講義例題微積分

1：函數(shù)fxlnxln(1x)的定義域A.1, B.0, C.1, 1例1：函數(shù)f(x) 有界

奇函

偶函 D.周期函22fx)在A.yf( B.yx3f(x4 C.yf( D.yf(x)f(3極限的四則運算法則limf(x)0limf(x)1：lim(2x2：lim1121 x x x2 3

x2

x2x22x

x24x2x5

x23x24x6

x32x7

x24xx5x x1：討論函數(shù)fxx

x0在x0x62

1x

x17

2e4

sinxx0 e 8例4：利 準則證明limsinx 9例5：利 準則證明limsinx 例6：計算極限lim

n2 n2n例7：計算極限lim

n

n n2n

n2nn例1：limx 2

x222：lim(13x)sin13：lim(cosx)ln(1x2

2，則常數(shù)C xxC例1：limxsinx 例2：limxsin1 例3：limx2sin1 例4：limxsin11sinx x0

1：當x0fxexx1是關(guān)于gxx2高階無窮 B.低階無窮 C同階無窮 D.等價無窮2fx

1cos

sint2dtgx) ，則當x0時，fx)是g 的高階無窮 B.低階無窮 C同階無窮 D.等價無窮3x0(1cosxln(1x2xsinxn高階的無窮小量，而2xsinxn是比ex

1高階的無窮小量 例4：當x0時，試確定x310x2是x 階無窮小量例5：當x0時，試確定5tanx是x 階無窮小量6：當x0

sin3ln(1

是x 階無窮小量xx1xx7：當x0時，下列無xx1xx

1e

D.18：limxln(1 例9：limx 2

x23131

eecos11：lim1lnsinx0

x12sinxln(12sin1例13：當x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a 14：當x0fx)xsinax與gx)x2ln(1bx)則a ，b x x例1：函數(shù)f(x)

在x0 x1etan x x2例2：設(shè)函數(shù)f(x) 在x0處連續(xù)，則a 2 x x3fx x

在x0處連續(xù)，則a sin2xe2ax1 x例4：若函數(shù)f(x)

x

在,上連續(xù)，則a 例1：下面哪個函數(shù)在其定義域內(nèi)f(x)x1,xx1,x

f(x)2x1,xx2 xx2x

1,xf(x)

x2

f(x)

1,x2x0fxxsin1x可去間斷 B.跳躍間斷

C第二間斷 D.連續(xù)3fx

11e

，則x0fx)A.可去間斷 B.跳躍間斷 C.無窮間斷 D.連續(xù)4fx

(x1)sinx(x2

5fx)

的間斷點并判斷其類sin6：求函數(shù)fx

x(x21)sinx

的間斷點并判斷其類eaxx2ax7fx

xarctan

xx0，問常數(shù)a為何值時eaxsin2

xx0fx)的連續(xù)x0fx)的可去間斷點x0fx)的跳躍間斷點1已知yyx)在任意點處的增量y

1

x0

C.e

D.e2fx)在x0①limf(

h)f(x0 ②limf(x0h)f(x0 例3：設(shè)f(x)x(x1)(x2)(xn),nN，則f'(0) 1f(x)4fx)在x0f(00limx0f(0)例5假設(shè)fx)x0處可導(dǎo)f(00計算極限x2fx2fx3) x3f(x)在某點處1：試判定下列函數(shù)在x0sinx,x①f(x)ln(1x),x②f(x)

,x11e1

x可導(dǎo)必連續(xù)未必例1：試判定函數(shù)y x在x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性1cosx xx2fx)x x

，其中g(shù)x)是有界函fx)在x處極限不

極限存在但不

連續(xù)但不可 x3fxabcos x

在x0處的可導(dǎo)，求ab 導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線例1fx為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件

f(1)f(1

1，則曲線yfx)在點1f(1)

2

C. D.2例2yfxxy2lnxy4所確定，則曲線yfx(1,1,)處的切線方程 x1t3：曲線yt

在t2處的切線方程 xetsin4：曲線

在(0,1)處的法線方程 yetcos例5：曲線yx2與曲線yalnx(a0)相切，則常數(shù)a 例1：計算下列函數(shù)的一階①f(x)arctan1x1x1②f(x)ln(1例2：已知函數(shù)f(x)xx，則f'(x) 例3：設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)e1g(x),h'(1)1,g'(1)2，則g(1) 4fx)在x2fxefxf(21f"'(2) 例1已知xg(y),yf(D)是嚴格單調(diào)且可導(dǎo)函數(shù)y f(x),xD的反數(shù)，f(1)2,f'(1)3，則g'(2) 31：設(shè)函數(shù)yyx)由方程y

y1所確定的，求d2

|x01：設(shè)函數(shù)yyx)由參數(shù)

xtln(1t所確定，則d2y yt

t

xt22：設(shè)函數(shù)yyx)由參數(shù)方程

所確定，

yt

f(x) x例1：設(shè)函數(shù)g(x)

fx具有二階連續(xù)f(00

x①求常數(shù)a，使得gx)在x0處連②求gx)ex2fx)

x

，證明fx)在x0點處連續(xù)