第一篇第四章-膜系設(shè)計(jì)圖示法課件

第四章膜系設(shè)計(jì)圖示法曹建章第四章膜系設(shè)計(jì)圖示法第三章討論了對(duì)于任意多層膜反射和透射特性計(jì)算的矩陣方法，這種方法是設(shè)計(jì)各種類型膜系的基礎(chǔ)，也是目前最為實(shí)用的方法，因而在應(yīng)用中廣泛使用，并依此編寫成專門的薄膜光學(xué)設(shè)計(jì)軟件。除此之外，膜系設(shè)計(jì)還用到矢量近似法和導(dǎo)納圖解法。對(duì)于層數(shù)比較少的增透膜計(jì)算和設(shè)計(jì)，作為輔助手段矢量法很有效。導(dǎo)納圖解法又稱斯密斯圓圖方法，該方法最早（1939年）是用于電路中求解傳輸線問(wèn)題，在滿足工程需要的前提條件下，簡(jiǎn)單易行，避免了復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算?，F(xiàn)在，電路中的傳輸?shù)谌掠懻摿藢?duì)于任意多層膜反射和透射特性計(jì)線計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算機(jī)在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方法已經(jīng)很少使用。但在薄膜光學(xué)中，導(dǎo)納圖解法是一種很直觀的方法，在膜系設(shè)計(jì)中非常有用。另外，有文獻(xiàn)仍利用該方法設(shè)計(jì)誘導(dǎo)濾光片，并得到好的結(jié)果。4.1矢量法

假設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)

和

，其指數(shù)形式為（4-1）線計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算機(jī)在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方用矢量表示如圖4-1所示，其中

和

表示兩矢量的模，而

和

分別表示兩矢量的幅角。兩復(fù)數(shù)的和（即矢量和）為這就是膜系設(shè)計(jì)矢量法的基本思想。矢量法有三個(gè)近似條件：①膜層沒(méi)有吸收；②在多層膜計(jì)算中僅考慮入射光在各個(gè)界面的一次反射；③各個(gè)界面的振幅反射系數(shù)的模取垂直入射時(shí)的反射系數(shù)，并不是取模，這樣膜層間由于折射率大小反射系數(shù)可出現(xiàn)負(fù)號(hào)。由（4-2）用矢量表示如圖4-1所示，其中和表示兩矢量的此可見，矢量法明顯存在誤差。

現(xiàn)假設(shè)四層膜系如圖4-2（a）所示，入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率分別為

、

、

和

，膜層幾何厚此可見，矢量法明顯存在誤差。度分別為、、和。由此可寫出各個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和層間相位厚度為（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分別為、、和。由此可寫出各個(gè)界將各個(gè)界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為如果膜層折射率大小滿足那么，有如果振幅反射系數(shù)矢量大小為負(fù)，矢量指向原點(diǎn)；如果振幅反射系數(shù)矢量大小為正，矢量指向由原點(diǎn)向外。振幅反射系數(shù)矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)將各個(gè)界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為(4-8位厚度取“+”號(hào)，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；如果振幅反射系數(shù)矢量的相位厚度取“-”號(hào)，矢量圖矢量方位順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。由此可畫出各個(gè)界面振幅反射系數(shù)矢量如圖4-2（b）所示，圖4-2（c）為振幅反射系數(shù)合成矢量。根據(jù)式（4-8），可得膜系反射率為

1.低折射率基底增透膜設(shè)計(jì)

例一

單層增透膜。（4-11）位厚度取“+”號(hào)，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時(shí)針?lè)较?/p>

假設(shè)單層膜系入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率為

，膜層幾何厚度為

，如圖4-3（a）所示，由此根據(jù)式（4-3）和式（4-4），可寫出兩個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和相位厚度為假設(shè)單層膜系入射介質(zhì)折射率為，基底由于是增透膜，

，

，兩振幅反射系數(shù)矢量見圖4-3（b），振幅反射系數(shù)合成矢量見圖4-3（c）。顯然，當(dāng)相位厚度變化時(shí)，合成矢量的軌跡為一個(gè)圓。在垂直入射的情況下，如果膜層光學(xué)厚度取四分之一波長(zhǎng)，那么相位厚度為由于是增透膜，，，兩振幅（4-12）在中心波長(zhǎng)

處，有由此可知兩振幅反射系數(shù)矢量方向相反（見圖4-3（c）虛線矢量），合成矢量取最小值。如果兩矢量大小相等，則在中心波長(zhǎng)處反射率為零。根據(jù)式（4-3）和式（4-4）知，零反射條件為（4-13）（4-14）（4-12）在中心波長(zhǎng)處，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）與式（3-51）完全相同。因此，當(dāng)入射介質(zhì)和基底介質(zhì)折射率給定之后，利用矢量法可簡(jiǎn)單確定零反射膜層折射率和相位厚度。

例二

兩層增透膜。如圖4-4（a）所示為兩層增透膜結(jié)構(gòu)，假設(shè)入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率分別為

和

，且

，

，膜層幾何厚度分別為

和

。根據(jù)式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系設(shè)計(jì)圖示法課件式（4-4）和式（4-5），可寫出三個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和垂直入射時(shí)的相位厚度分別為由此可畫出三個(gè)振幅反射系數(shù)矢量圖4-4（b）和圖4-4（c），三個(gè)矢量合成都可以得到封閉式（4-4）和式（4-5），可寫出三個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，所以選擇圖4-4（c）為好，其合成矢量見圖4-4（d）。相位厚度小也具有對(duì)入射光波長(zhǎng)的敏感度低和增透波段較寬的優(yōu)點(diǎn)。

