對固定效應(yīng)變面板變系數(shù)的直接半?yún)⒐烙?jì)

對固定效應(yīng)變面板變系數(shù)的直接半?yún)⒐烙?jì)摘要在這篇論文中，我們介紹了一個用于面板模型中個體效應(yīng)與解釋變量之間存在著未知形式相關(guān)性情況下變系數(shù)估計(jì)的新方法。這個回歸方法使用一個基于一階差分后的局部回歸對未知系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。為了避免無法忽視的漸近有偏性，我們需要引入一個更高維度的內(nèi)核權(quán)重。這是我們能夠以擴(kuò)大變量規(guī)模，導(dǎo)致一個較低的收斂概率為代價去除有偏性。為了克服這個問題，我們采用了單步更新算法，這能夠使得回歸結(jié)果能夠達(dá)到一個較高的收斂概率，同時也體現(xiàn)了所謂的oracle效率特征。我們還得到了漸近分布。由于回歸過程是建立在對于窗寬矩陣（指除一定寬度對角線以外的元素全為0的矩陣？具體查閱非參估計(jì)）的選擇上，我們還提供了一個計(jì)算計(jì)算這個矩陣的實(shí)證方法。蒙特卡洛模擬結(jié)果顯示這個回歸方法在有限樣本情況下十分有效。一、緒論本篇論文關(guān)注于對面板模型變系數(shù)的估計(jì)。這種回歸方法由一個線性回歸模型組成，并基于理論，回歸系數(shù)受到外生變量影響，從而被假定為變系數(shù)。例如，在所謂的教育回報(bào)問題中，針對教育水平對工資水平的影響彈性的估計(jì)問題，通過理論研究指出教育的邊際回報(bào)可能會隨著工作經(jīng)驗(yàn)的不同而改變，詳情可參閱Schultz（2003）。因此，在一定的教育水平條件下，工資-教育彈性可能就會隨著工作經(jīng)驗(yàn)的不同而發(fā)生變化。在本文的實(shí)證研究中，針對可能存在的變系數(shù)函數(shù)形式誤設(shè)問題，我們采用了非參數(shù)估計(jì)技術(shù)加以解決。但在大多數(shù)情況下，對于系數(shù)方程形式的估計(jì)是通過標(biāo)準(zhǔn)化手段得到的，例如樣條平滑、序列估計(jì)或者局部多項(xiàng)式回歸估計(jì)，詳情可參閱SuandUllah（2011）。盡管在絕大多數(shù)情況中，直接運(yùn)用一個已有的技術(shù)就能夠得到一個正確的推斷結(jié)果，然而沒有多少注意力被放在這些估計(jì)過程在非標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定下的漸近特征也是事實(shí)。不幸的是，這些設(shè)定與面板數(shù)據(jù)模型的實(shí)證分析息息相關(guān)。這里有一個非常清晰的例子，在一個經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型中，存在著一些無法觀測的解釋變量，這些變量雖然不隨著時間變化，但是能夠在統(tǒng)計(jì)角度上與模型中一些其他的解釋變量存在著相關(guān)性（固定效應(yīng)）。固定效應(yīng)模型中存在的與一些解釋變量相關(guān)的未知形式的組間異質(zhì)性不是一個能夠簡單解決的問題。實(shí)際上，在這樣的異質(zhì)性問題下進(jìn)行估計(jì)的計(jì)量方法都面臨著所謂的附帶參數(shù)問題（固定效應(yīng)的可變截距項(xiàng)就是附帶參數(shù)，會造成最大似然估計(jì)結(jié)果非一致性），詳情可參閱NeymanandScott（1948）。為了能夠得到這類模型中系數(shù)的一致估計(jì)量，一個可行的解決方法就是講模型轉(zhuǎn)換成一個不含有未知形式異質(zhì)性的模型。