混合傅里葉-小波頻域去噪算法研究

PAGEword文檔可自由復(fù)制編輯混合傅里葉-小波頻域去噪算法研究作者姓名專業(yè)指導(dǎo)教師姓名專業(yè)技術(shù)職務(wù)目錄摘要……………1第一章緒論…………………21.1課題研究背景和意義………………21.2發(fā)展現(xiàn)狀……………2第二章傅里葉變換…………32.1傅里葉變換的發(fā)展………………32.1.1傅里葉變換的提出…………32.1.2傅里葉變換意義…………………32.1.3傅里葉變換定義………………42.2傅里葉變換…………42.3傅里葉變換的應(yīng)用…………………5第三章小波變換理論基礎(chǔ)………53.1小波的產(chǎn)生…………53.1.1小波變換的背景及意義…………53.1.2小波發(fā)展簡(jiǎn)史……………………63.2小波變換理論………73.2.1從傅里葉變換到小波變換………73.2.2小波變換…………8第四章基于小波變換的圖像去噪………………104.1小波圖像去噪………104.2小波閾值去噪………114.2.1小波閾值去噪簡(jiǎn)述………………124.2.2小波閾值去噪方法………………第五章混合傅里葉-小波圖像去噪…………135.1傅里葉變換域小波變換的比較…………………5.2混合傅里葉-小波圖像去噪………5.2.1混合傅里葉-小波圖像去噪步驟………………5.2.2混合傅里葉-小波圖像去噪算法………………5.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果…………第六章設(shè)計(jì)總結(jié)及展望………參考文獻(xiàn)……………….摘要圖像去噪是圖像處理研究的一個(gè)重要話題。圖像在獲取和傳輸?shù)倪^(guò)程中經(jīng)常要受到噪聲的污染。噪聲對(duì)圖像質(zhì)量有著非常重要的影響。所以,必不可免的圖像去噪成為圖像分析和處理的重要技術(shù)。用傳統(tǒng)傅里葉變換對(duì)信號(hào)去噪的基本思想是對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換后使用低通或帶通濾波器濾除噪聲頻率，然后用逆傅里葉變換恢復(fù)信號(hào)。而小波閾值去噪方法是眾多圖象去噪方法中的佼佼者,它利用圖象的小波分解后,各個(gè)子帶圖象的不同特性,選取不同的閾值,從而達(dá)到較好的去噪效果。傅里葉變換能有效的表示圖像中的突變部分。小波變換能稀疏表示包含尖銳變化部分的信號(hào)，但缺點(diǎn)是不能有效表示圖像中的紋理和緩慢變化的部分。本文提出一種混合傅里葉小波圖像去噪的方法：先在傅里葉域去噪，再在小波域去噪。由于小波變換比傅里葉變換更合適處理圖像這樣的非平穩(wěn)信號(hào)，因此，在傅里葉域中的去噪要保守一些，起的是輔助作用，以免使圖像過(guò)分扭曲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種混合算法能夠取得比基于小波變換的圖像去噪法好的去噪效果。關(guān)鍵詞：圖像去噪小波變換傅里葉變換ABSTRACTImagedenoisingisanimportanttopicinthestudyofimageprocessing.Theimageisoftencorruptedbynoiseintheprocessofacquisitionandtransmission.Noisehasaveryimportantinfluenceontheimagequality.So,notwowaysaboutitthattheimagedenoisingisanimportanttechnologyinimageanalysisandprocessing.ThebasicideaofdenoisingthesignalusingthetraditionalFouriertransformisaFouriertransformofthenoisysignalusingalow-passorbandpassfiltertoremovethenoisefrequency,andthenusetheinverseFouriertransformsignal.Waveletthresholddenoisingmethodisoneofthemanyimagedenoisingleadermethod,whichusestheimageafterwaveletdecomposition,thedifferentfeaturesofsub-bandimages,selectadifferentthreshold,soastoachievebetterdenoisingeffect.Fouriertransformcaneffectivelyexpressmutationintheimage.Thewavelettransformcansignalsparserepresentationcontainssharpchanges,butthedrawbackisnoteffectiveimagerepresentationoftextureandtheslowlyvaryingpart..ThispaperpresentsamethodofwaveletimagedenoisingmixedFourier:gotothenoiseintheFourierdomain,thendenoisinginwaveletdomain.BecausethewavelettransformismoresuitablethantheFouriertransformimageprocessingnon-stationarysignals,suchas,intheFourierdomaindenoisingtobeconservative,theauxiliaryfunction,toavoidexcessivedistortedimage.Theexperimentalresultsshowthat,thehybridalgorithmcanobtaintheimagebasedonwavelettransformdenoisingmethodgoodde-noisingeffect.Keywords：Imagedenoising;wavelettransform;Fouriertransform第一章緒論1.1課題研究背景和意義圖像在工程技術(shù)領(lǐng)域中已經(jīng)成為最為重要的數(shù)據(jù)類型之一，并且與人們的關(guān)系越來(lái)越密切。