2020春冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-第22章-第22章-全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用-點(diǎn)撥習(xí)題課件

第二十二章四邊形全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用習(xí)題課第二十二章四邊形全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用習(xí)題課1本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的計(jì)算和證明等問題．近幾年又出現(xiàn)了許多與平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與全等、相似、函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的綜合題．其主要考點(diǎn)可概括為：一個(gè)定理，一個(gè)性質(zhì)，四個(gè)圖形，四個(gè)判定與性質(zhì)，四個(gè)技巧，兩種思想．本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊21考點(diǎn)一個(gè)定理——三角形的中位線定理1．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點(diǎn)．

求證：(1)四邊形EFGH是矩形；(2)四邊形EQGP是菱形．1考點(diǎn)一個(gè)定理——三角形的中位線定理1．如圖所示，已知在四邊3(1)∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的

中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF＝

AC，GH∥AC且GH＝

AC，EH∥BD，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴?EFGH是矩形．證明：(1)∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的證明：4(2)∵點(diǎn)E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的

中點(diǎn)，∴EP＝

BC，PG＝

AD，GQ＝

BC，QE＝

AD.∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四邊形EQGP是菱形．(2)∵點(diǎn)E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的5在三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)，常考慮利用三角形中位線得到線段的平行關(guān)系或數(shù)量關(guān)系．在三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)，?？紤]利用三角形中位線得到線段的平行62．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．求證：(1)四邊形ADEF是平行四邊形；(2)∠DHF＝∠DEF.2考點(diǎn)一個(gè)性質(zhì)——直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，2考點(diǎn)7證明：(1)∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC.

同理可得EF∥AB.∴四邊形ADEF是平行四邊形．(2)由(1)知四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DAF＝∠DEF.

在Rt△AHB中，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DH＝

AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.

同理可得HF＝

AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝∠DEF.證明：(1)∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC.83考點(diǎn)四個(gè)圖形3．【中考·涼山州】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC

及斜邊AB為邊向外作等邊三角形ACD及等邊三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連

接DF.(1)求證：AC＝EF；(2)求證：四邊形ADFE是平行四

邊形．圖形1平行四邊形3考點(diǎn)四個(gè)圖形3．【中考·涼山州】如圖，分別以Rt△ABC的9證明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AE＝AB，AB＝2AF，∴AF＝BC.

在Rt△BCA和Rt△AFE中，∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)，∴AC＝EF.證明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，10(2)∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.

又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.∴EF∥AD.∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.∴四邊形ADFE是平行四邊形．(2)∵△ACD是等邊三角形，114．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的

直線與BA的延長(zhǎng)線，DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：△AOE≌△COF.(2)連接EC，AF，則EF與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四

邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由．圖形2矩形4．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的圖12(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.

在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)解：當(dāng)AC＝EF時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：

由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．

又∵AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，135．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形．(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱

形？為什么？圖形3菱形5．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，圖形314(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC.

又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形．(2)解：當(dāng)AB＝BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形．

理由：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝

AB.∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝

BC.

又∵AB＝BC，∴BD＝DE.

又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形．(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，156．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后至△DBE，再把△ABC沿射線AB平移至△FEG，DE，F(xiàn)G相交于

點(diǎn)H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形．圖形4正方形6．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把圖形416(1)解：DE⊥FG.理由如下：由題意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠EDB＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)證明：∵△ABC沿射線AB平移至△FEG.∴CB∥GE，CB＝GE.∴四邊形CBEG是平行四邊形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四邊形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四邊形CBEG是正方形．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由題意，得∠A＝∠EDB＝177．如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的AD，BC邊上的點(diǎn)，且AE

＝CF.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接MF，EN，試

判斷四邊形MFNE是怎樣的四

邊形，并證明你的結(jié)論．判定與性質(zhì)1平行四邊形4四個(gè)判定與性質(zhì)考點(diǎn)7．如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的AD，BC邊上的點(diǎn)，且AE18(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四邊形MFNE是平行四邊形．證明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.

又∵M(jìn)，N分別是BE，DF的中點(diǎn)，∴ME＝FN.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四邊形MFNE是平行四邊形．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，19本題是一道猜想型問題，先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論．本題已知一個(gè)四邊形是平行四邊形，借助其性質(zhì)，利用平行四邊形的判定方法判定另一個(gè)四邊形是平行四邊形．規(guī)律總結(jié)：本題是一道猜想型問題，先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論．本題已知一個(gè)四208．【中考·湘西州】如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證：(1)△ADE≌△CBF；(2)四邊形DEBF為矩形．判定與性質(zhì)2矩形8．【中考·湘西州】如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，判定與21(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.