具體而言，可以通過構(gòu)建一個異質(zhì)性變量μit與d維解釋變量Xit、q維解釋變量Zit的協(xié)同變量有關(guān)（與其中之一或者兩個變量同時相關(guān)）的線性面板模型來解決這一問題。Y其中，函數(shù)mz未知且需要估計(jì)，vit為隨機(jī)干擾項(xiàng)。顯然，任何試圖使用標(biāo)準(zhǔn)非參數(shù)估計(jì)方法對m?進(jìn)行直接估計(jì)都會得到基準(zhǔn)曲線的非一致性估計(jì)量。造成這一結(jié)果的原因在于EμiXit=x,Zit=z≠0。解決這類問題有一個標(biāo)準(zhǔn)的方法，就是將μi通過一系列轉(zhuǎn)換從式（1.1）中?到目前為止，對于m?的直接非參估計(jì)都比較麻煩，具體可參閱SuandUllah（2011）。其原因在于，對于每一組別（i），式（1.2）的條件期望值E?YitXit,Xit-1在一些特殊的情況下，本文也給出了相關(guān)問題的一致性估計(jì)方法。對于無約束模型形式XitTmZit=mXit?這對這種情形，Hendersonetal.（2008）基于輪廓似然逼近方法提出了一個迭代過程算法，Mammen等（2009）提出了通過一個平滑的后向擬合（Backfitting）算法以得到包含了時間與個體效應(yīng)的可加面板模型非參數(shù)一致估計(jì)。更進(jìn)一步，若Xit'mZit≡gZit+Xit?QianandWang（2012）對可加部分采用了基于一階差分的邊際積分非參估計(jì)，即GZ本文中我們所介紹的估計(jì)方法主要是將現(xiàn)有的估計(jì)結(jié)果推廣至更為廣義的變系數(shù)模型，在如式（1.1）所示的N→∞但T保持不變的O型框架下進(jìn)行研究。我們的方法是基于對可加函數(shù)Xit'mZit-Xit-1'mZit-1的局部近似實(shí)現(xiàn)的。這個思想由Yang（為了能夠在這種情況下保持標(biāo)準(zhǔn)的收斂率（即在不影響對有偏性約束的情況下降低估計(jì)方差），我們使用FanandZhang（1999）所提出的方法。其核心思想在于通過進(jìn)一步的平滑處理降低方差，而且偏差余項(xiàng)不會因?yàn)槿魏纹交幚矶档?。將這種思想運(yùn)用到我們的估計(jì)問題中，提出一個單步后向擬合算法。由于采用可加模型，那么我們的方法能夠得到一個有效估計(jì)結(jié)果。這意味著，任意一組的估計(jì)結(jié)果的協(xié)方差矩陣是漸近一致的，也就是說我們能夠推斷出其他組別的協(xié)方差矩陣。最后，我們還介紹了一個用來選擇窗寬系數(shù)（bandwidthparameter非參估計(jì)內(nèi)容，需補(bǔ)課）的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法。如前文所述，可以使用一些變換過程來去除面板模型中的異質(zhì)性。據(jù)我們所知，對于模型（1.1），Sun等（2009）已經(jīng)提出了一個通過所謂的虛擬變量最小二乘逼近方法得到m?的估計(jì)量。他們通過如式（1.3）的替代形式對mY其中，當(dāng)i=j時dij=1，否則為0?；谶@個模型，他們推導(dǎo)出一個包含了局部線性回歸逼近的最小二乘方法，得到關(guān)于未知系數(shù)平滑曲線的一致估計(jì)量。與我們的方法相比，這個方法存在這一個極大的偏差余項(xiàng)。實(shí)際上，這個方法的有偏性來自于兩處。其一，對m?的局部近似，這種處理方式也存在于我們所講要介紹的方法中；其二，未知的固定效應(yīng)只能等于0，因?yàn)樗麄兪┘恿艘粋€可加性強(qiáng)約束——iμi本文結(jié)構(gòu)如下：第二章，我們建立計(jì)量模型并介紹估計(jì)過程；第三章，研究其漸近特征并基于此介紹一個轉(zhuǎn)換過程，通過這個過程能夠得到一個具有最優(yōu)收斂率的有效估計(jì)量；第四章，介紹如何從實(shí)證角度估計(jì)帶寬矩陣；第五章，給出了一些模擬結(jié)果；最后，第六章為結(jié)論。