通過(guò)傳感器獲得的圖像包含的信息量豐富，然而在實(shí)際的應(yīng)用中，系統(tǒng)獲取的原始圖像一般不是完美的，因?yàn)閳D像都有可能經(jīng)常受到環(huán)境、設(shè)備和人自身等客觀因素的影響，在攝取、傳輸、接收和處理的過(guò)程中不可避免地受到外部和內(nèi)部的干擾，特別是成像拍攝過(guò)程中由于成像設(shè)備自身或后期處理傳輸過(guò)程誤差的因素，各種隨機(jī)噪聲或是混合噪聲都會(huì)影響到圖像質(zhì)量。如果圖像的噪聲強(qiáng)度比較大的話，一方面會(huì)影響人們觀賞圖像時(shí)的視覺(jué)效果；另一方面，用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，噪聲還會(huì)影響圖像信號(hào)的后續(xù)處理結(jié)果。因此，為了滿足實(shí)際應(yīng)用的需要，有必要在圖像處理應(yīng)用前對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，這也是圖像處理技術(shù)所要研究的基本問(wèn)題之一。在利用圖像之前盡可能多地去除圖像噪聲、濾除干擾來(lái)恢復(fù)原始圖像是具有重要意義的。長(zhǎng)期以來(lái)，人們根據(jù)實(shí)際圖像的特點(diǎn)、噪聲的統(tǒng)計(jì)特性和頻譜分布的規(guī)律，發(fā)展了各種各樣的圖像去噪方法。傅里葉變換是將圖像從空間域變換到頻率域，然后在頻率域中利用有關(guān)濾波器對(duì)圖像進(jìn)行需要的處理。傅里葉變換能夠利用其時(shí)域和頻域方法解決許多圖像處理要求，傅里葉變換能有效的表示圖像中的突變部分,但它也有一定局限性，圖像中的許多重要特征如邊緣紋理都是局部性的，傅里葉變換的積分有可能平滑掉這些特征。而在傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的小波變換在圖像去噪方面具有顯著的優(yōu)越性，它具有時(shí)頻局部性，在頻率和位置上都是可變的，非常適合分析瞬態(tài)信號(hào)，當(dāng)它分析低頻信號(hào)時(shí)，可以降低時(shí)間分辨率來(lái)提高頻率分辨率，而在高頻部分時(shí)，可以在較高的時(shí)間分辨率下關(guān)注信號(hào)的瞬態(tài)特征，而降低頻率分辨率，這正好與自然界中低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，而高頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較短相吻合，小波變換能稀疏表示包含尖銳變化部分的信號(hào)，但缺點(diǎn)是不能有效表示圖像中的紋理和緩慢變化的部分。 由于在對(duì)圖像進(jìn)一步處理之前經(jīng)常要先對(duì)圖像進(jìn)行降噪處理，變換域降噪是一類最常用的圖像降噪方法，但變換域降噪要求圖像能在變換域中被稀疏表示。不同的變換方法對(duì)不同類型的圖像的表示效率是不一樣的。本文研究了一種綜合使用傅里葉變換和小波變換的降噪方法，達(dá)到比單獨(dú)使用小波變換的降噪方法好的降噪效果。1.2發(fā)展現(xiàn)狀噪聲的污染使圖像偏離了真實(shí)景況，極大影響了人們從圖像中提取信息，因此，非常有必要在利用圖像之前消除噪聲。圖像降噪是圖像處理鯉魚的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，已經(jīng)有數(shù)十年的研究歷史。總的來(lái)講，圖像的降噪技術(shù)可分為兩大類：空間域降噪和變換域降噪?？臻g域指圖像平面本身，這類方法直接對(duì)圖像的像素進(jìn)行處理。變換域降噪法是指將圖像進(jìn)行變換，再變換域中對(duì)圖像的變換域系數(shù)進(jìn)行處理，處理完后再進(jìn)行逆變換，過(guò)得降噪后的圖像。目前使用最多的變換方法是傅里葉變換和小波變換。傅里葉變換從整個(gè)時(shí)域(空域)上分析信號(hào)的頻譜信息，卻不能反應(yīng)信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)的特性，缺乏信號(hào)的局部化分析能力有效地表示圖像中的突變部分。小波分析在時(shí)間域和頻率域都具有良好的局部特性可以聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，小波分析恰好改變了這種局限性。為了獲取較好的降噪效果，提出了混合傅里葉-小波降噪方法?；旌细道锶~-小波降噪方法比傅里葉變換和小波變換降噪都要好的濾波效果，既能稀疏表示包含尖銳變化部分的信號(hào)，又可以有效表示圖像中的紋理和緩慢變化的部分。近年來(lái)，有的學(xué)者提出改進(jìn)型的混合傅里葉-小波圖像去噪方法，文獻(xiàn)[1]提出了基于局部高斯尺度混合統(tǒng)計(jì)模型的傅里葉一小波圖像降噪方法，該降噪方法綜合了兩者的優(yōu)點(diǎn)，考慮到噪聲小波系數(shù)間的相關(guān)性，小波系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性通過(guò)局部高斯尺度混合統(tǒng)計(jì)模型來(lái)刻畫。改進(jìn)后的去噪方法還有應(yīng)用小波系數(shù)GSM統(tǒng)計(jì)模型的混合傅里葉-小波圖像降噪方法[2]、基于上下文模型的混合傅里葉-小波圖像降噪方法[3]，更符合現(xiàn)實(shí)生活中的圖像處理。第二章傅里葉變換2.1傅里葉變換的發(fā)展2.1.1傅里葉變換的提出傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),由于Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在他此后生命的六年中，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為Fourier的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了Fourier的工作。