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向量的模長問題一一幾何法一i、基礎(chǔ)知識(shí):rr一.,1、向量和差的幾何意義:已知向量a,b,則有:..rrrr,一rr一rr.(1)若a,b共起點(diǎn),則利用平行四邊形法則求ab,可得ab是以a,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線..rrrr,一rrrr一(2)右a,b首尾相接,則利用三角形法則求出ab,可得ab,a,b圍成一個(gè)三角形r2、向重?cái)?shù)乘的幾何息義:對(duì)于a一.一.r.r...r.r(1)共線(平行)特點(diǎn):a與a為共線向量,其中0時(shí),a與a同,,r,r一,向;0時(shí),a與a反向rr(2)模長關(guān)系:a||||a3、與向量模長問題相關(guān)的定理:(1)三角形中的相關(guān)定理:設(shè)VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c①正弦定理:△-上工sinAsinBsinC②余弦定理:a2b2c22bccosA(2)菱形:對(duì)角線垂直平分,且為內(nèi)角的角平分線特別的,對(duì)于底角60o的菱形,其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形。(3)矩形:若四邊形ABCD的平行四邊形,則對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件:條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形,且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān),則可考慮利用條件中

的幾何知識(shí)處理模長二、典型例題:例1:(優(yōu)質(zhì)試題屆北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷)已知,一rr,,,_,一rrr_r向量a,b的夾角為45°,且a1,2ab聞,則b()A.2B.2C.22D.3,2思路:本題利用幾何圖形可解,運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出如下圖形:可知AB2,B了ACJ10,只需利用余弦定理求出|BC即可。r解:如圖可得:bBC|,在VABC中,有:ACABBC2AB||BCcosB2BCcos-0解得BC372或2BCcos-0解得BC372或BC22陽BCBC匹(舍)一r一所以b3歷,答案:選D例2:若平面向量a,b,c兩兩所成的角相等,且abi,c3,則abc等于(A.2A.2B.5C.2或5D.,2或,5rrrrrr思路:首先由a,b,c兩兩所成的角相等可判斷出存在兩種情況:一是a,b,c一,,一一.rrr,一…一,_._.同向(如圖1,此時(shí)夾角均為0),則abc為5,另一種情況為兩兩rr夾角紅(如圖2),以ab1為突破口,由平行四邊形法則作圖得到3rr.rrrrr一.r一.ab與a,b夾角相等,aba1(底角為60°的菱形性質(zhì)),且與c反向,

rrr進(jìn)而由圖得到abc2,選C答案:C才'才'M~r…..一rr一,rr一.rr…一....一一例3:已知向重a,b,且|a1,b2,則2ba的取值氾圍是()A.1,3B,2,4C.3,5D.4,6......rrr..r思路:先作出a,即有向線段AB,考慮2ba,將2b的起點(diǎn)與A重合,rrr終點(diǎn)C繞A旋轉(zhuǎn)且AC|2b4,則12ba|即為|BC|的長度,通過觀祭可rrrrrr得C與A,B共線時(shí)2ba達(dá)到最值。所以2ba5,2ba3,且Imaxminrr一rr一一....2ba連續(xù)變化,所以2ba的取值范圍是3,5:范4箕答案:C例4:設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,且abab2,則〔ab.rrrr.思路:可知a,b,ab為平行四邊形的一組鄰邊和一條對(duì)角線,由abab2可知滿一r

r足條件的只能是底角為60°,邊長a2的菱形,從而可求出另一條對(duì)角線的長度為:3a23答案:2.3...rr...rrr例5:已知a,b為平面向重,右arfra—,則十(4br.rrr.rb與a的夾角為百,ab與b的夾角為A.彳B.C.A.彳B.C./5D.,63.rrrr.思路:可知ab,a,b為平行四邊形的一組鄰邊及對(duì)角線,通過作圖和平行四邊形性質(zhì)得:在TOC\o"1-5"\h\zVABD中,r,r.、ABa,ADb,ABD-,ADB—,由正弦34定理可得:黑sinADB,逅『ADsinABD而-3'b3答案:D例6:已知a,b是單位向量,且a,b的夾角為—,若向量c滿足3r|Ca2b|2,則1r|的最大值為()A.23B.23C..72D..72思路:本題已知a,b模長且夾角特殊,通過作圖可得器a為模長為代,