二、統(tǒng)計(jì)模型及估計(jì)方法為了更好的說明我們的估計(jì)方法，先從單變量模型開始，然后將估計(jì)結(jié)果擴(kuò)展到多變量模型。那么，根據(jù)式（1.2）建立d=q=1的單變量模型。在這種情況下，對于任意z∈A，其中A為R內(nèi)部一個非空閉集，將（1.2）泰勒展開：X++?+≡這個式子表明將通過XitZit-zλ-Xit-1Zi=1（2.1）這里，K為一個二元內(nèi)核（kernel？），則有Ku,v=KuKh為一個窗寬。我們用β0和β1表示使式（2.1）最小化的系數(shù)的值。上述過程給出了m?和m‘?的估計(jì)量，特別的是，在不斷的局部逼近的情況下（p=0;即Naradaya-Watson內(nèi)核回歸估計(jì)量），mzβ在局部線性回歸的情況下（p=1），則有：β（其中Zit為一個2Z可以看到，在（2.1）中我們給出了一個包含了Zit-1的二元內(nèi)核，而不是一個僅考慮了Zit的內(nèi)核。其原因在于，如果我們只考慮在Zit附近的內(nèi)核，那么變換后的回歸方程（1.2）將會被局限于Zit附近，而沒有充分考慮其他取值。那么就會導(dǎo)致Zis（當(dāng)s≠t）與z之間的距離無法由固定的窗寬變量控制致使變換后的偏差余項(xiàng)無法忽略。最終，可能會導(dǎo)致局部線性估計(jì)量存在一個無法消除的偏差?；谶@個邏輯，我們基于相鄰樣本組成的區(qū)間Zit,Zit-1的局部近似的方法消除這一偏差。在定理3.1中，可以看到，具有二元內(nèi)核的局部線性估計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)局部線性平滑估計(jì)量（即在為了將收斂速度保持在NTh，我們在這里對回歸方程進(jìn)行變換，采用單步后向擬合算法進(jìn)行估計(jì)。用?Yit1?將式（1.2）帶入（2.5），得：?從式（2.6）中可以看出，對于m?的估計(jì)是一維回歸問題。因此我們可以再次使用一元內(nèi)核權(quán)重的局部線性最小二乘估計(jì)方法。然而，仍存在著一些問題，由于式（2.5）中mZi?其中，v這樣，就能夠使用如式（2.8）式所示的加權(quán)局部線性回歸估計(jì)m?i=1計(jì)算得到使式（2.8）最小化的γ0和γ1。這樣，就得到了m?和m'?現(xiàn)在，將我們的估計(jì)方法由單變量情況擴(kuò)展到多變量，也就是說式（1.1）中d≠q≠1。在這種情況下，我們將著力于使用多元局部加權(quán)線性回歸的方法估計(jì)相關(guān)問題。i=1其中，Z為一個d1+q維行向量。在這里，K為一個qK其中，H是一個q維正定對稱的窗寬矩陣。通過式（2.9）的最小化得到一個d1+q維列向量β=β0',β1''。同樣的，得到mz和Dmz=?mz?z的估計(jì)量，分別為m很容易就能夠?qū)⑹剑?.9）最小化的解寫成我們熟知的矩陣形式：β其中，W?Z那么，mz的局部線性加權(quán)最小二乘估計(jì)量就如式（2.11m其中e1=Id?Odq×d為一個d1+q×d維的選擇矩陣，Id是一個d階單位矩陣，Odq×d是一個dq×d最后，對選擇局部線性最小二乘估計(jì)方法做出幾點(diǎn)說明。首先，從式（2.11）的表達(dá)形式上可以看出，我們是通過加權(quán)最小二乘找到數(shù)據(jù)擬合平面的方式得到估計(jì)結(jié)果的，而權(quán)重的選擇是基于內(nèi)核及窗寬矩陣H得到的。