幸運(yùn)的是，到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。但為什么要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才用正弦曲線來(lái)表示。由此傅里葉變換正式走向世界舞臺(tái)。2.1.2傅里葉變換意義傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具被提出的。傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在圖像應(yīng)用中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。2.1.3傅里葉變換定義f(t）是t的函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。則有下圖2-1-1式成立，稱為積分運(yùn)算f(t）的傅立葉變換，將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù)f（t）的積分形式。（2.1）（2.2）一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)[4]，而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transformpair）。除此之外，還有其它型式的變換對(duì)。此外，傅里葉變換屬于諧波分析。傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取。傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT））。2.2傅里葉變換此外在公式（2.1）和（2.2）中容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在時(shí)（頻）域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時(shí)）域的周期性.反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性.由傅氏變換的定義可知，時(shí)間信號(hào)f（t），在經(jīng)過(guò)傅氏變換后就失去了時(shí)間特性，F(xiàn)（jω）只具有頻率特性，并且其值由f（t）在整個(gè)時(shí)間段上的特性所決定，利用傅氏變換的這個(gè)特性可獲取信號(hào)的所有頻率。窗口傅氏變換（又稱短時(shí)傅里葉變換）可以克服傅氏分析不能同時(shí)作時(shí)頻分析的缺點(diǎn)，其主要思想是選取光滑函數(shù)g（t）與信號(hào)f（t）相乘后再進(jìn)行傅氏變換，通常選用能量集中在低頻處的實(shí)偶函數(shù)作窗函數(shù)，從而保證窗口傅氏變換在時(shí)域和頻域均有局域化功能，窗口傅氏變換的時(shí)域、頻域窗口的大小一旦選定就不會(huì)再改變，與頻率無(wú)關(guān)。由于窗口傅氏變換的窗口大小固定不變的特性，決定了它只能用于處理平穩(wěn)信號(hào)。用傅里葉變換對(duì)信號(hào)去噪的基本思想是對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換后使用低通或帶通濾波器濾除噪聲頻率，然后用逆傅里葉變換恢復(fù)信號(hào)，但是傅里葉變換很難將有用信號(hào)的高頻部分和由噪聲引起的高頻干擾有效地區(qū)分開。所以在信號(hào)去噪的實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于已知噪聲頻率的含噪信號(hào)通常采用傅里葉變換去噪，有針對(duì)性地選取濾波器即可很好地實(shí)現(xiàn)去噪效果。對(duì)于高頻噪聲和高頻信號(hào)相互混疊的含噪信號(hào)或者非平穩(wěn)信號(hào)的消噪，采用小波變換去噪會(huì)有很好的效果。2.3傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換是大家所熟悉的一種變換，又是一種令人感到陌生的變換。隨著信號(hào)從模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)，信號(hào)處理從模擬信號(hào)處理到數(shù)字信號(hào)處理，18世紀(jì)末和19世紀(jì)初誕生的傅里葉變換發(fā)生了巨大的變化。傅里葉變換的豐富和發(fā)展，極大地促進(jìn)了信息科學(xué)的豐富和發(fā)展。現(xiàn)代的信息科學(xué)和技術(shù)離不開傅里葉變換的理論和方法。傅里葉變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理、密碼學(xué)、海洋學(xué)、通訊、金融等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成振幅分量和頻率分量。傅立葉變換在圖像處理中非常的有用。因?yàn)椴粌H傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進(jìn)算法，比如離散余弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。傅立葉變換在圖像處理以下幾個(gè)話題都有重要作用：圖像增強(qiáng)與圖像去噪﹑圖像分割之邊緣檢測(cè)﹑圖像特征提取﹑圖像壓縮。第三章小波變換理論基礎(chǔ)3.1小波的產(chǎn)生3.1.1小波變換的背景及意義小波分析[5]是近年來(lái)在應(yīng)用數(shù)學(xué)及工程科學(xué)中迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)方法。