假設(shè)入射介質(zhì)為空氣

，基底介質(zhì)為玻璃

，兩介質(zhì)膜層折射率分別為

（氟化鎂

）和

（二氧化鈰

），中心波長(zhǎng)取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得數(shù)值代入得到兩層膜的相位變化為在垂直入射情況下，兩層膜光學(xué)厚度為根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得根據(jù)式（4-8），有膜系反射率為數(shù)值代入，得到中心波長(zhǎng)處的反射率為根據(jù)式（4-8），有圖4-5是兩層增透膜系的反射率矢量法理論計(jì)算曲線。2.高折射率基底三層增透膜設(shè)計(jì)

例三設(shè)三層增透膜系為圖4-5是兩層增透膜系2.高折射率基底三層增透膜設(shè)計(jì)入射介質(zhì)為空氣

,基底介質(zhì)為鍺

，三層介質(zhì)膜折射率分別記為

，

和

，且滿足三層介質(zhì)膜光學(xué)厚度均為

，其膜系構(gòu)成如圖4-6（a）所示。根據(jù)式（4-3）至式（4-7）可知，反射系數(shù)

、

、

和

均取負(fù)值，四個(gè)矢量均指向原點(diǎn)。在垂直入射的情況下，當(dāng)膜層光學(xué)厚度入射介質(zhì)為空氣,基底介質(zhì)為鍺時(shí)，相位厚度為或如果入射光波長(zhǎng)

，即

，則有四個(gè)矢量均指向原點(diǎn)，相位相差

，如圖4-6（b）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，就可構(gòu)成如圖4-6（c）所示的封閉四邊形，合成矢時(shí)，相位厚度為量為零，即在波長(zhǎng)

處出現(xiàn)零反射

。量為零，即在波長(zhǎng)處出現(xiàn)零反射如果入射光波長(zhǎng)為中心波長(zhǎng)

,即

,則有四個(gè)矢量彼此平行并指向原點(diǎn)，如圖4-6（d）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，就構(gòu)成如圖4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量為零，即在

處出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長(zhǎng)為

，即

，則有如果入射光波長(zhǎng)為中心波長(zhǎng),四個(gè)矢量方向指向原點(diǎn)，相位相差

，如圖4-6（f）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，合成矢量就構(gòu)成如圖4-6（g）所示的封閉四邊形，矢量和為零，即在

出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長(zhǎng)取

，即

，則有四個(gè)矢量相位相差

并指向原點(diǎn)，如圖4-6（h）所示。四個(gè)矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不為零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率與

的反射率相同。綜上所述，可畫出三層增透膜設(shè)計(jì)反射率曲線四個(gè)矢量方向指向原點(diǎn)，相位相差，如圖4-6（如圖4-7所示。設(shè)計(jì)過(guò)程中如果假定反射系數(shù)的大小相等

，即根據(jù)合分比定理，有求解可得如圖4-7所示。設(shè)計(jì)過(guò)程中如果假定反射系數(shù)的大小相等，即將

和

代入，得到這就是制備三層增透膜所需材料的折射率。但由于可供選擇的材料有限，一種近似選擇方案是該增透膜的實(shí)測(cè)透射率曲線如圖4-8所示，其中心波長(zhǎng)選擇.(4-16)將和代入，得到矢量法簡(jiǎn)單易行，不難推廣到四層、五層和更多層增透膜設(shè)計(jì)中去，以得到更寬的低反射區(qū)域。4.2導(dǎo)納圖解法光學(xué)等效導(dǎo)納

可以是單一基底介質(zhì)的有矢量法簡(jiǎn)單易行，不難推廣到四層、五層和更多層效導(dǎo)納，也可以是多層介質(zhì)膜系的等效導(dǎo)納，整個(gè)膜系多界面的反射和透射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由

和

表達(dá)的單一等效界面的反射和透射，因此光學(xué)等效導(dǎo)納

的變化反映了膜系的反射和透射以及相位變化特性，其軌跡可直觀描述薄膜系統(tǒng)的特性，給膜系設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大方便。4.2.1單一等效界面等反射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖

在垂直入射情況下，由式（3-63）可知，對(duì)于S-波偏振和P-波偏振光學(xué)有效導(dǎo)納均為效導(dǎo)納，也可以是多層介質(zhì)膜系的等效導(dǎo)納，整個(gè)膜系多界面的反射(4-17)

表示介質(zhì)膜層的折射率。現(xiàn)假設(shè)入射介質(zhì)折射率為，透射介質(zhì)的光學(xué)等效導(dǎo)納為其中

為介質(zhì)的等效折射率，

構(gòu)成光學(xué)等效導(dǎo)納復(fù)平面，

對(duì)應(yīng)上半復(fù)平面，

對(duì)應(yīng)下半復(fù)平面。需要注意的是，此處

為光學(xué)等效導(dǎo)納的虛部，與吸收介質(zhì)的消光系數(shù)

不同，為了形式上的統(tǒng)一此處選取虛部為

。根據(jù)式（3-65）可寫出界面反射率為(4-18)(4-17)表示介質(zhì)膜層的折射率。現(xiàn)假設(shè)入射介質(zhì)折射(4-19)展開并整理，可得記則有顯然這是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展開并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也稱導(dǎo)納軌跡方程，圓心

位于復(fù)平面實(shí)軸

，圓半徑為

。如果給定反射率，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等反射率圓，如圖4-9所示。當(dāng)

，等反射率圓縮為在實(shí)軸上的一點(diǎn)

。

又根據(jù)式（3-65），將界面反射程，也稱導(dǎo)納軌跡方程，圓心位于復(fù)平面實(shí)軸系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有令式（4-23）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令則有這也是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方程，圓心

位于復(fù)平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圓具有如下特點(diǎn)：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.當(dāng)

，

，

，圓心

位于復(fù)平面虛軸上正向無(wú)窮遠(yuǎn)處，等相位圓半徑

，導(dǎo)納軌跡對(duì)應(yīng)于實(shí)軸。2.當(dāng)

，，

，圓心

位于復(fù)平面虛軸上負(fù)向無(wú)窮遠(yuǎn)處，等相位圓半徑，導(dǎo)納軌跡也對(duì)應(yīng)于實(shí)軸。3.