正如Ruppert和Wand（1994）所討論的，如果選擇一個可能具有緊支撐支撐集在數(shù)學(xué)中，一個定義在集合X上的實(shí)值函數(shù)f的支撐集，或簡稱支集，是指X的一個子集，滿足f恰好在這個子集上非0。最常見的情形是，X是一個拓?fù)淇臻g，比如實(shí)數(shù)軸等等，而函數(shù)f在此拓?fù)湎逻B續(xù)。此時，f的支撐集被定義為這樣一個閉集C：f在XbackslashC中為0，且不存在C的真閉子集也滿足這個條件，即，C是所有這樣的子集中最小的一個。拓?fù)湟饬x上的支撐集是點(diǎn)集意義下支撐集的閉包。特別地，在概率論中，一個概率分布是隨機(jī)變量的所有可能值組成的集合的閉包。緊集是拓?fù)淇臻g內(nèi)的一類特殊點(diǎn)集，它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上，緊集類似于有限集。一個函數(shù)被稱為是緊支撐于空間支撐集在數(shù)學(xué)中，一個定義在集合X上的實(shí)值函數(shù)f的支撐集，或簡稱支集，是指X的一個子集，滿足f恰好在這個子集上非0。最常見的情形是，X是一個拓?fù)淇臻g，比如實(shí)數(shù)軸等等，而函數(shù)f在此拓?fù)湎逻B續(xù)。此時，f的支撐集被定義為這樣一個閉集C：f在XbackslashC中為0，且不存在C的真閉子集也滿足這個條件，即，C是所有這樣的子集中最小的一個。拓?fù)湟饬x上的支撐集是點(diǎn)集意義下支撐集的閉包。特別地，在概率論中，一個概率分布是隨機(jī)變量的所有可能值組成的集合的閉包。緊集是拓?fù)淇臻g內(nèi)的一類特殊點(diǎn)集，它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上，緊集類似于有限集。一個函數(shù)被稱為是緊支撐于空間X的，如果這個函數(shù)的支撐集是X中的一個緊集。例如，若X是實(shí)數(shù)軸，那么所有在無窮遠(yuǎn)處消失的函數(shù)都是緊支撐的。事實(shí)上，這是函數(shù)必須在有界集外為0的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函數(shù)所構(gòu)成的集合，在所有在無窮遠(yuǎn)處消失的函數(shù)構(gòu)成的集合中，是稠密集的，當(dāng)然在給定的具體問題中，這一點(diǎn)可能需要相當(dāng)?shù)墓ぷ鞑拍茯?yàn)證。例如對于任何給定的epsilon>0，一個定義在實(shí)數(shù)軸X上的函數(shù)f在無窮遠(yuǎn)處消失，可以粗略通過通過選取一個緊子集C來描述：|f(x)-1_C(x)f(x)|<epsilon其中1_C(x)表示C的指示函數(shù)。注意，任何定義在緊空間上的函數(shù)都是緊支撐的。當(dāng)然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布（英語：distribution(mathematics)），比如狄拉克函數(shù)：定義在直線上的delta(x)。此時，我們考慮一個測試函數(shù)F，并且F是光滑的，其支撐集不包括0。由于delta(F)（即delta作用于F）為0，所以我們說delta的支撐集為{0}。注意實(shí)數(shù)軸上的測度（包括概率測度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。其次，使用局部線性最小二乘內(nèi)核估計(jì)的另一個重要優(yōu)勢在于其漸近偏差及方差的表達(dá)式比Naradaya-Watson或者其他的非參估計(jì)量的偏差與方差表達(dá)形式更為優(yōu)越。特別是Fan（1993）指出的，局部線性最小二乘估計(jì)量具有非常重要的漸近大中取小性質(zhì)。