小波分析在Fourier分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，并給許多領(lǐng)域提供了強(qiáng)有力的工具，帶來(lái)了新的思想，在科技界引起了高度的重視。小波分析既孕育著豐富的數(shù)學(xué)理論，又是工程應(yīng)用中強(qiáng)有力的工具。小波變換作為一種有效的時(shí)間(空間)/尺度分析方法,近年來(lái)受到廣泛的關(guān)注。其應(yīng)用己遍及信號(hào)和圖像分析處理的多個(gè)研究領(lǐng)域。它的發(fā)展極大地推動(dòng)了許多領(lǐng)域的發(fā)展，促進(jìn)了多學(xué)科相互滲透、相互結(jié)合。探討小波的新理論、新方法以及新應(yīng)用已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)界和工程界的一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。小波變換是時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法,對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長(zhǎng)是可調(diào)節(jié)的,這種自適應(yīng)性正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn),所以小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì),并且具有邊緣檢測(cè)的能力,因此利用小波變換去除圖像噪聲的同時(shí),可提取并保存對(duì)視覺(jué)起主要作用的邊緣信息。目前小波分析已經(jīng)被運(yùn)用到圖像處理的幾乎所有分支，如：圖像去噪、邊緣檢測(cè)、圖像壓縮、圖像分割等，同時(shí)，在模式識(shí)別、語(yǔ)音合成、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、數(shù)據(jù)壓縮等方面的研究也都取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果。由于小波變換的特點(diǎn)非常符合圖像去噪中保留圖像細(xì)節(jié)方面的要求，現(xiàn)在小波分析己經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。3.1.2小波發(fā)展簡(jiǎn)史[6]近幾年來(lái)，小波變換的數(shù)學(xué)理論和方法正在科學(xué)技術(shù)界引起了一場(chǎng)軒然大波。小波分析方法的起源可以追溯到上個(gè)世紀(jì)初——1910年Haar的工作。Haar提出了規(guī)范正交基的思想，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了一種緊支結(jié)構(gòu)的小波規(guī)范正交基——即Haar基。由于Haar基的不連續(xù)性，因而未能得到廣泛的應(yīng)用。Littlewood和Paley于1936年對(duì)Fourier級(jí)數(shù)建立了二進(jìn)制的頻率分量分組理論，并構(gòu)造了Littlewood-Paley基，為小波的發(fā)展奠定了一定的理論基礎(chǔ)。1975年，Calderon用他在早年發(fā)現(xiàn)的再生公式給出了拋物型空間上H的原子分解，它的離散形式已接近小波展開，但是如何由此來(lái)組成正交系的結(jié)論還是無(wú)法得到。1981年，法國(guó)地球物理學(xué)家Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)的Fourier變換難以分析地震波的局部性質(zhì)，于是引入了“小波”的概念對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。隨后，理論物理學(xué)家Grossman對(duì)Morlet給出的小波進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了小波按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性，為小波分析的形成開了先河。真正的小波熱開始于1986年，Mallat和Meryer提出了多分辨分析的理論框架，而且Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造了具有一定衰減性的光滑函數(shù)ψ，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成L2(R)的規(guī)范正交基，為小波基的構(gòu)造提出了有效的途徑，并打破了人們長(zhǎng)期以來(lái)所認(rèn)為的此類函數(shù)不可能存在的設(shè)想，因此激起了科學(xué)家們研究小波的極大熱情。在Meyer提出了小波變換之后，Lemarie和Battle又分別的給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。Mallat于1987年巧妙地將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函數(shù)的構(gòu)造及信號(hào)按小波變換的分解及重構(gòu)，成功地統(tǒng)一了由Meyer、Lemarie和Battle提出的具體小波函數(shù)的構(gòu)造，研究了小波變換的離散化形式，并將相應(yīng)的算法——Mallat算法有效應(yīng)用于信號(hào)的分解與重構(gòu)。與此同時(shí)，Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基，并把信號(hào)處理的概念與泛函分析理論聯(lián)系起來(lái)了，成為小波研究領(lǐng)域中的經(jīng)典文獻(xiàn)之一。這時(shí)，小波分析的系統(tǒng)理論就得到了初步的建立。