當(dāng)

，

，，圓心

位于坐標(biāo)原點(diǎn)，等相位圓半徑

，即等相位圓過(guò)點(diǎn)

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.當(dāng)，，表明不管

取何值等相位圓必過(guò)點(diǎn)

，即等相位圓均相交于實(shí)軸

處。

5.幅角

、

、

和

對(duì)應(yīng)的等相位圓將復(fù)平面化為四個(gè)象限。等反射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖作為光學(xué)等效導(dǎo)納Y的函數(shù)，包含了膜系層間厚度和膜層折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通過(guò)不同的膜系來(lái)實(shí)現(xiàn)。換句話說(shuō)，就是滿足圓方程的點(diǎn)

都可以得到相同的反射率，這樣就給選擇鍍膜參數(shù)提供了方便。表明不管取何值等相位圓必過(guò)點(diǎn)，即等4.2.2單層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖對(duì)于如圖4-10（a）所示的單層膜系，假設(shè)入射介質(zhì)折射率為

，膜層折射率為

，膜層厚度為

，基底介質(zhì)折射率為

，則此單層膜系可等效為如圖4-10（b）所示的單界4.2.2單層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖面膜系。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出單層膜系組合特征向量為式中由此可得單層膜系光學(xué)等效導(dǎo)納為(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到(4-32)(4則有此式是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方程，圓心

位于復(fù)平面實(shí)軸

，圓半徑為

。如果(4-35)給定膜層折射率

和

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等折射率圓，如圖4-11所示。則有(4-35)給定膜層折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令則有此式也是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圓心

位于復(fù)平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-11所示。下面就等折射率圓方程（4-35）和等相位圓方程（4-38）作簡(jiǎn)單討論。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圓與復(fù)平面實(shí)軸的交點(diǎn)為A點(diǎn)對(duì)應(yīng)未鍍膜基底介質(zhì)的折射率，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層光學(xué)厚度

時(shí)的等效折射率，見（4-39）程，圓心位于復(fù)平面虛軸式（3-50）。在膜層折射率

給定的情況下，且

，式（4-35）的圓曲線反映了光學(xué)等效導(dǎo)納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（a）所示。當(dāng)膜層光學(xué)厚度繼續(xù)增大,至

，圓曲線又從點(diǎn)C又回到點(diǎn)A，這就是第三章討論過(guò)的“無(wú)效”層，因此，在光學(xué)等效導(dǎo)納復(fù)平面上，圓代表“無(wú)效”層。

2.當(dāng)

時(shí)，光學(xué)等效導(dǎo)納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（b）所示，同樣A點(diǎn)對(duì)應(yīng)于未鍍膜基底介質(zhì)的折射率，而C點(diǎn)對(duì)應(yīng)于膜層光學(xué)厚度

時(shí)的等效折射率。式（3-50）。在膜層折射率給定的情況下，且3.由式（4-26）可以看出，對(duì)于給定的反射率R，等相位導(dǎo)納圓的圓心

隨著幅角

的變化從虛軸正向向負(fù)向移動(dòng)，而根據(jù)式（4-3.由式（4-26）可以看出，對(duì)于給定的反射率R，-37），對(duì)于給定的折射率

，單層膜的等相位導(dǎo)納圓的圓心

隨相位厚度的變化從虛軸負(fù)向向正向移動(dòng)，兩者正好相反，如圖4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圓必過(guò)點(diǎn)

，即等相位導(dǎo)納圓均相交于實(shí)軸

處。

5.半圓

代表相位厚度

，即光學(xué)厚度

,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等相位厚度為

，所以

和

代表的光學(xué)厚度均為

，

和(4-40)-37），對(duì)于給定的折射率，單層膜的等相位導(dǎo)納圓的圓亦是如此。

6.在圖4-12等折射率導(dǎo)納圓圖上每一點(diǎn)都代表整個(gè)膜系的光學(xué)等效導(dǎo)納Y,任取一點(diǎn)

,圖4-9等反射率導(dǎo)納圓圖上可找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

，如果反射率R滿足設(shè)計(jì)要求，圖4-12中點(diǎn)

相對(duì)應(yīng)的

就可作為相位厚度的值，由此也可得到膜層厚度

。4.2.3多層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖圖4-13（a）是兩層膜系構(gòu)成，入射介質(zhì)折射率為

,兩膜層折射率分別為

和

，

記低折射率膜，

記高折射率膜，膜層厚度亦是如此。分別為

和

，膜層光學(xué)厚度均為

，基底介質(zhì)折射率

。兩層膜系等效為單一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如圖4-13（b）和4-13（c）所示。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出兩層膜系組合特征向量為分別為和，膜層光學(xué)厚度均為，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效為由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到(4-45)(4則有此式就是折射率

所對(duì)應(yīng)的等折射率導(dǎo)納圓。由式（4-39）可知，在復(fù)平面上等折射率導(dǎo)納圓與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4-48）（4-49）則有（4-48）（4-49）如圖4-14所示，其中B點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層2光學(xué)厚度為

。根據(jù)式（4-41），第二次等效可表達(dá)為由此得到由于膜層厚度為

，B點(diǎn)為銜接點(diǎn)，其光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)（4-50）（4-51）如圖4-14所示，其中B點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層2光學(xué)厚度為（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實(shí)部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實(shí)部和令則有此式就是折射率