irrrrurrirrriruurr設(shè)mc2ba,則可得|m2且cm2ba,而m可視為以2ba共r一起點(diǎn),終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上。通過數(shù)形結(jié)合可得c的ir最大值為2址(此時(shí)m的終點(diǎn)位于A點(diǎn))答案:A例7:在VABC中,所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且uur例7:在VABC中,所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且uur3.3,BuC6,設(shè)D是AB的中點(diǎn),O是VABCuur3OAuuuuuur2OBOCuuur,,..口uuur,,..口DO的值是(A.1B.2D.2C.思路:本題的關(guān)鍵在于確定O思路:本題的關(guān)鍵在于確定O點(diǎn)的位置,從而將器與已知線段找到聯(lián)「?uuruuuuuinr系,將30A2OBOC0考慮變形為uuruuuuuruuuuuuuuuruuuruuu口uuruuu1uuu、方3OA2OBOC3OAOBOBOCCB,即OAOB」CB,設(shè)3OuOAOB,則O,D,E三點(diǎn)共線,且OE//BC,所以由平行四邊形性質(zhì)—r/曰—r/曰uuur可得:OD1uur-OE2答案:Br例8:已知向重r例8:已知向重are,1,對(duì)任意的tR,恒有ate的值為思路:本題以rterriuu思路:本題以rterriuuae作為突破口,通過作圖設(shè)ABruuurra,ACe,D.一.uuurr,一直線l上一點(diǎn),則有ADte。從而可得BD||BC,所以C點(diǎn)為直線l上到B距離最短的線段,由平面幾何知識(shí)rrr一一.可得最短的線段為B到l的垂線段。所以BCI,即eae,所以有rrreae0

rrrr.,ate,aerrrr.,ate,ae在圖上的位置和兩個(gè)小煉有話說:本題若用圖形解決,找到向量的聯(lián)系是關(guān)鍵rrr例9:已知平面向重a,b,crr滿足a1,b.r..一..,一的夾角為60°,則rrr例9:已知平面向重a,b,crr滿足a1,b.r..一..,一的夾角為60°,則c的最大值是一.,rrrr思路:由a,b條件可得a,b夾角的余弦值rrab1c°srr一120°,若用代數(shù)方法處理夾即DCB60°,從而,一rrrr1,右向重ac,bc角60°的條件,則運(yùn)算量較大。所以考慮利用圖?、ruujruuurruuurrtunrrruuur形,設(shè)ABa,ADb,ACc,貝UcDbc,CBaDCB180°,可判定A,B,C,D四點(diǎn)共圓,則rc,AC的最大值為四邊形ABCD外接圓的直徑,即VABD的直徑。在VABD中,由余弦定理可得:BDd2R答案:ABBDADsinBAD2、.21322ADBDd2R答案:ABBDADsinBAD2、.21322ADIIABc°s2、213max7,所以|BD行,由正弦定理可得:小煉有話說:若條件中向量的夾角為特殊角且很難用數(shù)量積,模長進(jìn)行計(jì)算時(shí),可考慮尋找?guī)缀螆D形進(jìn)行求解。例10:(優(yōu)質(zhì)試題年,浙江,16)已知平面向量11rLi0」"滿足廠卜1,ir,irirur一一一一一且與的夾角為120°,則的取值范圍是

思路:本題很難找到與數(shù)量積相關(guān)的條件,那么考慮利用圖形輔助求UrLTLTlr,,,解。從圖中可觀祭到,,構(gòu)成VBCD,一■一,一「、、,?urC60°,從而可利用正余弦7E理求出即CD|的取值范圍解:在VBCD中,由正弦定理可得:TOC\o"1-5"\h\zUTU1lBDlCDsinCsinDBCsinCsinDBCur1r1sinDBC‘sinDBCsinCV32-3sinDBC2-3sinDBC▼2而DBC0,—3sinDBC0,1ur2國sinDBC答案::|的取值范圍是。邛小煉有話說:例題中的部分問題也可采用模長平方的方式,從而轉(zhuǎn)化成為數(shù)量積求解。具體解法如下:g4時(shí)rr2r2rrr2例1:解:2ab4a4abb44bcosa,bb210b22J2|b60,解得b3&例2:解:rrr2r2r2r2rrrrrrabcabc2ab2bc2acrrrQa,b,c夾角相同當(dāng)aIC同向時(shí),可得:bC225,所以arrr2rr1rr當(dāng)a,b,c兩兩夾角2-時(shí),可得ab1,bc32abr24,所以abc2rcraJ3-23-25綜上所述:例3:解:r2br24br4a174abcosta,b)17rr8cos:a,brr.因?yàn)閏os:a,b:,1,1r2b9,25即2b3,5例4:解:2可得T2br2a代入r2a12例8:解:以B為原點(diǎn),BC為x軸建立直角坐標(biāo)系。所以C6,0UUU9則OA923

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