Ameodo及Grasseau等人于1988年將小波變換應(yīng)用于混沌動(dòng)力學(xué)以及分形理論來(lái)研究湍流及分形生長(zhǎng)現(xiàn)象。1990年，崔錦泰和王建中構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)，并討論了具有局部化性質(zhì)的多尺度分析的生成函數(shù)及相應(yīng)的小波函數(shù)。同時(shí)，Beylkin、Coifman等將小波變換應(yīng)用于算子理論。1991年，Jaffard及Laurencot將小波變換應(yīng)用于求解偏微分方程數(shù)值解的問(wèn)題中，而Wickerhanser等進(jìn)一步深化了Mallat算法，從而得到了小波包算法。1992年，Donoho給出了插值小波和小波變換等。1993年，SteffenP.和HellerP.N.等人構(gòu)造了M-帶小波。1994年，基于r元的多分辨分析由Goodman等人提出，并建立小波的基本理論框架，給出樣條多小波的例子。1996年，UnserM.，ThérenazP.和AldroubiA.在樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一組平移正交小波基，使小波理論更加完善。小波分析經(jīng)過(guò)許多學(xué)科領(lǐng)域十多年的共同探討研究，已經(jīng)建立了重要的數(shù)學(xué)形式。理論基礎(chǔ)的堅(jiān)實(shí)使得應(yīng)用更為廣泛和深入；相反，這些應(yīng)用研究也大大的推動(dòng)了小波理論的不斷豐富和完善。3.2小波變換理論3.2.1從傅里葉變換到小波變換所謂小波分析，它是在窗口傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新的時(shí)頻分析方法，與傅里葉分析相比，有著本質(zhì)的區(qū)別及進(jìn)步。傅里葉變換是一種頻域分析方法，適合處理平穩(wěn)信號(hào)的去噪問(wèn)題,一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中最完美、應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準(zhǔn)確的(即頻域分辨率最高)，而在時(shí)域無(wú)任何定位性(或分辨能力)，也即傅里葉變換所反映的是整個(gè)信號(hào)全部時(shí)間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻域信息。相反，當(dāng)一個(gè)函數(shù)用函數(shù)展開時(shí)，它在時(shí)間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，而在頻域卻無(wú)任何定位性(或分辨能力)。也即其所反映的只是信號(hào)在全部頻率上的整體時(shí)域特征，而不能提供任何頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。對(duì)于一些常見時(shí)變信號(hào)的分析，通常需要提取某一時(shí)間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息，因此尋求一種介于傅里葉分析和分析之間的具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的基函數(shù)來(lái)分析時(shí)變信號(hào)一直是信號(hào)處理界及數(shù)學(xué)界人士長(zhǎng)期以來(lái)努力的目標(biāo)。為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)的頻域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor變換之后，又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)記為STFT，又稱為加窗傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換是對(duì)傳統(tǒng)的傅里葉變換的拓展，它的基本思路是給信號(hào)加一個(gè)小窗，也就是乘上一個(gè)限制時(shí)間段的函數(shù)g(t)，信號(hào)的傅里葉變換主要集中在對(duì)小窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行變換，而屏蔽了該小窗外的信號(hào)，因此可以反映出信號(hào)的局部特征。這在一定程度上解決了對(duì)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)分析的問(wèn)題。但由于STFT的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)，而保持固定不變，這對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)來(lái)說(shuō)是不利的。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間很短而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，因此我們希望對(duì)高頻信號(hào)采用小時(shí)窗分析，對(duì)低頻信號(hào)采用大時(shí)窗分析，這種變時(shí)窗的要求同STFT的固定時(shí)窗,窗不隨頻率而變化的特性是矛盾的.小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT的局部化思想而且克服了窗口大小不隨頻率變化缺乏離散正交基的缺點(diǎn)，是一種比較理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。