南京工業(yè)大學(xué)2021 2021學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》試卷和參考答案

20212021答案南京工業(yè)大學(xué)2021-2021學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》試卷和參考答案南京工業(yè)大學(xué)2022-2022學(xué)年第二學(xué)期期末論文答辯一.填空題(每小題3分,滿分15分)穿過直線L:x？1？2z？23x？2Z52？32 ．【解】應(yīng)填：x?8y?13z?9?0．直線ls？{2,?3,2}.已知平面的法向量N1？{3,2，？1n，從問題的意義上知道n？SN？N1，所以這是可取的ijkn?s?n1?2?32?{?1,8,13}，32?1從條件可知，平面通過點P0（1，±2,2）已獲得，因此平面方程為，（x？1）？8（y？2）？13（z？2）？0即十、8歲？13z？9?0．設(shè)x?2xy?y?ze?1dz【解】應(yīng)填：?2dx?dy．x2？2xy？Y12z(0,1)?．2xdx？2碼？2xdy？阿迪？（1？z）ezdz？0當(dāng)x?0,y?1時，代入原方程得z?0，因此dz(0,1)??2dx？迪。橢圓拋物?：z?2x?y在點p0(1,?1,3)處的法線方程【解】應(yīng)填：22x？1歲？1z？3.4.2.1表面？點P0（1，±1,3）處的法向量可作為1N4x，2y，？1.(1,?1,3)??4.2.1.于是曲面?在點p0(1,?1,3)處的法線方程為十、1歲？1z？4.2.3.一曲面z?x2?y2與z?x2?y26．vdv?2?0d?1r0rdr?r2dz?6 ．設(shè)l為上半圓圓周y？1.X2，那么曲線積分ds= 由對稱性，代入技巧及幾何意義可得2l？十、xy？y2？ds？？lds？0二.選擇題(每小題3分,滿分15分)1.方程式y(tǒng) 3y？？2歲？1.2倍？3EX的特解形式為（）。解決方]選擇2.設(shè)un1n?(?1)sinn，則級數(shù)（）．（a）u2n 與聯(lián)合國趨同（b）n?1n?1?u2n與N1.不都是發(fā)散u2n 收斂，而N散度（d）u2n發(fā)散，而N收斂n?1?un?1?n?1?un?1【解】選（c）二

（ax？B）ex3．二元函數(shù)f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在點p0(x0,y0)處都連續(xù)是f(x,y)在點p0(x0,y0)處可微分的（）(a)充分條件(b)必要條件（c）充要條件（d）既不充分也不必要【解】若fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在點p0(x0,y0)都連續(xù)，則f(x,y)在點p0(x0,y0)處可微分，選擇（a）410dx2x1xy1y3dy （a）12?2?1（b）132.1（c）？1122（d）32[解]原積分？dy01y011y2dy1dx021y331y3xy21 ．選x2十、 集合f（x）？？，那么周期是2？函數(shù)f（x）在x中的傅里葉數(shù)？2.位置x0x 2三.(10z?f(xy,xy)?g(fyx?2zY[z1yf1yf2g(2),xyx32zZ1年 f1？？Yf2G(?2)??十YY十xyf112f2？？3f223g2g？yyxxx2.(10z?f(x,y)?x?yd：?y2?1422[solutionDfx2x0(0,0) 為駐點，且f(0,0)?0??f??2y?0?yd則有f(0,?1)??1,dx2f（？2,0）？四函數(shù)z?f(x,y)?x?yd4,1．V（10點）求微分方程y 22歲？？xex-x1p的通解？Xex，x[溶]不含y，所做y？？p、那你呢 P代入原始方程得到p？？通過使用通解公式得到通解p?x(ex?c1)，原始方程的通解為1y?(x?1)ex?c1x2?c2．二六.(12（?。┰嚧_定可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使在右半平面內(nèi)，y[2?f(x)]dx?xf(x)dyu(x,yf(1)?2；（ⅱ）求u(x,y)；【解】（?。﹑?y[2?f(x)]，q?xf(x)．四因為y[2?f(x)]dx?xf(x)dy是函數(shù)u(x,y)的全微分，所以有即QP十、yf（x）？xf？（x）?？2.f（x）故xf？（x）?？2f（x）？2.上述微分方程的通解為f(x)?1?所以c、按F（1）？2C？1，x21，x2f（x）？1.（二）在右半平面上?。▁0，Y0）？（1,0），然后11u(x,y)??p(x,0)dx??q(x,y)dy??0(x?)dy?y(x?)．10xxxyy七.(12分)求冪級數(shù)n（n？1）xn？1.n(?1,1)，令s（x）？？n（n？1）x？n（n？1）xnn？1n？1.N1S1（x），其中S1（x）？？n（n？1）xn？1.n?1??兩邊積分再整合x0s1(x)dxn(n?1)xn?10?xn?1dx??(n?1)xn ，N1.（？0xx0s1（x）dx）dx（ n？1）xdx？？xnn？10?N1n？1x2。？1.因此x22s1(x)?() ，1.X（1？X）3，s(x)?2x，x？(?1,1)．(1?x)3八.(12分計算積分i(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy? ，其?是拋物Zx2？Y2（0？Z？1），拆下側(cè)面5【解決方案】補充S0:z=1（x2+y21），取上側(cè)，?0?0xoydxy:x?y?1gauss我220 （y？z）dzdx？（x？2z）dxdy（ 0[(yz)(x2z)]dv(yz)dzdx(x2z)dxdyyz003dv(yz)dzdx?(x?2z)dxdy.0垂直于zoxzox0，(y?z)dzdx?0.0i？3.[2dxy1x？y2dz]dxdy dxy2?1(3?5x2?5y2)dxdy??d??(3?5r2)rdr?dxy00?.2IX（4）設(shè)置功能？（y）利用連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在原點附近的任意分段光滑簡單閉曲線l上得到曲線積分(y)dx?2xydy2x?y24l的值恒為同一常數(shù)．證明：對右半平面x?0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉合曲線C