所對(duì)應(yīng)的等折射率導(dǎo)納圓。令

，并將式（4-52）代入，由圓方程（4-56）得到在復(fù)平面上等折射率圓與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層1光學(xué)厚度為

，如圖4-14所示。

如果膜層2的光學(xué)厚度任意取值，等效銜接點(diǎn)就不在實(shí)軸上，等折射率導(dǎo)納圓上相對(duì)應(yīng)的光學(xué)等效導(dǎo)納

取復(fù)值.設(shè)光學(xué)等效導(dǎo)納為式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層1光學(xué)厚度為，如圖4-14將

代入式（4-51），并令式中實(shí)部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令（4-60）（4-61）將代入式（4-51），并令式中實(shí)部和虛步分別相等，有（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同的圓方程，表明膜系光學(xué)厚度任意取值，等折射率導(dǎo)納圓圖的形式不變，僅改變圓心位置和半徑。例四

如圖4-13(a)所示,設(shè)膜系參數(shù)為,

，

，

，

，試求膜系光學(xué)等效導(dǎo)納Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光學(xué)等效導(dǎo)納為（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同(4-63)數(shù)值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圓圖上找到與Y相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射率值R和相位

就是膜系中心波長(zhǎng)

處的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光學(xué)等效導(dǎo)納Y與入射介質(zhì)折射率

越接近，反射率R值越小，所以當(dāng)(4-64)(4-63)數(shù)值代入得到(4-64)入射介質(zhì)折射率

給定之后，也可以由等折射率導(dǎo)納圓圖直接對(duì)膜系在中心波長(zhǎng)

處的反射率R做出判斷，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四層膜系構(gòu)成如圖4-15（a）所示，膜層光學(xué)厚度均為

，試畫出該膜系等折射率導(dǎo)納圓圖。

解

采用逐次等效法。根據(jù)式（4-46），第一次等效可得圓方程入射介質(zhì)折射率給定之后，也可以由等折射率導(dǎo)納圓圖直接對(duì)膜系由此求得與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為由此求得與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為交點(diǎn)B光學(xué)厚度為

，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納

取實(shí)數(shù)，有由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。根據(jù)式（4-54）知，第二次等效可得圓方程為該圓與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為交點(diǎn)B光學(xué)厚度為，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度

，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納

取實(shí)數(shù)，有由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。又根據(jù)式（4-54）知，第三次等效可得圓方程為該圓與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為C點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度

，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納

取值為由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。第四次等效，同理可得等折射率導(dǎo)納圓與實(shí)軸交點(diǎn)為光學(xué)等效導(dǎo)納

取值為D點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納取值為由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。取

，

，

，

，計(jì)算可得由此可畫出膜系等折射率導(dǎo)納圓圖如圖4-15（b）所示。4.3金屬膜導(dǎo)納圓圖金屬膜存在吸收損耗，折射率

取復(fù)數(shù)由于，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)形式（1-10）。在垂直入射的情況下，由式（3-70）可知，對(duì)于S-波偏振和P-波偏振金屬膜的光學(xué)有效導(dǎo)納為式中

為金屬膜的折射率，

為消光系數(shù)。假設(shè)單層膜系構(gòu)成入射介質(zhì)折射率為

，金屬膜復(fù)折射率

，基底介質(zhì)折射率為

。根據(jù)式（3-69）可寫出金屬膜相位厚度為(4-67)(4-68)形式（1-10）。在垂直入射的情況下，由式（3-70）可知，顯然，與無(wú)吸收介質(zhì)的情況不同，金屬膜相位厚度為復(fù)數(shù)，不能采用§4.2節(jié)的方法進(jìn)行處理。為了得到金屬膜導(dǎo)納圓圖，首先假定式（4-68）中

（

§4.2已經(jīng)討論）。為簡(jiǎn)單起見，記由于(4-69)（4-70）顯然，與無(wú)吸收介質(zhì)的情況不同，金屬膜相位厚度為復(fù)數(shù)，不能采用代入可得根據(jù)式（3-68），可寫出膜系特征向量為由此得到膜系等效導(dǎo)納（4-71）（4-72）代入可得（4-71）（4-72）（4-73）令式（4-73）中的實(shí)部和虛部分別相等，有兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到（4-74）（4-75）（4-73）令式（4-73）中的實(shí)部和虛部分別相等，有（4-令則有這就是消光系數(shù)為

的金屬膜導(dǎo)納圓圖方程，圓心為

，圓半徑為

。當(dāng)

，求解可得實(shí)軸上兩交點(diǎn)為而當(dāng)

，得到虛軸兩交點(diǎn)為（4-76）（4-77）（4-78）令（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金屬膜導(dǎo)納圓在導(dǎo)納圖實(shí)軸上

僅有交點(diǎn)

，而在虛軸上存在兩個(gè)交點(diǎn)

和

，并且不管

為何值，虛軸上交點(diǎn)不變。消光系數(shù)為

的金屬膜導(dǎo)納圓如圖4-16（a）所示（實(shí)線）。在式（4-74）中消去

，得到（4-80）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金屬膜導(dǎo)納圓令（4-81）令（4-81）得到金屬膜等相位圓方程為圓心為

，圓半徑為

。消光系數(shù)為

的金屬膜等相位導(dǎo)納圓如圖4-16（a）所示（虛線）。上述討論假定

，但實(shí)際上金屬膜的折射率并不為零。比如可見光波段，金屬鉑、金、銀和鋁在波長(zhǎng)