另外，與Naradaya-Watson或者其他非參估計(jì)量不同，（2.11）估計(jì)結(jié)果在Z的密度函數(shù)邊界處的偏差與方差和在密度函數(shù)內(nèi)部的具有相同的量級。這是一個非常有用的性質(zhì)，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，處于邊界地帶的樣本數(shù)據(jù)可能占總樣本數(shù)的較大比例。三、漸近性質(zhì)及有效估計(jì)量這一章將對前文所介紹的估計(jì)結(jié)果的一些初步漸近性質(zhì)進(jìn)行分析。為此，設(shè)定如下假設(shè)：假設(shè)3.1：設(shè)Yit,Xit,Ziti=1,…,N;t=1,…,T為一組Rd+q+1隨機(jī)變量，對每一個固定的t，服從獨(dú)立同分布；對于每一個i，具有嚴(yán)格的平穩(wěn)性同期組間滿足獨(dú)立同分布；同組序列平穩(wěn)。。另，分別設(shè)fZ同期組間滿足獨(dú)立同分布；同組序列平穩(wěn)。假設(shè)3.2：隨機(jī)擾動項(xiàng)vit服從零均值同方差的獨(dú)立同分布，且σv2<∞。干擾項(xiàng)與任意i和t的Xit和Z假設(shè)3.3：設(shè)μi與Xit和假設(shè)3.4：設(shè)A=trA'A，那么EX若定義在實(shí)數(shù)區(qū)間A（注意區(qū)間A可以是閉區(qū)間，亦可以是開區(qū)間甚至是無窮區(qū)間）上的任意函數(shù)f(x)，對于任意給定的正數(shù)ε>0，總存在一個與x無關(guān)的實(shí)數(shù)ζ>0，使得當(dāng)區(qū)間A上的任意兩點(diǎn)x1，x2，滿足|x1-x2|<ζ時，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f(x)在區(qū)間A上是一致連續(xù)的。X同樣的，這些矩陣函數(shù)EEEE在其支撐集上是有界且一致連續(xù)的。假設(shè)3.5：函數(shù)E?Xit?Xit'假設(shè)3.6：對于某些δ>0，這些函數(shù)EEE在其支撐集上是有界且一致連續(xù)的。假設(shè)3.7：設(shè)z為fZ1t支撐集內(nèi)一點(diǎn)。假設(shè)3.8：內(nèi)核函數(shù)K具有緊支撐集，有界的內(nèi)核滿足u其中μ2K≠0、RK≠0為標(biāo)量，I為一個q×q階單位矩陣。另外，K假設(shè)3.9：窗寬矩陣H為對稱矩陣且嚴(yán)格正定。另外，當(dāng)N隨路徑以路徑NH→∞趨近無窮時，所有矩陣元都趨于可以看出，這些假設(shè)與面板模型的非參估計(jì)回歸分析中的假設(shè)大致相同。假設(shè)3.1建立了樣本和數(shù)據(jù)生成的標(biāo)準(zhǔn)過程：組間相互獨(dú)立，但對于組內(nèi)數(shù)據(jù)允許存在著隨時間推移的相關(guān)性。當(dāng)然，其他的可能的時間序列結(jié)構(gòu)也是可以考慮的，例如強(qiáng)混合序列（參見CaiandLi，2008），或者非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)（參見Cai等，2009）?；旌闲蛄蟹椒ㄒ话阌脕砑涌旃烙?jì)量協(xié)方差歸零的速度。在我們的例子中，由于是在固定T下的漸近分析，所以不需要采用混合序列的方式來處理。另一方面，我們確信非平穩(wěn)時間序列已經(jīng)超出了這篇論文的研究范圍。另外值得注意的是，邊際概率是具有上下界的，這一假設(shè)可以放松，但會加大證明過程的計(jì)算復(fù)雜程度。