平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理課件

第五章平面向量高考文數(shù)

第五章平面向量高考文數(shù)§5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理考點(diǎn)一向量的線(xiàn)性運(yùn)算及幾何意義

1.向量的有關(guān)概念及表示法知識(shí)清單§5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理考點(diǎn)一平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理課件

2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算

3.向量共線(xiàn)定理:向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件為存在唯一實(shí)

數(shù)λ,使得b=λa成立.3.向量共線(xiàn)定理:向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件為存在考點(diǎn)二平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)?不共線(xiàn)

向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,?有且只有

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=?

λ1e1+λ2e2

.其中,不共線(xiàn)的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.溫馨提示(1)零向量和共線(xiàn)向量不能作基底;(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0.考點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量基本定理

2.向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則?=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).3.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a與b共線(xiàn)?a=λb??

x1y2-x2y1=0

.拓展延伸1.若?+?=2?,則D為BC的中點(diǎn),反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O為原點(diǎn),A,B,C為平面內(nèi)三點(diǎn),則A,B,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條

件是?=α?+β?,且α+β=1,α,β∈R.2.向量坐標(biāo)的求法拓展延伸平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的

加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理,因此在

求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,利用三角形中位線(xiàn)、

相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知

向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.例1

(2017廣東東莞二模,4)如圖所示,已知?=3?,?=a,?=b,?=c,則下列等式中成立的是?(

A

)方法技巧方法1平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略方法技巧方法1

A.c=?b-?a

B.c=2b-aC.c=2a-b

D.c=?a-?b解析因?yàn)?=3?,?=a,?=b,所以?=?+?=?+??=?+?(?-?)=??-??=?b-?a,故選A.?解析因?yàn)?=3?,?=a,?=b,所以?=?+?=?+?向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用方法1.a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)的重要依據(jù).證明三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn),借助向量,只需證明由三點(diǎn)A、B、C所組成的向量中的兩個(gè)共線(xiàn).2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.3.用向量共線(xiàn)定理解向量的線(xiàn)性表示問(wèn)題,通常是把共線(xiàn)的向量用選定

的兩個(gè)基向量表示出來(lái),再根據(jù)共線(xiàn)定理就可以得到一個(gè)向量的方程,

利用這個(gè)方程得到不含向量的方程(組),在方程(組)中消掉引入的參數(shù)λ,就可以解決問(wèn)題.例2

(2017山東,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=

.方法2向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用方法方法2解題導(dǎo)引

由a∥b的充要條件得λ的方程?解方程得λ的值解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.答案-3解題導(dǎo)引

解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a例3如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)

AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若?=m?,?=n?,則m+n的值為

.

解題導(dǎo)引

解法一:選擇基底{?,?},用基底表示?與??利用兩向量共線(xiàn)的充要條件列出向量等式?得出關(guān)于m與n的關(guān)系式解法二:利用向量的中點(diǎn)表示式寫(xiě)出??由?=m?,?=n?得?與?,?的關(guān)系?利用M,O,N三點(diǎn)共線(xiàn),得出m與n的關(guān)系式例3如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點(diǎn),故?=?(?+?),?=?-?=?(?+?)-??=??+??,同理?=??+??.由于向量?,?共線(xiàn),故存在實(shí)數(shù)λ,使得?=λ?,即??+??=λ?,由于?,?不共線(xiàn),故得?-?=?λ且?=λ?,解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點(diǎn),消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,化簡(jiǎn)即得m+n=2.解法二:連接AO,∵O是BC的中點(diǎn),∴?=?(?+?).又∵?=m?,?=n?,∴?=??+??.∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線(xiàn),∴?+?=1.∴m+n=2.答案2消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,答案2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求

解的,若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).將向量用坐

標(biāo)表示出來(lái),使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái).2.解題過(guò)程中注意方程思想的應(yīng)用.例4

(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2?,平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足|?|=1,?=?,則|?|2的最大值是?(

B

)A.?

B.?

C.?

D.?方法3解題導(dǎo)引

建系?求出點(diǎn)P的軌跡方程?寫(xiě)出|?|2的表達(dá)式?利用函數(shù)思想求最值平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略方法3解題導(dǎo)引

建系解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),C(2?,0),B(?,3).設(shè)P(x,y),∵|?|=1,∴x2+y2=1,∵?=?,∴M為PC的中點(diǎn),∴M?,∴|?|2=?+?解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,=?+?-3y+9=?-3y+9=?-3y,又∵-1≤y≤1,∴當(dāng)y=-1時(shí),|?|2取得最大值,且最大值為?.=?+?-3y+9解題導(dǎo)引

建立平面直角坐標(biāo)系?分別求出a,b,c的坐標(biāo)?將坐標(biāo)代入c=λa+μb中,利用方程思想求出λ和μ?結(jié)論例5向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則

?=

.

解題導(dǎo)引

建立平面直例5向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中解析以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)每個(gè)小

正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=?=(-1,1),b=?=(6,2),c=?=(-1,-3).由c=λa+μb可得?解得?所以?=4.