1987年Mallat將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，統(tǒng)一了在此之前的所有具體正交小波基的構(gòu)造并且提出相應(yīng)的分解與重建快速算法.此后小波變換作為信號(hào)處理的一種手段逐漸被越來(lái)越多領(lǐng)域所重視和應(yīng)用，并在許多應(yīng)用中取得了非常顯著地效果，證明了小波分析作為一種調(diào)和分析方法具有十分巨大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景。與傅里葉變換相比較主要有以下不同：（1）傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)分解到以為正交基的空間上去；而小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號(hào)分解到由小波函數(shù)所構(gòu)成的空間上去。兩者的離散化形式都可以實(shí)現(xiàn)正交變換，都滿足時(shí)頻域的能量守恒定律。（2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有，或，具有唯一性；小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的實(shí)驗(yàn)，將不同的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析來(lái)選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時(shí)域中，傅里葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào)的傅里葉變換中看出的在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。因此，小波變換在對(duì)瞬態(tài)信號(hào)分析中擁有更大的優(yōu)勢(shì)。（4）在小波分析中，尺度的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中的值越小。（5）在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù)主要依賴于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，一旦時(shí)間窗函數(shù)確定，則分辨率也就確定了。而在小波變換中，變換系數(shù)雖然也是依賴于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度的變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析的能力。因此，小波變換也可以看成是信號(hào)局部奇異性分析的有效工具。（6）若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋，小波變換與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即:(為常數(shù))(3.1)也就是濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等Q結(jié)構(gòu)（Q為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且.有Q=中心頻率/帶寬）。我們希望在對(duì)低頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用高分辨率，在對(duì)高頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用低分辨率，該等Q結(jié)構(gòu)恰好符合該要求。（7）從框架角度來(lái)說(shuō)傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實(shí)現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。3.2.2小波變換小波可以簡(jiǎn)單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。小波ψ(t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)，“小”是指它的衰減性，“波”是指它的波動(dòng)性。它的傅里葉變換呈現(xiàn)為帶通濾波器的頻率特性，即小波在時(shí)域和頻域上的分析都是局部化的。分析小波是將ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移而得到的一族函數(shù)Ψ(a,b)(t)，它在時(shí)域和頻域上是局部化的。以Ψ(a,b)(t),為核函數(shù)的積分變換就是積分小波變換或稱連續(xù)小波變換。與窗口傅里葉變換不同的是，小波變換的時(shí)間-頻率窗不是固定不變的，而是可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來(lái)自適應(yīng)調(diào)整的。它是小波變換和窗口傅里葉變換的根本區(qū)別。也正是由于小波變換的這種局部化特點(diǎn)，決定了小波分析在實(shí)際應(yīng)用中的獨(dú)特地位。（1）連續(xù)小波變換[7]任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為：（3.2）可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù)。平移因子使得小波能夠沿信號(hào)的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過(guò)收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的逼近。