假設(shè)3.2也是一個一階微分估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)，可以參考Wooldridge（2002）對于全參情況的討論。另外，假設(shè)干擾項(xiàng)vit與變量Xit以及/或者變量Zit相互獨(dú)立并不失一般性。我們可以基于二階矩施加相關(guān)性從而放松相互獨(dú)立的假設(shè)。例如，方差協(xié)方差矩陣可以具有未知形式的異質(zhì)性。在我們的假設(shè)前提下，可以將You等（2010）所采用的轉(zhuǎn)換估計(jì)量進(jìn)一步延伸。這種假設(shè)同時還排除了解釋變量內(nèi)生性存在的可能性，并施加了一些外生約束條件。否則，就需要引入工具變量方法，例如CaiandLi（2008）或者CaiandXiong（2012）。假設(shè)3.3規(guī)定了所謂的固定效應(yīng)?？梢钥闯?，這個假設(shè)條件比Sun等（2009）所施加的假設(shè)條件要弱很多，所以他們所使用的虛擬變量的最小二乘估計(jì)方法是可行的。從根本上來說，他們所使用的方法都試圖引入異質(zhì)性與解釋變量之間的平滑關(guān)系，而且為了避免可加的偏差余項(xiàng)假設(shè)3.4和3.5是關(guān)于矩函數(shù)的平滑條件。假設(shè)3.6相當(dāng)于識別這類模型的秩條件。假設(shè)3.7-3.9為局部線性回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)（參照RuppertandWand，1994）。最后，所有的結(jié)論都基于隨機(jī)系數(shù)設(shè)定?；谌缟系募僭O(shè)條件，給出局部線性最小二乘估計(jì)量的條件均值與條件方差的結(jié)論。定理3.1：若假設(shè)3.1-3.9成立，那么，對于任意固定的T及N→∞，偏差余項(xiàng)為E=×其中對于任意r=1,…,d，Hmrz為m?第r個部分的X另外，如果μ2KuE其方差為Var其中，BBB這里對于r=1,…,d，矩陣diagrtrHmrzH為了更好地描述估計(jì)量的漸近過程，我們給出了d=q=1且H=h推論3.1：若假設(shè)3.1-3.8成立，則對于任意常數(shù)T，若當(dāng)N趨近無窮大時，h→0且Nh2→∞，E其中，c另外，如果假設(shè)μ2KuE其方差為：Var值得注意的是，在標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)下μ2Ku=μ2正如在其他的論文中已經(jīng)支出的，偏差余項(xiàng)及其方差表達(dá)式中的第一項(xiàng)與樣本無關(guān)，那么可以認(rèn)為這一項(xiàng)代表了無約束下的有偏性及其方差。同時，對H施加的約束條件足以表明其他項(xiàng)服從op1，所以關(guān)于定理3.2：若假設(shè)3.1-3.9成立，則對于任意常數(shù)T以及N→∞，有NT其中，bv可以看出，估計(jì)結(jié)果的收斂速率為NTH。在命題所施加的約束下，估計(jì)量既具有一致性又服從漸進(jìn)正態(tài)分布，然而，其收斂速率只是次優(yōu)速率，因?yàn)檫@種估計(jì)量具有較低的收斂速度，為NTH12。正如已經(jīng)在第二部分說明的，為了能夠得到最優(yōu)的收斂率，使用式（?其中，v在式（3.1）中，mZit-1;H為式（2.11）中的單步局部線性估計(jì)量。在這里，我們提出一個i=1其中，H為一個q×q維正定對稱的窗寬矩陣。