均值與方差在生活中的運用 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項提升精講精練 （含答案解析）

8.4均值與方差在生活中的運用（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一均值與方差的性質(zhì)【例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X的分布列如下：236Pa則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【解析】根據(jù)分布列可知，解得，，，所以.故選：D.【例1-2】（2022·廣西桂林）設(shè)0＜a＜1．隨機變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時，（

）E（X）不變 B．E（X）減小C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大【答案】D【解析】，∴E（X）增大；，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為下表所示，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由，解得由隨機變量的分布列的性質(zhì)得，得所以故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X的分布列如下所示，則（

）．X012PaA． B． C． D．【答案】D【解析】由分布列的性質(zhì)得，∴，故選：D3．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，隨機變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【解析】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.考點二利用均值最決策【例2】1（2022·湖北·模擬預(yù)測）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕，該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情，某冰雪運動品商店對消費達一定金額的顧客開展了“冬奧”知識有獎競答活動，試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，共需要回答三個問題，對于每一個問題，答錯得0分；答對填空題得30分答對選擇題得20分現(xiàn)設(shè)置了兩種活動方案供選擇，方案一：只回答填空題；方案二：第一題是填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次是填空題，若上題回答錯誤，則下一次是選擇題．某顧客獲得了答題資格，已知其答對填空題的概率均為，答對選擇題的概率均為P，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)(1)若該顧客采用方案一答題，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，該顧客選擇何種方案更加有利？并說明理由．【答案】(1)(2)，選方案一；，方案一、方案二均可；，選方案二．【解析】（1）采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對兩道填空題∴其概率為（2）若采用方案一，設(shè)其答對題數(shù)為，得分為X則，，∴若采用方案二，設(shè)其得分為Y，則，20，30，50，60，90，，，令，則，解得或（舍去）即，選方案一數(shù)學(xué)期望大，則，方案一、方案二數(shù)學(xué)期望一樣，則，選方案二數(shù)學(xué)期望大綜上所述：選方案一；方案一、方案二均可；選方案二．【一隅三反】1（2022·棗莊模擬）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺開展銷售活動．現(xiàn)有甲、乙兩個平臺供選擇，且當(dāng)每件商品的售價為元時，從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機抽取100天的日銷售量統(tǒng)計如下，商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺的天數(shù)1426262410乙平臺的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，（1）求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；（2）已知甲平臺的收費方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費30元；乙平臺的收費方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費40元，超過8件的部分，每件收費35元．某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作，從日銷售收入（單價×日銷售量-平臺費用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：令事件“甲平臺日銷售量不低于8件”，則，令事件“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則（2）解：設(shè)甲平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為所以，，設(shè)乙平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為：所以，.所以，令得，令得所以，當(dāng)時，選擇甲平臺；當(dāng)時，甲乙平臺均可；當(dāng)時，選擇乙平臺.2．（2022·南京模擬）空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與空氣質(zhì)量等級的對應(yīng)關(guān)系如下：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI空氣質(zhì)量等級[0，50]優(yōu)（50，100]良（100，150]輕度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋￥）嚴(yán)重污染下列頻數(shù)分布表是某場館記錄了一個月（30天）的情況：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]頻數(shù)（單位：天）36156（1）利用上述頻數(shù)分布表，估算該場館日平均AQI的值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）（2）如果把頻率視為概率，且每天空氣質(zhì)量之間相互獨立，求未來一周（7天）中該場館至少有兩天空氣質(zhì)量等級達到“優(yōu)或良”的概率；（參考數(shù)據(jù)：0.77≈0.0824，結(jié)果精確到0.01）（3）為提升空氣質(zhì)量，該場館安裝了2套相互獨立的大型空氣凈化系統(tǒng)．已知每套凈化系統(tǒng)一年需要更換濾芯數(shù)量情況如下：更換濾芯數(shù)量（單位：個）345概率0.20.30.5已知廠家每年年初有一次濾芯促銷活動，促銷期內(nèi)每個濾芯售價1千元，促銷期結(jié)束后每個濾芯恢復(fù)原價2千元．該場館每年年初先在促銷期購買n（n≥8，且n∈N*）個濾芯，如果不夠用，則根據(jù)需要按原價購買補充．問該場館年初促銷期購買多少個濾芯，使當(dāng)年購買濾芯的總花費最合理，請說明理由．（不考慮往年剩余濾芯和下一年需求）【答案】見解析【解析】（1）解：法一：；法二：（2）解：一個月30天中達到優(yōu)或良的天數(shù)為9，空氣質(zhì)量等級達到優(yōu)或良的概率為，∴未來一周（7天）中該場館至少有兩天空氣質(zhì)量達到優(yōu)或良的概率為；（3）法一：需要更換的濾芯個數(shù)X的所有可能取值為6，7，8，9，10，，，，，∴更換濾芯個數(shù)X的期望為：個若購買8個，則總花費為元，若購買9個，則總花費為9000元，∵，故應(yīng)購買9個最合理．法二：按照這個數(shù)據(jù)，每年需要6到10個濾芯，也就是，9，10，而需求假設(shè)為Z，會有；；那么當(dāng)時，會有花費的分布為均值同理算出，故此買9個最劃算．考點三均值與其他知識的結(jié)合【例3】（2022·云南師大附中）某校組織“生物多樣性”知識競賽，甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，每一輪比賽，甲、乙各回答一道題，已知每道題得分為1~100的任意整數(shù)，60分及以上判定為合格.規(guī)定：在一輪比賽中，若兩名參賽選手，一名合格一名不合格，記合格者為，不合格者為；若兩名參賽選手，同時合格或同時不合格，記兩名選手都是.在比賽前，甲、乙分別進行模擬練習(xí).已知某次練習(xí)中，甲、乙分別回答了15道題，答題分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，甲、乙回答每道題得分不相互影響，并以該次練習(xí)甲、乙每道題的合格概率估計比賽時每道題的合格概率.(1)分別求甲、乙兩名同學(xué)比賽時每道題合格的概率；(2)設(shè)2輪比賽中甲獲得的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若甲、乙兩名同學(xué)共進行了10輪比賽，甲同學(xué)獲得（，）個的概率為，當(dāng)最大時，求.【答案】(1)甲的合格率為，乙的合格率為(2)分布列見解析，(3)當(dāng)時，最大【解析】(1)根據(jù)莖葉圖知，15道題中甲同學(xué)合格了5個題，乙同學(xué)合格了6個題，所以甲同學(xué)合格的概率為，乙同學(xué)合格的概率為.(2)設(shè)一輪比賽中，甲同學(xué)獲得的個數(shù)為，則的可能取值為0，1，則由于甲同學(xué)2輪比賽可能獲得的個數(shù)為0，1，2，故的可能取值為0，1，2，所以的分布列為012(3)設(shè)10輪比賽中，甲同學(xué)獲得的個數(shù)為，則，則(且)．由于，因為隨著的增大而增大，所以時，，則有；時，，則有，故當(dāng)時，最大．【一隅三反】1．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測，具體檢測方案是：從這批零件中任取10件逐一進行檢測，當(dāng)檢測到2件不合格零件時，停止檢測，此批零件未通過，否則檢測通過.設(shè)每件零件為合格零件的概率為p，且每件零件是否合格是相互獨立的.(1)已知，若此批零件檢測未通過，求恰好檢測5次的概率；(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元，合格零件的售價為每件150元.現(xiàn)對不合格零件進行修復(fù)，修復(fù)后按正常零件進行銷售，修復(fù)后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修復(fù)的費用為每件20元，每件不合格的零件修復(fù)為合格零件的概率為工廠希望每件零件可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？【答案】(1)(2)【解析】(1)解：記事件“此批零件檢測未通過，恰好檢測5次”則前4次有1次未通過，第5次未通過.即恰好檢測5次未通過的概率為；(2)由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，設(shè)每件零件可獲利X元，；50；；；，則，