如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的（3.3）（2）離散小波變換DWT[8]定義：對(duì)尺度參數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行均勻離散取值（要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）。（3.4）小波變換的核心是多分辨率分析(MRA),在時(shí)域和頻域都能夠表征信號(hào)局部特征的能力,使其在信號(hào)處理,特別是二維信號(hào)一維圖像處理中表現(xiàn)出下列優(yōu)點(diǎn):①小波變換的完善重建能力,保證了信號(hào)在分解過(guò)程中沒(méi)有任何信息損失﹑不產(chǎn)生冗余信息,即小波變換作為一組表示信號(hào)分解的基函數(shù)是唯一的;②小波變換把圖像分解成平滑圖像和細(xì)節(jié)圖像之和,它們分別代表了圖像的不同結(jié)構(gòu),因此原始圖像的結(jié)構(gòu)信息和細(xì)節(jié)信息很容易提取;③小波變換具有快速算法一Mallat算法,它在小波變換中的作用相當(dāng)于FFT在Fourier變換中的作用,這就更加促進(jìn)了小波變換的廣泛應(yīng)用;④二維小波分解,為圖像的分析提供了方向性選擇,這種方向性選擇非常適合于人眼的視覺(jué)系統(tǒng)特性。本文主要在了解小波變換的知識(shí)，在理解小波變換在圖像處理中的應(yīng)用,對(duì)以小波為工具在數(shù)字圖像處理方面進(jìn)行了有益的探索，主要研究小波閾值對(duì)圖像的去噪。第四章基于小波變換的圖像去噪4.1小波圖像去噪基于小波的信號(hào)去噪問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是一個(gè)函數(shù)逼近的問(wèn)題。實(shí)際上，基于小波的信號(hào)去噪就是為了尋找從含噪信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到真實(shí)信號(hào)的最佳恢復(fù)。小波變換在時(shí)頻域具有很好的局部性，其變尺度的特性使得小波變換對(duì)確定的信號(hào)具有一種“集中”的能力。含有噪聲的圖像經(jīng)過(guò)小變換后，圖像信號(hào)和噪聲信號(hào)表現(xiàn)出不同的特征：信號(hào)的能量主要集中在一些亮線上，而大部分系數(shù)的值逼近于0；噪聲的分布和信號(hào)的分布相反，它的系數(shù)均勻分布于整個(gè)尺度空間，幅度相差不大(在大尺度下會(huì)對(duì)噪聲起到一定的平滑作用)。這一特性為基于小波變換的圖像去噪提供了依據(jù)。小波去噪的實(shí)質(zhì)是尋找從實(shí)際信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，從而得到原信號(hào)的最佳恢復(fù)。從信號(hào)處理的角度看，小波圖像去噪問(wèn)題又是一個(gè)圖像信號(hào)濾波的問(wèn)題，因小波多尺度分析的特點(diǎn)，使得小波變換能夠準(zhǔn)確地區(qū)分出圖像信號(hào)的高頻部分和低頻部分。與其它常見的濾波方法相比，小波變換能夠方便、快捷地實(shí)現(xiàn)常見的幾種濾波，小波圖像去噪問(wèn)題雖然在很大程度上可以等效于低通濾波，但由于應(yīng)用小波變換的多分辨率的特性使得在去除圖像噪聲后還可以非常好地刻畫圖像信號(hào)的邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等非平穩(wěn)局部特征，所以在這一方面它比傳統(tǒng)的低通濾波器更具有優(yōu)越性?？梢缘贸?，小波圖像去噪其實(shí)更為復(fù)雜，它實(shí)際上是特征提取和低通濾波器的結(jié)合[15]，其等效框圖如圖4-2所示。特征信息特征信息重建圖像帶噪圖像特征值低通濾波圖4-1小波變換在圖像去噪方面上的應(yīng)用思路主要是采用將我們熟知的空間或時(shí)間域上的含噪圖像信號(hào)(數(shù)據(jù))經(jīng)過(guò)小波變換變換到小波域上，成為多層的小波系數(shù)，根據(jù)小波基的特性，分析小波系數(shù)特點(diǎn)，再結(jié)合常規(guī)的圖像去噪方法或提出更符合小波變換的新方法來(lái)處理小波系數(shù)，最后對(duì)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行反變換(逆變換)，得到去噪后的圖像。4.2小波閾值去噪4.2.1小波閾值去噪簡(jiǎn)述Donoho和Johnstone教授于1992年提出了小波閾值收縮去噪法[9]（WaveletShrinkage），這是一種統(tǒng)計(jì)優(yōu)化特性良好的去噪方法。小波變換特別是正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，原始圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，絕大部分能量在小波域中集中在少數(shù)低頻系數(shù)上，而極小部分能量分散在高頻小波系數(shù)上，分布于整個(gè)小波域內(nèi)，白噪聲在任何正交基上的交換仍然是白噪聲，并且有著相同的幅度。相對(duì)而言，信號(hào)的小波系數(shù)值必然大于那些能量分散且幅值較小的噪聲的小波系數(shù)值，所以選擇一個(gè)合適的閾值，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，把幅值比較大的小波系數(shù)保留，而使代表噪聲的幅值比較小的系數(shù)減少至零，就可以達(dá)到去除圖像噪聲而保留有用信號(hào)的目的。其主要思想是經(jīng)小波變換后圖像和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不同，其中圖像本身的小波系數(shù)具有較大幅值，主要集中在高頻，噪聲的小波系數(shù)幅值較小，并且存在于小波變換后的所有系數(shù)中。因此設(shè)置一個(gè)閾值門限，對(duì)占主要成分的大于該閾值的小波系數(shù)的有用信號(hào)進(jìn)行收縮、保留；小于該閾值的小波系數(shù)中噪聲為主要成分，應(yīng)該剔除，于是實(shí)現(xiàn)了去噪。