如果定義Zit1'=Xit'Xi=1其中我們用γ=γ0'γ1''代表使式（3.3）最小化m其中?WZ為了描述這個估計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì)，需要對窗寬矩陣H以及其與H的關(guān)系事假如下假設(shè)：假設(shè)3.10：窗寬矩陣H為一個嚴(yán)格正定的對稱矩陣，且當(dāng)N趨近于無窮時，所有矩陣的元都依路徑NH→∞趨近于假設(shè)3.11：當(dāng)N趨近于無窮時，窗寬矩陣H和H滿足如下條件：NHH/一般的，都要求內(nèi)核函數(shù)、矩條件以及密度函數(shù)服從假設(shè)3.1-3.8所規(guī)定的平滑性和有界性。這就需要像Masry（1996）所建立的一致收斂的結(jié)果。這樣就能夠得到如下的結(jié)果。定理3.3：若假設(shè)3.1-3.8及3.10-3.11成立，那么對于任意常數(shù)T及N→0，偏差余項(xiàng)為：E=以及其方差為：Var其中diagrtrHmrzH代表對角線元素為trHm最后，根據(jù)定理3.2和3.2中偏差余項(xiàng)方差表達(dá)式中相關(guān)的項(xiàng)以及RuppertandWand（1994），需要強(qiáng)調(diào)的是Hmz的元都是函數(shù)m?在取值z處特定方向的曲率。那么，從直覺上來說，可以認(rèn)為偏差會隨著由偏差余項(xiàng)首項(xiàng)所描繪的曲率和平滑性的增加而擴(kuò)大。同時，就方差而言，可以由更大的在Z=z處Y的條件方差以及z四、窗寬的選擇正如在前面章節(jié)所介紹的，窗寬矩陣H在未知量m?的估計(jì)中起到關(guān)鍵性作用。從漸進(jìn)性質(zhì)的表達(dá)式中就可以看出，窗寬H的選擇實(shí)際上是在偏離余項(xiàng)與估計(jì)結(jié)果方差之間進(jìn)行權(quán)衡。考慮最簡單的情況，H=h2I，如果選擇一個非常小的值h，那么根據(jù)推論3.1，偏離余項(xiàng)會變?。ㄒ粤考塰2），但是以增加估計(jì)方差（以量級1NTh2）為代價。這就需要通過選擇一個使均方誤（MSE）最小化的窗寬矩陣H，即最小化偏離余項(xiàng)平方和及方差。而對于估計(jì)量m?;H與函數(shù)m?;MSE在如上的MSE表達(dá)式中，期望值由Z1,…,Zq;X1H若Z1,…,Zq;X1MSE其中bVΩ從如上的表達(dá)式中可以看出，這里將最小化均方誤定義為選擇窗寬矩陣H的標(biāo)準(zhǔn)，且這里的均方誤的測度為偏離余項(xiàng)條件期望平方和與估計(jì)量方差的和。所以，可以看出這里對于偏差的測度方法就決定了對全局窗寬的選擇。換而言之，這里是在不變的局部點(diǎn)處選擇的窗寬矩陣。當(dāng)然，若基于局部點(diǎn)的窗寬選擇方式，考慮變化的局部點(diǎn)就可以得到窗寬矩陣函數(shù)Hz。在這種情況下，局部MSEMSE這是期望值就由X決定。MullerandStadtmuller（1987）對利用隨局部點(diǎn)變化的窗寬矩陣進(jìn)行卷積型回歸估計(jì)的相關(guān)問題進(jìn)行了討論。另外，F(xiàn)anandGijbels（1992）提出了一個基于變窗寬矩陣的對局部多項(xiàng)式的回歸估計(jì)量。在本文討論的情況下，采用全局窗寬矩陣，其原因有兩點(diǎn)。首先，模型中的所有部分都假設(shè)具有相同的平滑度；其次，除非函數(shù)曲線表明存在這非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)（全局窗寬矩陣無法很好的描述和擬合所有局部特征）情況下，使用局部窗寬矩陣并不能顯著增加最終結(jié)果的優(yōu)度，反而會大大增加計(jì)算量。這可能是由于局部適應(yīng)性性質(zhì)已經(jīng)被包含在了局部線性回歸平滑因子中了。然而到此為止，Hopt的選擇并沒有解決窗寬矩陣選擇的所有問題。