動(dòng)力學(xué)課件-理論理力2-ch5d

理論力學(xué)作業(yè)：5-22、5-29、補(bǔ)充第一類Lagrangexx補(bǔ)補(bǔ)充題：已知質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),被約束y=sin2x的曲線上y軸鉛垂向上，x軸水)應(yīng)用第一類Lagrange方程建立該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方一、問題的引n

dT (Fimiai)ri

Qjqj

j

利用q

j1Lk)ddt dTTjjj第二類Lagrange方程的特系統(tǒng)必須用廣義坐標(biāo)（獨(dú)立）描述，易用于樹形系Lagrange方程不含約束當(dāng)物體數(shù)較多時(shí)，用廣義2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方第二類日方程動(dòng)力學(xué)方程的建2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方應(yīng)用第二 日方程不易建立下列系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方0 0A Am1g C2(x2,y2m2y

Bm3

C3(x3,y3D系統(tǒng)的動(dòng)能不易用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方動(dòng)能表達(dá)式的另解除所用各個(gè) 1m(&22)

J

1m(&22)1 系統(tǒng)作 滑塊B

1m(&22 CTTC1

,C1C

,C C

, C C

但是位形坐標(biāo)不獨(dú)2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 系統(tǒng)的位形坐標(biāo)

(xC,yC,1,xC,yC,2,xC,yC 建立系統(tǒng)的約束C11 LOCC11 對(duì)于OA

LCA

對(duì)于AB

LCA

LCB 位形坐位形坐n=s=k=n-2010-4-

yC3

LCB26理論力 §5-5、第一 日方二、第一 日方

設(shè)系統(tǒng)的位形坐標(biāo)為q1,L q系統(tǒng)的約束方程為：fi(q1,L,qn,t) (i1,L,n

dT (Fimiai)ri

dt

Qjqj0

j1

j fi

(i1,L,滿足約束方程的

s sn n

(i1,L,

q

jj

i1 nnj1dT Qjs,jqj2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 dT T

Qj

i

qjj1

dt

qjdTT

b 設(shè)：dt

i qj j

j1

jj系統(tǒng)的自由度:k=n- k+sj

fi

fijbjjj

i qj

bjjk1

i qjQqjj1Lk)

選取適i(i1Lsbbjsijj1,L,bjsiijjk1,L,2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方

,稱 其中

的廣義力ddt dT jQjjs,(j1,L,jfi(q1,L,qn,t)(i1,L,應(yīng)用第一類Lagrange方程建立系統(tǒng)將各物體間的約束解除，確定系統(tǒng)的位形坐標(biāo)用位形坐標(biāo)及其速度描述系統(tǒng)的動(dòng)能給出解除約束后對(duì)應(yīng)于位形坐標(biāo)的主給出系統(tǒng)的約束方程將系統(tǒng)動(dòng)能、約束方程和主動(dòng)力學(xué)的廣義力代入第一類Lagrange方2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 解：1、給出系統(tǒng)動(dòng)能T

1m(

21A(x,1

2、求系統(tǒng)主動(dòng)力m1

QxF Qy

fy3、給出系統(tǒng)約束方1ddt dTTjjjsiqjfi(q1,L,qn)4、求約2010-4-

Qy

&mgf1y 因此：

第一方理論力 §5-5、第一 日方例例：質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤在水平面上純滾動(dòng)，其上作用Fx,FyM，求系統(tǒng)的第一類Lagrange方程。解：動(dòng)能、主動(dòng)力的廣義力和約束

T1&22)1Jc c x

QxFx;QymgFy;Qf1xRf2yRddT s jQji ifi(q1,L,qn)2010-4-

1&mgFyM

第一方理論力 §5-5、第一 日方Lagrange乘子的物理含

f1xRf2yR

&mgF ma

F

x

y &mgF

1Ff

(

F MC(

JC&MFf i

&2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方例例：應(yīng)用第一類Lagrange方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程并求約 解：1

T1m(&22)1m(&22)1

C m 1m(&22)1 C m2

C2(x2,y2

2、求系統(tǒng)主動(dòng)力F mABBD2010-4-

m3

C3(x3,y3D

Qx2Qx3Q2

Qy2m2g,Qy3m3gQ30理論力 §5-5、第一 日方 3、給出系統(tǒng)的約束方A(x1,y1)F(t)