的復(fù)折射率分別為鉑（Pt）：（4-82）得到金屬膜等相位圓方程為（4-82）金（Au）：銀（Ag）：

鋁（Al）:對(duì)于金和銀，比值

約為

和

，鉑和鋁約為

和

。如果比值

比較大，則金屬膜的導(dǎo)納圖與

的情況很接近，僅需要將圖4-16（a）依

的大小逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)小的角度，銀膜的導(dǎo)納圓圖如圖4-16（b）所示，導(dǎo)納圓均相交于點(diǎn)

和點(diǎn)

。如果金屬膜

比值比較小，其導(dǎo)納圓圖與

的情況相差比較大，其導(dǎo)納圓圖是沿螺金（Au）：旋線終止于點(diǎn)

。4.4膜系層間電場(chǎng)分布導(dǎo)納圖的另外一種用途是對(duì)于給定膜系的反射率R可畫出膜系內(nèi)的電場(chǎng)分布，這對(duì)于分析薄膜抗激光損傷的能力很有幫助。假設(shè)膜系入射介質(zhì)折射率為

，透射介質(zhì)光學(xué)等效導(dǎo)納為

，對(duì)于各向同性無(wú)損耗介質(zhì)膜系，根據(jù)式（2-223），在界面兩側(cè)入射波、反射波和透射波滿足能量守恒（4-83）旋線終止于點(diǎn)。（4-83）移項(xiàng)，并利用定義式（2-218）和式（2-220），得到假設(shè)入射光光強(qiáng)為

，根據(jù)光強(qiáng)的定義式（1-55），有（4-84）（4-85）移項(xiàng)，并利用定義式（2-218）和式（2-220），得到（4由于

，代入得到在垂直入射的情況下，并假定入射光強(qiáng)

，而

，代入得到該式表明，當(dāng)膜系反射率R不變時(shí)，膜系內(nèi)任一點(diǎn)透射電場(chǎng)強(qiáng)度的大小

與等效折射率

（4-86）（4-87）由于，代入得到（4-86）（4-8的平方根成反比。圖4-17所示為入射光強(qiáng)

時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度在導(dǎo)納圖中隨等效折射率

的變化。顯然，電場(chǎng)強(qiáng)度等值線平行于導(dǎo)納圖虛軸。的平方根成反比。圖4-17所示為入射光強(qiáng)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)第一篇第四章-膜系設(shè)計(jì)圖示法課件第一篇第四章-膜系設(shè)計(jì)圖示法課件第四章膜系設(shè)計(jì)圖示法曹建章第四章膜系設(shè)計(jì)圖示法第三章討論了對(duì)于任意多層膜反射和透射特性計(jì)算的矩陣方法，這種方法是設(shè)計(jì)各種類型膜系的基礎(chǔ)，也是目前最為實(shí)用的方法，因而在應(yīng)用中廣泛使用，并依此編寫成專門的薄膜光學(xué)設(shè)計(jì)軟件。除此之外，膜系設(shè)計(jì)還用到矢量近似法和導(dǎo)納圖解法。對(duì)于層數(shù)比較少的增透膜計(jì)算和設(shè)計(jì)，作為輔助手段矢量法很有效。導(dǎo)納圖解法又稱斯密斯圓圖方法，該方法最早（1939年）是用于電路中求解傳輸線問(wèn)題，在滿足工程需要的前提條件下，簡(jiǎn)單易行，避免了復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算?，F(xiàn)在，電路中的傳輸?shù)谌掠懻摿藢?duì)于任意多層膜反射和透射特性計(jì)線計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算機(jī)在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方法已經(jīng)很少使用。但在薄膜光學(xué)中，導(dǎo)納圖解法是一種很直觀的方法，在膜系設(shè)計(jì)中非常有用。另外，有文獻(xiàn)仍利用該方法設(shè)計(jì)誘導(dǎo)濾光片，并得到好的結(jié)果。4.1矢量法

假設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)

和

，其指數(shù)形式為（4-1）線計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算機(jī)在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方用矢量表示如圖4-1所示，其中

和

表示兩矢量的模，而

和

分別表示兩矢量的幅角。兩復(fù)數(shù)的和（即矢量和）為這就是膜系設(shè)計(jì)矢量法的基本思想。矢量法有三個(gè)近似條件：①膜層沒(méi)有吸收；②在多層膜計(jì)算中僅考慮入射光在各個(gè)界面的一次反射；③各個(gè)界面的振幅反射系數(shù)的模取垂直入射時(shí)的反射系數(shù)，并不是取模，這樣膜層間由于折射率大小反射系數(shù)可出現(xiàn)負(fù)號(hào)。由（4-2）用矢量表示如圖4-1所示，其中和表示兩矢量的此可見，矢量法明顯存在誤差。

現(xiàn)假設(shè)四層膜系如圖4-2（a）所示，入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率分別為

、

、

和

，膜層幾何厚此可見，矢量法明顯存在誤差。度分別為、、和。由此可寫出各個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和層間相位厚度為（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分別為、、和。由此可寫出各個(gè)界將各個(gè)界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為如果膜層折射率大小滿足那么，有如果振幅反射系數(shù)矢量大小為負(fù)，矢量指向原點(diǎn)；如果振幅反射系數(shù)矢量大小為正，矢量指向由原點(diǎn)向外。振幅反射系數(shù)矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)將各個(gè)界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為(4-8位厚度取“+”號(hào)，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；如果振幅反射系數(shù)矢量的相位厚度取“-”號(hào)，矢量圖矢量方位順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。由此可畫出各個(gè)界面振幅反射系數(shù)矢量如圖4-2（b）所示，圖4-2（c）為振幅反射系數(shù)合成矢量。根據(jù)式（4-8），可得膜系反射率為

