高考新題型(一)　多項選擇題

高考數(shù)學(xué)新題型貫徹高考內(nèi)容改革的指導(dǎo)思想,以高考評價體系和新高考的學(xué)科評價框架為依據(jù),考查必備知識、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng),能有效地增加區(qū)分度,得到中學(xué)教師和學(xué)生的認可.從近兩三年的高考數(shù)學(xué)試題來看,數(shù)學(xué)卷題型已經(jīng)發(fā)生了較大變化.在高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了以下四種新題型:1.多項選擇題;2.雙空填空題;3.結(jié)構(gòu)不良題;4.情境應(yīng)用題.高考新題型(一)多項選擇題多項選擇題是選擇題的一種,它具有備選答案不唯一,存在多個正確選項的特點,每道多選題的正確選項最多選4個,最少選2個.新高考改革下的高考數(shù)學(xué)的多項選擇題,采取的評分標(biāo)準(zhǔn)是:選項全對得滿分(5分),少選(漏選)得2分,錯選、多選和不選得0分.這樣就提高了單憑“猜測”得該題滿分的難度,增加了得滿分的思維含量.[解題策略]1.在多項選擇題中,如果存在一對內(nèi)容互相對立的選項,而其他兩項不存在內(nèi)容對立的情況,那么在此對立兩項中至少有一個正確項;若存在兩對內(nèi)容互相對立的選項,則應(yīng)該從兩對對立項中分別選擇一個選項作為正確選項.例如,A,B,C,D四個待選項中,A,B互相對立,C,D互相對立,則兩個正確選項往往需從A,B組以及C,D組中分別擇一產(chǎn)生.當(dāng)然,該規(guī)則也存在例外情況.2.在多項選擇題中,如果存在兩對內(nèi)容相近或類似的選項,而且這兩對選項之間內(nèi)容對立,則其中一對相近或類似選項應(yīng)該為正確選項.例如,A,B,C,D四個待選項中,A,B兩項內(nèi)容相近、類似,C,D兩項內(nèi)容相近、類似,而A,B組與C,D組內(nèi)容對立.如果判斷A項正確,那么A,B組應(yīng)該都正確;如果判斷C項正確,那么C,D組應(yīng)該都正確.3.在多項選擇題中,如果兩個或兩個以上的選項之間存在承接關(guān)系或遞進關(guān)系,即數(shù)個選項能同時成立,則往往這幾個選項應(yīng)一起被選擇.例如在A,B,C,D四個待選項中,A,B,C三個選項間存在承接、遞進關(guān)系,能同時成立,若A正確,則A,B,C都應(yīng)該為正確選項.4.做多項選擇題時,謹(jǐn)慎選擇的意識要更加明確.一般首先選出最有把握的2個選項,同時,在有足夠把握確定還有其他正確答案時才繼續(xù)選擇,否則不選,以免選出錯誤選項.這樣,才能保證該題目得分.因此,要堅持寧缺勿濫,這一點與單項選擇題不同.5.解答多項選擇題過程中,有時可以綜合使用多種方法來完成一個題目,以確認選項的正確性.[方法例析]1.直接法直接從題設(shè)條件出發(fā),運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識,通過嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運算,從而得出正確的結(jié)論,然后對照題目所給出的選項“對號入座”,作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.典例1已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π,且f(x)≤f(π8),則下列說法正確的有()A.f(x)的一個零點為-πB.f(x-π8C.f(x)在區(qū)間(3π8,7πD.f(x)的圖象的一條對稱軸為x=-3π[思路分析]利用周期公式可求ω,由f(x)≤f(π8)恒成立,結(jié)合的取值范圍,可求,求得函數(shù)的解析式,分析比較各個選項即可得答案.解析:由函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π,得2πω=π,得ω=2,又f(x)≤f(πf(x)max=f(π8即2×π8+=π2+2kπ(k∈Z),得=π4故f(x)=sin(2x+π4+2kπ)=sin(2x+π4),因為f(-π8)=sin[2×(-π8又f(x-π8)=sin[2×(x-π8)+π當(dāng)x∈(3π8,7π8)時,2x+π4∈(π,2π),所以f(x)在區(qū)間(3π由f(-3π8)=sin[2×(-3π8)+π4]2.特殊化法從題干(或選項)出發(fā),通過選取符合條件的特殊情況(特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等)代入,將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置,再進行判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略.典例2如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點,則滿足MN⊥OP的是()[思路分析]根據(jù)線面垂直的判定定理可得選項B,C的正誤,平移直線MN構(gòu)造所需考慮的線線角后可判斷選項A,D的正誤.解析:設(shè)正方體的棱長為2.對于A,如圖(1)所示,連接AC,由正方體ABCD-MTNS得MN∥AC,故∠POC(或其補角)即為直線OP,MN所成的角,在Rt△OPC中,OC=2,CP=1,故tan∠POC=12=2對于B,如圖(2)所示,取NT的中點Q,連接PQ,OQ,則OQ⊥NT,PQ⊥MN,由正方體SBCM-NADT可得SN⊥平面NADT,而OQ?平面NADT,故SN⊥OQ,而SN∩NT=N,SN,NT?平面SNTM,故OQ⊥平面SNTM,又MN?平面SNTM,所以O(shè)Q⊥MN,而OQ∩PQ=Q,OQ,PQ?平面OPQ,所以MN⊥平面OPQ,而OP?平面OPQ,故MN⊥OP,故B正確;對于C,如圖(3)所示,連接BD,由正方體BMSA-CTND得BD∥MN,由B的判斷方法可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正確;對于D,如圖(4)所示,取AD的中點Q,AB的中點K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,由正方體DCMS-ABTN得AC∥MN,因為DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO(或其補角)為異面直線OP,MN所成的角,因為正方體的棱長為2,故PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQOP=PK2+OK2=4+1=5,OQ2故OP,MN不垂直,故D錯誤.故選BC.3.排除法排除法(淘汰法)是充分利用選項中存在對立選項的特征,通過分析、推理、計算、判斷,肯定正確選項,排除不符合要求的選項,從而得出正確結(jié)論.典例3(2022·廣東模擬預(yù)測)已知甲盒中有1個白球和2個黑球,乙盒中有2個白球和3個黑球,從乙盒中隨機抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中.