三年 (2020-2022 ) 高考真題匯編 專題04導數(shù)及其應用（解答題）（文科專用）

專題04導數(shù)及其應用（解答題）（文科專用）【2022年全國甲卷】1．已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【解析】【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.【2022年全國乙卷】2．已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.（1）當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.【2021年甲卷文科】3．設函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉化中注意等價轉化.【2021年乙卷文科】4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調(diào)遞增，當時，的解為：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；綜上可得：當時，在R上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.【2020年新課標1卷文科】5．已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，分別令導數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結果.【詳解】（1）當時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，而時，，當時，，所以當有兩個解時，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【點睛】本題考查的是有關應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結合，將問題轉化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結合圖形求得結果.【2020年新課標2卷文科】6．已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間【解析】【分析】（1）[方法三]不等式轉化為，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進而進行求解即可；（2）對函數(shù)求導，把導函數(shù)的分子構成一個新函數(shù)，再求導得到，根據(jù)的正負，判斷的單調(diào)性，進而確定的正負性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：等價于．設，則．當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故，所以，即，所以c的取值范圍是．[方法二]：切線放縮若，即，即當時恒成立，而在點處的切線為，從而有，當時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．[方法三]：利用最值求取值范圍函數(shù)的定義域為：，設，則有，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；所以c的取值范圍為．（2）且因此，設，則有，當時，，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當時，，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.【整體點評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想，同時是的導數(shù)的工具也得到了充分利用；方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結合的思想應用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎.方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想.【2020年新課標3卷文科】7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】【分析】（1），對分和兩種情況討論即可；（2）有三個零點，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可.【詳解】（1）由題，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，