物體物體

f1y1x2x1Lm1

C2(x2,y2

f2x2x1Lsin2y2y1Lf3y2y1Lcos2m2B

物體 x3x2Lsin2Lf4x3x2Lsin2Lsin3ABBD

C3(x3,y3m3

y3y2Lcos2Lf5y3y2Lcos2Lcos3約束方程便于計(jì)xk1xk約束方程便于計(jì)y物體kyk

L

L

k2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方y(tǒng)4、求系統(tǒng)的LagrangeA(x1,y1)

m&F(t)

11m1g1 C2(x2,y2

m22m2B

m22m2g3 C

Lcos22L

C3(x3,y3D

Lcos24Lsin33m33m3gJ&JC

L

LddT jQji isf(q1,L,qn)2010-4- 理論力

§5-5、第一 日方4、分析Lagrange乘子的物理

1F(t)11m1g13

m22m22m2g3 & C &

Lcos22L Lcos24L m33 m3

g LcosLsin2010-4-

C 2,3：鉸鏈A作用在AB桿上的約束 4,5：鉸鏈B作用在BD桿上的約束質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被約束在半徑為R質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被約束在半徑為R的光滑圓柱面上(r,日方程建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)(r,日方程建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方例一 T1m[(&r)2&2 2、求系統(tǒng)的廣

QmgrcosQrmgdtdTdtdTTQsjjji,j(jf1rRmdLagrange乘子的物理含義 FNmgsin2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 (x,yd2f220)2

解：1、給出質(zhì)點(diǎn)的T1[&2222、求系統(tǒng)的廣Qx Qy3、給出質(zhì)點(diǎn)的約束方 x2y2R2&mg2 2R2mgym(&22 x(mx)y(y)2

( &ddTTQsfidtjjjij2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 Lagrange乘子

( & y

2R2 2R2manFNmg(&22

sinR x2y2R2

m(&22 (fif

(&22

FN2R RFN

f f x

2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方 解：1、給出質(zhì)點(diǎn)的

2、求系統(tǒng)的廣

3、給出質(zhì)點(diǎn)的約束方T1[&22]

Qx

Qy

ysinx &mg d2dt2

&sx2

fx

f問題：如何求解微分問題：如何求解微分—代數(shù)方程

cosx2(1cos2x)mg&2sinmg&2sin

ddT jqQjsqi(j2010-4-

(1cos2dtddtdT jQjjs,(j1,2, ,Ljfi(q1,L,qn,t)(i1,L,ddtdt dT jQsi,(j1,2, ,Ljjfi(q1,L,qn,t)(i1,L,第一 日方程實(shí)際求解所用的2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方第一 日方程的數(shù)值求 fx2y2R2

&mg2( &

2R2 2R2&(x2y2R2)"x(0)y(0)0.0m&(0)&)

2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方

&mg2

d2f22 2 fx2y2R2

1972年 違約修正方x(0)y(0)0.0m&(0)&)

d2d2f2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方三 日方程的發(fā)展與應(yīng)1755－1788年：第一類和第二類Lagrange方程dT dt

fi(q1,L,qn,t)

(j1,L,(i1,L, j

1894年:用于具有非完整約束質(zhì)點(diǎn)系的Routh方程d

T

A

(j1,2,L,dt

(i1,L, j

j1972年:具有Baumgart違約修正的Lagrange方程ddt

i

(j1,2,L,(i1,L, j

2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方上個(gè)世紀(jì)80年代：開始研究微分—代數(shù)方程組的數(shù)值計(jì)算d

TT

f

,L,

)

(j1,2,L,

i

(i1,L, j

上個(gè)世紀(jì)90年代：開始研究基于Lagrange方程的大型動(dòng)力學(xué)應(yīng)用2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方ADAMS軟件仿 能帆板展開動(dòng)力學(xué)過2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方上個(gè)世紀(jì)末到本研究非理想約束系統(tǒng)的第一類Lagrange–研究單邊（單面約束）非光滑（摩擦、碰撞）Lagrange動(dòng)力學(xué)方程的建模方法和數(shù)值計(jì)–研究雙邊約束（雙面約束）非光滑（摩擦）Lagrange動(dòng)力學(xué)方程的建模方法與數(shù)值計(jì)2010-4- 理論力 §5-5、第一 日方三、第一類Lagrange方程在靜力學(xué)中的應(yīng)用（補(bǔ)充部分第一類Lagrange方程d

T

Q

,(j1,L,

i j

fi(q1,L,qn,t) (i1,L,當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能ssQj

(j1,L,fi(q1,L,qn) (i1,L,2010-4- 力FA力FA=W xB1、確定解除約束后系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：xC,yC 2、確定對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力 Q W QW FL 3、確定系統(tǒng)的約束方f1xcLsin f2ycLcos

AW4、平衡條件

W1W2

jsijWLcos jsij