1.低折射率基底增透膜設(shè)計(jì)

例一

單層增透膜。（4-11）位厚度取“+”號(hào)，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時(shí)針?lè)较?/p>

假設(shè)單層膜系入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率為

，膜層幾何厚度為

，如圖4-3（a）所示，由此根據(jù)式（4-3）和式（4-4），可寫出兩個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和相位厚度為假設(shè)單層膜系入射介質(zhì)折射率為，基底由于是增透膜，

，

，兩振幅反射系數(shù)矢量見圖4-3（b），振幅反射系數(shù)合成矢量見圖4-3（c）。顯然，當(dāng)相位厚度變化時(shí)，合成矢量的軌跡為一個(gè)圓。在垂直入射的情況下，如果膜層光學(xué)厚度取四分之一波長(zhǎng)，那么相位厚度為由于是增透膜，，，兩振幅（4-12）在中心波長(zhǎng)

處，有由此可知兩振幅反射系數(shù)矢量方向相反（見圖4-3（c）虛線矢量），合成矢量取最小值。如果兩矢量大小相等，則在中心波長(zhǎng)處反射率為零。根據(jù)式（4-3）和式（4-4）知，零反射條件為（4-13）（4-14）（4-12）在中心波長(zhǎng)處，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）與式（3-51）完全相同。因此，當(dāng)入射介質(zhì)和基底介質(zhì)折射率給定之后，利用矢量法可簡(jiǎn)單確定零反射膜層折射率和相位厚度。

例二

兩層增透膜。如圖4-4（a）所示為兩層增透膜結(jié)構(gòu)，假設(shè)入射介質(zhì)折射率為

，基底介質(zhì)折射率為

，膜層折射率分別為

和

，且

，

，膜層幾何厚度分別為

和

。根據(jù)式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系設(shè)計(jì)圖示法課件式（4-4）和式（4-5），可寫出三個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系數(shù)和垂直入射時(shí)的相位厚度分別為由此可畫出三個(gè)振幅反射系數(shù)矢量圖4-4（b）和圖4-4（c），三個(gè)矢量合成都可以得到封閉式（4-4）和式（4-5），可寫出三個(gè)界面垂直入射時(shí)的反射系三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，所以選擇圖4-4（c）為好，其合成矢量見圖4-4（d）。相位厚度小也具有對(duì)入射光波長(zhǎng)的敏感度低和增透波段較寬的優(yōu)點(diǎn)。

假設(shè)入射介質(zhì)為空氣

，基底介質(zhì)為玻璃

，兩介質(zhì)膜層折射率分別為

（氟化鎂

）和

（二氧化鈰

），中心波長(zhǎng)取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得數(shù)值代入得到兩層膜的相位變化為在垂直入射情況下，兩層膜光學(xué)厚度為根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得根據(jù)式（4-8），有膜系反射率為數(shù)值代入，得到中心波長(zhǎng)處的反射率為根據(jù)式（4-8），有圖4-5是兩層增透膜系的反射率矢量法理論計(jì)算曲線。2.高折射率基底三層增透膜設(shè)計(jì)

例三設(shè)三層增透膜系為圖4-5是兩層增透膜系2.高折射率基底三層增透膜設(shè)計(jì)入射介質(zhì)為空氣

,基底介質(zhì)為鍺

，三層介質(zhì)膜折射率分別記為

，

和

，且滿足三層介質(zhì)膜光學(xué)厚度均為

，其膜系構(gòu)成如圖4-6（a）所示。根據(jù)式（4-3）至式（4-7）可知，反射系數(shù)

、

、

和

均取負(fù)值，四個(gè)矢量均指向原點(diǎn)。在垂直入射的情況下，當(dāng)膜層光學(xué)厚度入射介質(zhì)為空氣,基底介質(zhì)為鍺時(shí)，相位厚度為或如果入射光波長(zhǎng)

，即

，則有四個(gè)矢量均指向原點(diǎn)，相位相差

，如圖4-6（b）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，就可構(gòu)成如圖4-6（c）所示的封閉四邊形，合成矢時(shí)，相位厚度為量為零，即在波長(zhǎng)

處出現(xiàn)零反射

。量為零，即在波長(zhǎng)處出現(xiàn)零反射如果入射光波長(zhǎng)為中心波長(zhǎng)

,即

,則有四個(gè)矢量彼此平行并指向原點(diǎn)，如圖4-6（d）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，就構(gòu)成如圖4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量為零，即在

處出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長(zhǎng)為

，即

，則有如果入射光波長(zhǎng)為中心波長(zhǎng),四個(gè)矢量方向指向原點(diǎn)，相位相差

，如圖4-6（f）所示。如果四個(gè)矢量大小相等，合成矢量就構(gòu)成如圖4-6（g）所示的封閉四邊形，矢量和為零，即在

出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長(zhǎng)取

，即

，則有四個(gè)矢量相位相差

并指向原點(diǎn)，如圖4-6（h）所示。四個(gè)矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不為零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率與

的反射率相同。綜上所述，可畫出三層增透膜設(shè)計(jì)反射率曲線四個(gè)矢量方向指向原點(diǎn)，相位相差，如圖4-6（如圖4-7所示。設(shè)計(jì)過(guò)程中如果假定反射系數(shù)的大小相等

，即根據(jù)合分比定理，有求解可得如圖4-7所示。設(shè)計(jì)過(guò)程中如果假定反射系數(shù)的大小相等，即將

和

代入，得到這就是制備三層增透膜所需材料的折射率。但由于可供選擇的材料有限，一種近似選擇方案是該增透膜的實(shí)測(cè)透射率曲線如圖4-8所示，其中心波長(zhǎng)選擇.(4-16)將和代入，得到矢量法簡(jiǎn)單易行，不難推廣到四層、五層和更多層增透膜設(shè)計(jì)中去，以得到更寬的低反射區(qū)域。4.2導(dǎo)納圖解法光學(xué)等效導(dǎo)納