答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)每平面向量基本定理的應(yīng)用策略平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解

的理論依據(jù),也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用平

面向量的基本定理將條件和結(jié)論表示成基底的線(xiàn)性組合,再通過(guò)向量的

運(yùn)算來(lái)求解.在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方

便.另外,要熟練運(yùn)用線(xiàn)段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.例6

(2018中原名校9月聯(lián)考,15)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),N

在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,則?=

.方法4平面向量基本定理的應(yīng)用策略方法4解題導(dǎo)引

→求得λ,μ的值,從而得?的值解題導(dǎo)引

解析設(shè)?=a,?=b,∵A、P、M共線(xiàn),∴存在唯一實(shí)數(shù)λ,使得?=λ?.又M為BC的中點(diǎn),∴?=?λ(a+b).又?=?+?=?+μ?=?+μ(?-?)=?+μ?=(1-μ)a+?μb.根據(jù)平面向量基本定理得?解得λ=?,μ=?.∴?=??,?=??.解析設(shè)?=a,?=b,∴|?|∶|?|=4∶1,即?=4.答案4∴|?|∶|?|=4∶1,即?=4.答案4平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理課件第五章平面向量高考文數(shù)

第五章平面向量高考文數(shù)§5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理考點(diǎn)一向量的線(xiàn)性運(yùn)算及幾何意義

1.向量的有關(guān)概念及表示法知識(shí)清單§5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理考點(diǎn)一平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量的基本定理課件

2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算

3.向量共線(xiàn)定理:向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件為存在唯一實(shí)

數(shù)λ,使得b=λa成立.3.向量共線(xiàn)定理:向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件為存在考點(diǎn)二平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)?不共線(xiàn)

向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,?有且只有

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=?

λ1e1+λ2e2

.其中,不共線(xiàn)的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.溫馨提示(1)零向量和共線(xiàn)向量不能作基底;(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0.考點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量基本定理

2.向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則?=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).3.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a與b共線(xiàn)?a=λb??

x1y2-x2y1=0

.拓展延伸1.若?+?=2?,則D為BC的中點(diǎn),反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O為原點(diǎn),A,B,C為平面內(nèi)三點(diǎn),則A,B,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條

件是?=α?+β?,且α+β=1,α,β∈R.2.向量坐標(biāo)的求法拓展延伸平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的

加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理,因此在

求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,利用三角形中位線(xiàn)、

相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知

向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.例1

(2017廣東東莞二模,4)如圖所示,已知?=3?,?=a,?=b,?=c,則下列等式中成立的是?(

A

)方法技巧方法1平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略方法技巧方法1

A.c=?b-?a

B.c=2b-aC.c=2a-b

D.c=?a-?b解析因?yàn)?=3?,?=a,?=b,所以?=?+?=?+??=?+?(?-?)=??-??=?b-?a,故選A.?解析因?yàn)?=3?,?=a,?=b,所以?=?+?=?+?向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用方法1.a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)的重要依據(jù).證明三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn),借助向量,只需證明由三點(diǎn)A、B、C所組成的向量中的兩個(gè)共線(xiàn).2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.3.用向量共線(xiàn)定理解向量的線(xiàn)性表示問(wèn)題,通常是把共線(xiàn)的向量用選定

的兩個(gè)基向量表示出來(lái),再根據(jù)共線(xiàn)定理就可以得到一個(gè)向量的方程,

利用這個(gè)方程得到不含向量的方程(組),在方程(組)中消掉引入的參數(shù)λ,就可以解決問(wèn)題.例2

(2017山東,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=

.方法2向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用方法方法2解題導(dǎo)引

由a∥b的充要條件得λ的方程?解方程得λ的值解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.答案-3解題導(dǎo)引

解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a例3如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)

AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若?=m?,?=n?,則m+n的值為

.

解題導(dǎo)引

解法一:選擇基底{?,?},用基底表示?與??利用兩向量共線(xiàn)的充要條件列出向量等式?得出關(guān)于m與n的關(guān)系式解法二:利用向量的中點(diǎn)表示式寫(xiě)出??由?=m?,?=n?得?與?,?的關(guān)系?利用M,O,N三點(diǎn)共線(xiàn),得出m與n的關(guān)系式例3如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點(diǎn),故?=?(?+?),?=?-?=?(?+?)-??=??+??,同理?=??+??.由于向量?,?共線(xiàn),故存在實(shí)數(shù)λ,使得?=λ?,即??+??=λ?,由于?,?不共線(xiàn),故得?-?=?λ且?=λ?,解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點(diǎn),消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,化簡(jiǎn)即得m+n=2.解法二:連接AO,∵O是BC的中點(diǎn),∴?=?(?+?).又∵?=m?,?=n?,∴?=??+??.∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線(xiàn),∴?+?=1.∴m+n=2.答案2消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,答案2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求

解的,若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).將向量用坐

標(biāo)表示出來(lái),使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái).2.解題過(guò)程中注意方程思想的應(yīng)用.例4

(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2?,平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足|?|=1,?=?,則|?|2的最大值是?(

B

)A.?

B.?

C.?

D.?方法3解題導(dǎo)引

建系?求出點(diǎn)P的軌跡方程?寫(xiě)出|?|2的表達(dá)式?利用函數(shù)思想求最值平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略方法3解題導(dǎo)引

建系解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),C(2?,0),B(?,3).設(shè)P(x,y),∵|?|=1,∴x2+y2=1,∵?=?,∴M為PC的中點(diǎn),∴M?,∴|?|2=?+?解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,=?+?-3y+9=?-3y+9=?-3y,又∵-1≤y≤1,∴當(dāng)y=-1時(shí),|?|2取得最大值,且最大值為?.=?+?-3y+9解題導(dǎo)引

建立平面直角坐標(biāo)系?分別求出a,b,c的坐標(biāo)?將坐標(biāo)代入c=λa+μb中,利用方程思想求出λ和μ?結(jié)論例5向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則

?=

.

解題導(dǎo)引

建立平面直例5向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中解析以向量a和b