通常認(rèn)為去噪時(shí)，一般不處理含有大量圖像能量的低通系數(shù)，只是就單個(gè)高通部分進(jìn)行處理。因此，要想完全去除噪聲不能只進(jìn)行一次閾值去噪，還需要對(duì)低頻部分進(jìn)行閾值去噪和小波分解，直到估計(jì)圖像與實(shí)際圖像的偏差值最小。但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來(lái)越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來(lái)說(shuō)，進(jìn)行3-4層小波分解和去噪就可以達(dá)到滿意的去噪效果。4.2.2小波閾值去噪方法閾值去噪法就是通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行小波變換，得到小波變換系數(shù)。因?yàn)樾盘?hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)包含有重要的信息，其數(shù)據(jù)較少，幅值變化較大，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的分布則恰好相反，通過(guò)設(shè)定特定的閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行取舍，就可以得到小波系數(shù)估計(jì)值，最后通過(guò)估計(jì)小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，就得到去噪后的圖像[23]。其算法的基本過(guò)程為：①對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行小波分解；②對(duì)變換后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)小波系數(shù)；③根據(jù)估計(jì)小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。在小波閾值圖像去噪中，選取的閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同的閾值估計(jì)方法，其中，常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)兩種[10]。硬閾值法，定義為（5.1）硬閾值法得到的小波系數(shù)的連續(xù)性較差，重構(gòu)信號(hào)可能出現(xiàn)突變或振蕩現(xiàn)象；如圖5-1（a）所示。另一種方法是軟閾值法，定義為：（5.2）軟閾值法的到的小波系數(shù)的連續(xù)性好，但當(dāng)小波系數(shù)較大時(shí)，得到的處理后的小波系數(shù)和實(shí)際的小波系數(shù)有一定的偏差，會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)結(jié)果的誤差。t-tt-tA-ttA （a）軟閾值 （b）硬閾值圖5-1所示分別為硬閾值和軟閾值處理函數(shù)示意圖。在小波閾值去噪中，閾值的選取很關(guān)鍵[11]。閾值較小，去噪后的圖像信號(hào)與輸入信號(hào)比較接近，但是殘留了較多噪聲。若閾值較大，則得到較多為零的小波系數(shù)。在小波域閾值降噪中，閾值的選取直接影響濾波效果。目前有大量的文獻(xiàn)提出了各種各樣確定閾值的方法。目前使用的閾值可以分成全局閾值和局部閾值兩類[12]。其中，選用小波全局閾值圖像去噪中的硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣信息等局部特征，但重構(gòu)的圖像信號(hào)會(huì)產(chǎn)生一些振鈴、偽Gibbs效應(yīng)等，都會(huì)引起圖像視覺(jué)上的失真，而選用軟閾值函數(shù)處理去噪圖像所得的圖像相對(duì)平滑得多，但在一定程度上會(huì)造成圖像邊緣模糊等失真現(xiàn)象。本文介紹全局閾值。全局閾值，其中，為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，M、N為圖像的尺度。這是斯坦福大學(xué)的Donoho和Johnstone教授提出的，在正態(tài)高斯噪聲模型下，針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)的研究得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號(hào)的概率趨于零。這個(gè)閾值由于和信號(hào)的尺寸對(duì)數(shù)的平方根成正比，所以當(dāng)N較大時(shí)，閾值趨向于將所有的小波系數(shù)置零，此時(shí)小波濾波器退化為低通濾波器。這種閾值計(jì)算簡(jiǎn)單，因此得到了廣泛的應(yīng)用。第五章混合傅里葉-小波圖像去噪5.1傅里葉變換域小波變換的比較傅里葉變換能有效地稀疏表示圖像中有一定變化周期規(guī)律的、平滑的紋理部分，但是不能有效地表示圖像中的突變部分，如圖像中的邊緣。小波變換能稀疏表示包含尖銳變化部分的信號(hào)，但缺點(diǎn)是不恩能夠有效地表示圖像中的紋理和緩慢變化的部分。5.2混合傅里葉-小波圖像去噪5.2.1混合傅里葉-小波圖像去噪步驟 圖像去噪的過(guò)程中，不可避免地藥扭曲原始圖像。實(shí)際上，圖像去噪就是在抑制噪聲和保留原始圖像之間做權(quán)衡。由于圖像的非平穩(wěn)性，總的來(lái)講，小波變換比傅里葉變換更適合圖像去噪。因此，在混合傅里葉-小波去噪算法中，小波變換起主導(dǎo)作用，傅里葉變換起的是輔助作用?；旌细道锶~-小波圖像去噪方法的主要步驟如下：在傅里葉域保守去噪，以便使噪聲的水平降低而又不過(guò)分扭曲圖像。在小波域中用閾值法去除剩余的噪聲。5.2.2混合傅里葉-小波圖像去噪算法 考慮有這樣的一個(gè)含有噪聲的圖像y （5.1）其中，x是原始圖像，n是零均值的高斯白噪聲，其方差為。 在傅里葉域中用巴特