可以是單一基底介質(zhì)的有矢量法簡(jiǎn)單易行，不難推廣到四層、五層和更多層效導(dǎo)納，也可以是多層介質(zhì)膜系的等效導(dǎo)納，整個(gè)膜系多界面的反射和透射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由

和

表達(dá)的單一等效界面的反射和透射，因此光學(xué)等效導(dǎo)納

的變化反映了膜系的反射和透射以及相位變化特性，其軌跡可直觀描述薄膜系統(tǒng)的特性，給膜系設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大方便。4.2.1單一等效界面等反射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖

在垂直入射情況下，由式（3-63）可知，對(duì)于S-波偏振和P-波偏振光學(xué)有效導(dǎo)納均為效導(dǎo)納，也可以是多層介質(zhì)膜系的等效導(dǎo)納，整個(gè)膜系多界面的反射(4-17)

表示介質(zhì)膜層的折射率。現(xiàn)假設(shè)入射介質(zhì)折射率為，透射介質(zhì)的光學(xué)等效導(dǎo)納為其中

為介質(zhì)的等效折射率，

構(gòu)成光學(xué)等效導(dǎo)納復(fù)平面，

對(duì)應(yīng)上半復(fù)平面，

對(duì)應(yīng)下半復(fù)平面。需要注意的是，此處

為光學(xué)等效導(dǎo)納的虛部，與吸收介質(zhì)的消光系數(shù)

不同，為了形式上的統(tǒng)一此處選取虛部為

。根據(jù)式（3-65）可寫出界面反射率為(4-18)(4-17)表示介質(zhì)膜層的折射率。現(xiàn)假設(shè)入射介質(zhì)折射(4-19)展開并整理，可得記則有顯然這是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展開并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也稱導(dǎo)納軌跡方程，圓心

位于復(fù)平面實(shí)軸

，圓半徑為

。如果給定反射率，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等反射率圓，如圖4-9所示。當(dāng)

，等反射率圓縮為在實(shí)軸上的一點(diǎn)

。

又根據(jù)式（3-65），將界面反射程，也稱導(dǎo)納軌跡方程，圓心位于復(fù)平面實(shí)軸系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有令式（4-23）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令則有這也是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方程，圓心

位于復(fù)平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圓具有如下特點(diǎn)：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.當(dāng)

，

，

，圓心

位于復(fù)平面虛軸上正向無(wú)窮遠(yuǎn)處，等相位圓半徑

，導(dǎo)納軌跡對(duì)應(yīng)于實(shí)軸。2.當(dāng)

，，

，圓心

位于復(fù)平面虛軸上負(fù)向無(wú)窮遠(yuǎn)處，等相位圓半徑，導(dǎo)納軌跡也對(duì)應(yīng)于實(shí)軸。3.

當(dāng)

，

，，圓心

位于坐標(biāo)原點(diǎn)，等相位圓半徑

，即等相位圓過(guò)點(diǎn)

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.當(dāng)，，表明不管

取何值等相位圓必過(guò)點(diǎn)

，即等相位圓均相交于實(shí)軸

處。

5.幅角

、

、

和

對(duì)應(yīng)的等相位圓將復(fù)平面化為四個(gè)象限。等反射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖作為光學(xué)等效導(dǎo)納Y的函數(shù)，包含了膜系層間厚度和膜層折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通過(guò)不同的膜系來(lái)實(shí)現(xiàn)。換句話說(shuō)，就是滿足圓方程的點(diǎn)

都可以得到相同的反射率，這樣就給選擇鍍膜參數(shù)提供了方便。表明不管取何值等相位圓必過(guò)點(diǎn)，即等4.2.2單層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖對(duì)于如圖4-10（a）所示的單層膜系，假設(shè)入射介質(zhì)折射率為

，膜層折射率為

，膜層厚度為

，基底介質(zhì)折射率為

，則此單層膜系可等效為如圖4-10（b）所示的單界4.2.2單層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖和等相位導(dǎo)納圓圖面膜系。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出單層膜系組合特征向量為式中由此可得單層膜系光學(xué)等效導(dǎo)納為(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到(4-32)(4則有此式是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方程，圓心

位于復(fù)平面實(shí)軸

，圓半徑為

。如果(4-35)給定膜層折射率

和

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等折射率圓，如圖4-11所示。則有(4-35)給定膜層折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令則有此式也是在復(fù)平面

上關(guān)于

和

的圓方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圓心

位于復(fù)平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導(dǎo)納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-11所示。下面就等折射率圓方程（4-35）和等相位圓方程（4-38）作簡(jiǎn)單討論。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圓與復(fù)平面實(shí)軸的交點(diǎn)為A點(diǎn)對(duì)應(yīng)未鍍膜基底介質(zhì)的折射率，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層光學(xué)厚度

時(shí)的等效折射率，見（4-39）程，圓心位于復(fù)平面虛軸式（3-50）。在膜層折射率

給定的情況下，且

，式（4-35）的圓曲線反映了光學(xué)等效導(dǎo)納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（a）所示。當(dāng)膜層光學(xué)厚度繼續(xù)增大,至

，圓曲線又從點(diǎn)C又回到點(diǎn)A，這就是第三章討論過(guò)的“無(wú)效”層，因此，在光學(xué)等效導(dǎo)納復(fù)平面上，圓代表“無(wú)效”層。

2.當(dāng)

