數學同步練習題考試題試卷教案全國高中數學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準

2021全國高中數學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準〔A卷〕說明：1．評閱試卷時，請依據本評分標準．選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1．函數在上的最小值是〔C〕A．0B．1C．2D．[解]當時，，因此，當且僅當時上式取等號．而此方程有解，因此在上的最小值為2．2．設，，假設，那么實數的取值范圍為〔D〕A．B．C．D．[解]因有兩個實根，，故等價于且，即且，解之得．3．甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，那么比賽停止時已打局數的期望為〔B〕A.B.C.D.[解法一]依題意知，的所有可能值為2，4，6.設每兩局比賽為一輪，那么該輪結束時比賽停止的概率為．假設該輪結束時比賽還將繼續(xù)，那么甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有，，，故．[解法二]依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，那么表示乙在第局比賽中獲勝．由獨立性與互不相容性得，，，故．4．假設三個棱長均為整數〔單位：cm〕的正方體的外表積之和為564cm2，那么這三個正方體的體積之和為〔AA.764cm3或586cm3B.C.586cm3或564cm3D.[解]設這三個正方體的棱長分別為，那么有，，不妨設，從而，．故．只能取9，8，7，6．假設，那么，易知，，得一組解．假設，那么，．但，，從而或5．假設，那么無解，假設，那么無解．此時無解．假設，那么，有唯一解，．假設，那么，此時，．故，但，故，此時無解．綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm3．5．方程組的有理數解的個數為〔B〕A.1B.2C.3D.4[解]假設，那么解得或假設，那么由得．①由得．②將②代入得．③由①得，代入③化簡得.易知無有理數根，故，由①得，由②得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數解或6．設的內角所對的邊成等比數列，那么的取值范圍是〔C〕A.B.C.D.[解]設的公比為，那么，而．因此，只需求的取值范圍．因成等比數列，最大邊只能是或，因此要構成三角形的三邊，必需且只需且．即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是．二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7．設，其中為實數，，，，假設，那么5.[解]由題意知，由得，，因此，，．8．設的最小值為，那么．[解]，(1)時，當時取最小值；(2)時，當時取最小值1；(3)時，當時取最小值．又或時，的最小值不能為，故，解得，(舍去)．9．將24個志愿者名額分配給3個學校，那么每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有222種．[解法一]用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用表示名額．如表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額．假設把每個“〞與每個“〞都視為一個位置，由于左右兩端必須是“｜〞，故不同的分配方法相當于個位置〔兩端不在內〕被2個“｜〞占領的一種“占位法〞．“每校至少有一個名額的分法〞相當于在24個“〞之間的23個空隙中選出2個空隙插入“｜〞，故有種．又在“每校至少有一個名額的分法〞中“至少有兩個學校的名額數相同〞的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．[解法二]設分配給3個學校的名額數分別為，那么每校至少有一個名額的分法數為不定方程．的正整數解的個數，即方程的非負整數解的個數，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：．又在“每校至少有一個名額的分法〞中“至少有兩個學校的名額數相同〞的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．10．設數列的前項和滿足：，，那么通項=．[解]，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．11．設是定義在上的函數，假設，且對任意，滿足，，那么=．[解法一]由題設條件知，因此有，故．[解法二]令，那么，，即，故，得是周期為2的周期函數，所以．12．一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體容器內可向各個方向自由運動，那么該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是．[解]如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點，那么小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．因答12圖1答12圖1，故，從而．記此時小球與面的切點為，連接，那么．考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2．記正四面體的棱長為，過作于．答12圖2因，有，故小三角形的邊長．答12圖2小球與面不能接觸到的局部的面積為〔如答12圖2中陰影局部〕．又，，所以．由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為．三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13．函數的圖像與直線有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證：答13圖．答13圖[證]的圖象與直線的三個交點如答13圖所示，且在內相切，其切點為，．…5分由于，，所以，即．…10分因此…15分．…20分14．解不等式．[解法一]由，且在上為增函數，故原不等式等價于．即．…5分分組分解，，…10分所以，．…15分所以，即或．故原不等式解集為．…20分[解法二]由，且在上為增函數，故原不等式等價于．…5分即，，…10分令，那么不等式為，顯然在上為增函數，由此上面不等式等價于，…15分即，解得(舍去)，故原不等式解集為．…20分答15圖15．如題15圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內切于，求面積的最小值．答15圖[解]設，不妨設．直線的方程:，化簡得．又圓心到的距離為1，，…