解得，即：每件零件為合格零件的概率p的最小值為2.（2022·內(nèi)蒙古）某職業(yè)中專開設(shè)的一門學(xué)科的考試分為理論考試和實踐操作考試兩部分，當(dāng)理論考試合格才能參加實踐操作考試，只有理論考試與實踐操作考試均合格，才能獲得技術(shù)資格證書，如果一次考試不合格有1次補考機會.學(xué)校為了掌握該校學(xué)生對該學(xué)科學(xué)習(xí)情況，進行了一次調(diào)查，隨機選取了100位同學(xué)的一次考試成績，將理論考試與實踐操作考試成績折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算該門學(xué)科這次考試的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)這三個分?jǐn)?shù)段中，按頻率分布情況，抽取7個學(xué)生進行教學(xué)調(diào)研，學(xué)校的教務(wù)主任要在這7名學(xué)生中隨機選2人進行教學(xué)調(diào)查，求這2人均來自[60，70)的概率；(2)該校學(xué)生小明在歷次該學(xué)科模擬考試中，每次理論合格的概率均為，每次考實踐操作合格的概率均為，這個學(xué)期小明要參加這門學(xué)科的結(jié)業(yè)考試，小明全力以赴，且每次考試互不影響.如果小明考試的次數(shù)的期望不低于2.5次，求的取值范圍.【答案】(1)①a=20，平均分74；②(2)【解析】(1)①由題意得：，解得：，，②[40，50)，[50，60)，[60，70)頻率之比為1:2:4，抽取7個學(xué)生進行教學(xué)調(diào)研，