時(shí)，光學(xué)等效導(dǎo)納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（b）所示，同樣A點(diǎn)對(duì)應(yīng)于未鍍膜基底介質(zhì)的折射率，而C點(diǎn)對(duì)應(yīng)于膜層光學(xué)厚度

時(shí)的等效折射率。式（3-50）。在膜層折射率給定的情況下，且3.由式（4-26）可以看出，對(duì)于給定的反射率R，等相位導(dǎo)納圓的圓心

隨著幅角

的變化從虛軸正向向負(fù)向移動(dòng)，而根據(jù)式（4-3.由式（4-26）可以看出，對(duì)于給定的反射率R，-37），對(duì)于給定的折射率

，單層膜的等相位導(dǎo)納圓的圓心

隨相位厚度的變化從虛軸負(fù)向向正向移動(dòng)，兩者正好相反，如圖4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圓必過(guò)點(diǎn)

，即等相位導(dǎo)納圓均相交于實(shí)軸

處。

5.半圓

代表相位厚度

，即光學(xué)厚度

,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等相位厚度為

，所以

和

代表的光學(xué)厚度均為

，

和(4-40)-37），對(duì)于給定的折射率，單層膜的等相位導(dǎo)納圓的圓亦是如此。

6.在圖4-12等折射率導(dǎo)納圓圖上每一點(diǎn)都代表整個(gè)膜系的光學(xué)等效導(dǎo)納Y,任取一點(diǎn)

,圖4-9等反射率導(dǎo)納圓圖上可找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

，如果反射率R滿足設(shè)計(jì)要求，圖4-12中點(diǎn)

相對(duì)應(yīng)的

就可作為相位厚度的值，由此也可得到膜層厚度

。4.2.3多層膜系等折射率導(dǎo)納圓圖圖4-13（a）是兩層膜系構(gòu)成，入射介質(zhì)折射率為

,兩膜層折射率分別為

和

，

記低折射率膜，

記高折射率膜，膜層厚度亦是如此。分別為

和

，膜層光學(xué)厚度均為

，基底介質(zhì)折射率

。兩層膜系等效為單一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如圖4-13（b）和4-13（c）所示。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出兩層膜系組合特征向量為分別為和，膜層光學(xué)厚度均為，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效為由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的實(shí)部和虛步分別相等，得到(4-45)(4則有此式就是折射率

所對(duì)應(yīng)的等折射率導(dǎo)納圓。由式（4-39）可知，在復(fù)平面上等折射率導(dǎo)納圓與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4-48）（4-49）則有（4-48）（4-49）如圖4-14所示，其中B點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層2光學(xué)厚度為

。根據(jù)式（4-41），第二次等效可表達(dá)為由此得到由于膜層厚度為

，B點(diǎn)為銜接點(diǎn)，其光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)（4-50）（4-51）如圖4-14所示，其中B點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層2光學(xué)厚度為（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實(shí)部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實(shí)部和令則有此式就是折射率

所對(duì)應(yīng)的等折射率導(dǎo)納圓。令

，并將式（4-52）代入，由圓方程（4-56）得到在復(fù)平面上等折射率圓與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層1光學(xué)厚度為

，如圖4-14所示。

如果膜層2的光學(xué)厚度任意取值，等效銜接點(diǎn)就不在實(shí)軸上，等折射率導(dǎo)納圓上相對(duì)應(yīng)的光學(xué)等效導(dǎo)納

取復(fù)值.設(shè)光學(xué)等效導(dǎo)納為式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C點(diǎn)對(duì)應(yīng)膜層1光學(xué)厚度為，如圖4-14將

代入式（4-51），并令式中實(shí)部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡(jiǎn)化得到令（4-60）（4-61）將代入式（4-51），并令式中實(shí)部和虛步分別相等，有（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同的圓方程，表明膜系光學(xué)厚度任意取值，等折射率導(dǎo)納圓圖的形式不變，僅改變圓心位置和半徑。例四

如圖4-13(a)所示,設(shè)膜系參數(shù)為,

，

，

，

，試求膜系光學(xué)等效導(dǎo)納Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光學(xué)等效導(dǎo)納為（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同(4-63)數(shù)值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圓圖上找到與Y相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射率值R和相位

就是膜系中心波長(zhǎng)

處的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光學(xué)等效導(dǎo)納Y與入射介質(zhì)折射率

越接近，反射率R值越小，所以當(dāng)(4-64)(4-63)數(shù)值代入得到(4-64)入射介質(zhì)折射率

給定之后，也可以由等折射率導(dǎo)納圓圖直接對(duì)膜系在中心波長(zhǎng)

處的反射率R做出判斷，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四層膜系構(gòu)成如圖4-15（a）所示，膜層光學(xué)厚度均為

，試畫出該膜系等折射率導(dǎo)納圓圖。

解

采用逐次等效法。根據(jù)式（4-46），第一次等效可得圓方程入射介質(zhì)折射率給定之后，也可以由等折射率導(dǎo)納圓圖直接對(duì)膜系由此求得與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為由此求得與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為交點(diǎn)B光學(xué)厚度為

，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納

取實(shí)數(shù)，有由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。根據(jù)式（4-54）知，第二次等效可得圓方程為該圓與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為交點(diǎn)B光學(xué)厚度為，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度

，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納

取實(shí)數(shù)，有由于

，等折射率導(dǎo)納圓對(duì)應(yīng)于

。又根據(jù)式（4-54）知，第三次等效可得圓方程為該圓與導(dǎo)納圖實(shí)軸交點(diǎn)為C點(diǎn)對(duì)應(yīng)光學(xué)厚度，該點(diǎn)光學(xué)等效導(dǎo)納取實(shí)數(shù)D點(diǎn)