）記甲、乙、丙、丁四個人中接種疫苗的種數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：由題意，∴，即隨機變量的數(shù)學期望為（2）解：的可能取值為1，2，3．，，，的分布列為：1233（2022·黃山模擬）“紅五月”將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有2道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中4道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機同時給出道“是非判斷”和4道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.（1）設甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的2道“是非判斷”題和4道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對，其余的4題只能隨機作答，求甲同學晉級成功的概率；（2）已知該校高三（1）班共有位同學，每位同學都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.若將（1）中甲同學晉級的概率當作該班級每位同學晉級的概率，設該班晉級的學生人數(shù)為.①問該班級成功晉級的學生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；②求隨機變量的方差.【答案】（1）512（2）【解析】（1）解：記事件甲同學晉級成功，則事件包含以下幾種情況：①事件“共答對四道”，即答對余下的是非判斷題，答錯兩道信息連線題，則.②事件“共答對五道”，即答錯余下的是非判斷題，答對余下的三道信息連線題，則.③事件“共答對六道”，即答對余下的四道問題，，所以.（2）解：①由題意可知，設最大，則，即，可得，解得，即最有可能取的值為19或20；②由二項分布的方差公式可得.4．（2022·江西·南昌二中高三開學考試（理））某商場為吸引顧客，增加顧客流量，決定開展一項有獎游戲．參加一次游戲的規(guī)則如下：連續(xù)拋質地均勻的硬幣三次（每次拋硬幣結果相互獨立），若正面朝上多于反面朝上的次數(shù)，則得分，否則得分．一位顧客可最多連續(xù)參加次游戲．(1)求顧客甲在一次游戲中正面朝上次數(shù)的分布列與期望；(2)若連續(xù)參加游戲獲得的分數(shù)總和不小于分，即可獲得一份大獎．顧客乙準備連續(xù)參加次游戲，則他獲得這份大獎的概率多大？【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為(2)【解析】（1）解：由題意得三次拋硬幣正面朝上的次數(shù)，則，，，，所以分布列為0123則甲在一次游戲中硬幣正面朝上次數(shù)的期望（2）解：由（1）知，在一次游戲中，顧客乙得3分和得1分的概率均為設次游戲中，得分的次數(shù)為，則，即，易知，故.5．（2022·北京市第五中學三模）2022年春節(jié)后，新冠肺炎的新變種奧密克戎在我國部分地區(qū)爆發(fā).該病毒是一種人傳人，不易被人們直接發(fā)現(xiàn)，潛伏期長且傳染性極強的病毒.我們把與該病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者.一旦發(fā)現(xiàn)感染者，社區(qū)會立即對其進行流行性病醫(yī)學調查，找到其密切接觸者進行隔離觀察.調查發(fā)現(xiàn)某位感染者共有10位密切接觸者，將這10位密切接觸者隔離之后立即進行核酸檢測.核酸檢測方式既可以采用單樣本檢測，又可以采用“合1檢測法”.“合1檢測法”是將個樣本混合在一起檢測，若混合樣本呈陽性，則該組中各個樣本再全部進行單樣本檢測;若混合樣本呈陰性，則可認為該混合樣本中每個樣本都是陰性.通過病毒指標檢測，每位密切按觸者為陰性的概率為，且每位密切接觸者病毒指標是否為陰性相互獨立.(1)現(xiàn)對10個樣本進行單樣本檢測，求檢測結果最多有1個樣本為陽性的概率的表達式;(2)若對10個樣本采用“5合1檢測法”進行核酸檢測.用表示以下結論:①求某個混合樣本呈陽性的概率;②設總檢測次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)；(2)①；②分布列見解析，.【解析】(1)由題意可知，對10個樣本進行逐個檢測屬于獨立重復試驗，所以最多有1個陽性樣本的概率為：，所以(2)①設“某個混合樣本呈陽性”為事件，則表示事件“某個混合樣本呈陰性”，而混合樣本呈陰性即為該混合樣本全部為陰性，．故②X的可能取值為2，7，12．當兩個混合樣本都呈陰性時，.當兩個混合樣本一個呈陽性，一個呈陰性時，．當兩個混合樣本都呈陽性時，．故X的分布列為：2712的數(shù)學期望，所以的數(shù)學期望為6（2022·泰安二模