放入i個球后,甲盒中含有黑球的個數(shù)記為xi(i=1,2),現(xiàn)從甲盒中取1個球是黑球的概率記為Pi(i=1,2),則()A.P1<P2 B.P1>P2C.E(x2)<E(x1) D.E(x2)>E(x1)[思路分析]根據(jù)i=1,i=2分類討論,再計算出概率,可判斷選項A,B,計算隨機變量x1,x2的分布列后再求數(shù)學(xué)期望,可判斷選項C,D.解析:當(dāng)i=1時,P1=C21C51·C21當(dāng)i=2時,P2=C22C52·C21C51+所以P1>P2,故B正確,A不正確;隨機變量x1,x2的分布列如表.x123PCCx2234PCCC所以E(x1)=2×C21C51+3×C31C51=135,E(x2)=2×C22故選BD.4.數(shù)形結(jié)合法有些題目可通過命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義,作出函數(shù)的圖象或幾何圖形,借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)等,綜合圖象的特征,得出結(jié)論.典例4已知n<m,函數(shù)f(x)=logA.當(dāng)n=0時,m∈(12,2B.當(dāng)n∈[0,12C.當(dāng)n∈[0,12D.當(dāng)n=12時,m∈(12[思路分析]先對分段函數(shù)去絕對值討論單調(diào)性,作出y=log12(1-x)(x≥-1)和y=22-|x-1|-3(x≥-1)的圖象,當(dāng)n=0時,由圖可得m的取值范圍,可判斷A;當(dāng)n∈[0,12)時,先求出y=log12(1-x),-1≤x≤n的值域,進而可判斷當(dāng)x∈(n,m]時,f(x)=1必有解,即可得m的取值范圍,可判斷B,C;當(dāng)n=12時,先計算f(x)=log12解析:當(dāng)x>1時,x-1>0,此時y=22-|x-1|-3=22-x+1-3=23-x-3單調(diào)遞減,當(dāng)-1<x<1時,x-1<0,此時y=22-|x-1|-3=22+x-1-3=21+x-3單調(diào)遞增,所以y=22-|x-1|-3在(-1,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=1時,y=22-|x-1|-3取得最大值,為22-3=1.作出y=log12(1-x)與y=2當(dāng)n=0時,f(x)=log當(dāng)n∈[0,12),x∈[-1,n]時,1-x∈[1-n,2],此時f(x)=log12(1-x)∈[-1,log此時-1≤f(x)≤log12(1-n)<1,因為f(x)的值域為[-1,1],則x∈(n,m]時,f(x)=1必有解,即2解得x=1,由圖知m∈[1,2],故B錯誤,C正確;當(dāng)n=12時,f(x)=log12(1-x)在[-1,12]上單調(diào)遞增,此時f(x)的最小值為f(-1)=log122=-1,f(x)的最大值為f(12)=log5.概念辨析法概念辨析法是從題設(shè)條件出發(fā),通過對數(shù)學(xué)概念的辨析,進行少量運算或推理,直接選出正確結(jié)論的方法.這類題目一般是給出一個創(chuàng)新定義,或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性質(zhì),需要考生在平時注意辨析有關(guān)概念,準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延,同時在審題時多加小心.典例5信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,n,其中n∈N*,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npA.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1nD.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)[思路分析]對于A選項,求得H(X),由此判斷A選項;對于B選項,利用特殊值法進行排除;對于C選項,計算出H(X),利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷C選項;對于D選項,計算出H(X),H(Y),利用不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D選項.解析:對于A,若n=1,則i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正確;對于B,若n=2,則i=1,2,p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],當(dāng)p1=14時,H(X)=-(14×log214+34×當(dāng)p1=34時,H(X)=-(34×log234+14×對于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)=-(1n·log21n)×n=-log21則H(X)隨著n的增大而增大,所以C正確;對于D,若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12mpi·log21pi=p1·log21p1+p2·log21pH(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log2由于pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D錯誤.故選AC.6.構(gòu)造法構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運用各種知識和方法,依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論中的信息,把問題進行適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?構(gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式,揭示問題的本質(zhì),從而構(gòu)成解題思路的方法.常見的有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造(割補)圖形等.典例6(2022·湖南雅禮中學(xué)二模)下列不等式正確的有()A.1019010091>3125C.e2-e>[思路分析]利用二項式定理近似計算判斷A;若542<653,兩邊取對數(shù)作等價變形,構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)比較判斷B;若e2解析:由1019010090=(1+0.01)90=1+C901×0.01+C902×0.012+C903×0.013+…+C9090×0.0190>1+C90則有1019010091假定542<653,有542<653?2×ln54<3×ln65?2×ln令f(x)=lnx-2(則f(x)>f(1)=0,即當(dāng)x>1時,lnx>2(x-1)x+1,ln65>211,(3-2)×ln令g(x)=lnx-x-則g(x)<g(1)=0,即當(dāng)x>1時,lnx<x-1x,ln2524<1106,2211×(3-2)>1103?60-206>11?因為49>492-1=50×48則2×ln2524<(3-2)×ln6所以542