事實(shí)上，可以看出，MSE與一些未知的量有關(guān)，因此這里的最優(yōu)窗寬矩陣無法通過數(shù)據(jù)估計(jì)得到。對于MSE中未知量的近似替代有如下幾種方法：一種是將式（4.1）中的偏離余項(xiàng)及其方差中的項(xiàng)用在定理3.1中提到的各自的一階漸近表達(dá)式代替，這就是所謂的插值方法，具體細(xì)節(jié)可以參考Ruppert等（1995）；另一種可行的方法是將式（4.1）中的偏離余項(xiàng)及其方差用其確切的表達(dá)式替代，這種方法由FanandGijbels（1995aE[Var其中，根據(jù)定理3.1，顯然有：EVar這里τ為一個N(T-1)維向量，且對于i=1,…,N,t=2,…,τV為一個N(T-1)×N(T-1)維包含矩陣VijV為了估計(jì)偏離余項(xiàng)和方差，就需要計(jì)算τ和V。對于τ的處理，將mZit和mZit-1在z處五階泰勒展開，這樣一個五階局部多項(xiàng)式回歸就能夠確保前文所提出的窗寬矩陣選擇過程對于局部線性擬合而言是N階一致的？。具體參考Hall等（1991）。然而，為了簡便起見，采用三次多項(xiàng)式回歸的方法能夠得到接近N階一致性的選擇結(jié)果，而且能夠打打降低計(jì)算量。在本文的例子中（即d=q=1），向量τ包含了?對于V的估計(jì)問題，由假設(shè)3.2可以看出，這與估計(jì)σv2σ這樣就可以看出無論是τ還是σv2都依賴于窗寬矩陣H，而這個窗寬矩陣則由樣本數(shù)據(jù)決定?？梢杂糜谶@些計(jì)算的合適的引導(dǎo)窗寬矩陣H*能夠通過由FanandGijbels（1995a）所提出的全局殘差平方標(biāo)準(zhǔn)過程得到。在這里，我們用m-iZit;H表示mZit的留一交叉估計(jì)量。所謂留一交叉估計(jì)就是在用式（2.11）估計(jì)mZit時，使用除第i組之外的全部數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。可以看出，一旦得到bVΩ根據(jù)式（4.1），MSE(H)的相關(guān)估計(jì)量為：MSE定義Hopt的估計(jì)量HH在這里我們并沒有給出窗寬矩陣的理論特性，ZhangandLee（2000）對局部MSE做了詳細(xì)的研究，我們認(rèn)為在我們所介紹的模型框架下可以將其直接用來分析分析全局MSE。最后，使用與估計(jì)窗寬矩陣H相同的方式來估計(jì)有效估計(jì)量。五、蒙特卡洛模擬這一章將給出蒙特卡洛模擬的結(jié)果來檢驗(yàn)固定效應(yīng)模型的有限樣本下前文所介紹的估計(jì)方法的估計(jì)效果。這里采用如下的變系數(shù)非參模型：Y其中Xdit和Zqit為隨機(jī)純變量，vit為獨(dú)立同分布服從N0,1的隨機(jī)變量，m?為預(yù)先制定的待估計(jì)函數(shù)。觀察值是由服從Zqit=wqit+w在這采用本文研究中三個不同的情況：1.Y2.Y3.Y在模擬中所選用的函數(shù)形式為m1Z1it=sinZ(a)μ1i與Zμ引入模型。(b)μ2i與Z1it和μ引入模型。在這兩種情形中，ui都是獨(dú)立同分布且服從N0,1的隨機(jī)變量，在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)行了1000次的蒙特卡洛重復(fù)模擬（次數(shù)用Q表示）。時期（T）固定為3，截面數(shù)據(jù)組數(shù)（N）從50、100、200中抽取。另外，與Henderson等（2008）一樣，在模擬中采用了高斯內(nèi)核進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，而且窗寬矩陣選定為H=σzNT-1-15，其中這里列出了前文所介紹估計(jì)量的結(jié)