又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE≌△CBF.(2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.

又∵CD∥AB，∴四邊形DEBF為平行四邊形．

又∵∠DEB＝90°，∴四邊形DEBF為矩形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，證明：229．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E

是AB上一點(diǎn)，且AE＝AC，EF∥BC交AD于點(diǎn)F.

求證：四邊形CDEF是菱形．判定與性質(zhì)3菱形9．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E判定23證明：如答圖，連接CE，交AD于點(diǎn)O.∵AC＝AE，∴△ACE為等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE與DF互相垂直且平分，∴四邊形CDEF是菱形．證明：如答圖，連接CE，交AD于點(diǎn)O.2410．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，H為GE的中點(diǎn)．

求證：FB⊥BH.判定與性質(zhì)4正方形10．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，判定與25∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，DC∥AE，∠CBE＝90°，∴∠CDF＝∠E.又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E.∵H為GE的中點(diǎn)，∴HB＝HG＝

GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，∴∠FBG＋∠HBG＝90°，即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝2611．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，

使點(diǎn)A，D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1，D1處，

求陰影部分圖形的周長(zhǎng)．技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧(軸對(duì)稱變換法)5四個(gè)技巧考點(diǎn)11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E，技27∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A，D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1，D1處，∴根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.設(shè)線段D1F與線段AB交于點(diǎn)M，則陰影部分的周長(zhǎng)為(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，解：2812．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O也

是正方形A′B′C′O的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形

的邊長(zhǎng)都等于1，那么正方形A′B′C′O繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)

動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)

律？請(qǐng)說明理由．技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧(特殊位置法)12．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O也技巧2解29兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四邊形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于S△BOC.∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝

S正方形ABCD＝.∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.解：兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.解：3013．如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，

對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)及菱形ABCD的面積．(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE＋OF的

值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE＋OF

的值是否發(fā)生變化？若

不變，請(qǐng)說明理由；若

變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E，OF

之間的數(shù)量關(guān)系．技巧3解與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題的技巧(固定位置法)13．如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，31(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝

BD＝×16＝8，

由勾股定理得AG＝

＝6，

所以AC＝2AG＝2×6＝12.

所以菱形ABCD的面積＝

AC·BD＝×12×16＝96.解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，解：32(2)不發(fā)生變化．理由如下：

如圖①，連接AO，

則S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，

所以

BD·AG＝

AB·OE＋

AD·OF，

即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.

解得OE＋OF＝9.6，是定值，不變．(2)不發(fā)生變化．理由如下：33(3)發(fā)生變化．

如圖②，連接AO，

則S△ABD＝S△ABO－S△AOD，

所以

BD·AG＝

AB·OE－

AD·OF.

即×16×6＝×10·OE－×10·OF.

解得OE－OF＝9.6，是定值，不變．

所以O(shè)E＋OF的值發(fā)生變化，OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系為OE－OF＝9.6.(3)發(fā)生變化．3414．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)

部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F(xiàn)，G分

別是AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，

求△ABC的面積．技巧4解中點(diǎn)四邊形的技巧14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)技巧35(1)如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的中垂線，即AH⊥BC.∵D，E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)，∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.

又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴四邊形DEFG是矩形．證明：(1)如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，證明：36(2)

∵D，E，F(xiàn)分別是AB，OB，OC的中點(diǎn)，∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.

∵△BOC是等腰直角三角形，∴OH＝

BC＝3.∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.∴S△ABC＝×6×7＝21.解：(2)∵D，E，F(xiàn)分別是AB，OB，OC的中點(diǎn)，解：3715．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：PA＝EF.思想1轉(zhuǎn)化思想6兩種思想考點(diǎn)15．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝思想38如圖，連接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.∴四邊形PECF是矩形．∴PC＝EF.在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.∴PA＝EF.證明：如圖，連接PC.證明：39本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想將四邊形中的邊轉(zhuǎn)化到三角形中，通過用等式的傳遞性證明兩條線段相等．本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想將四邊形中的邊轉(zhuǎn)化到三角形中，通過用等式的4016．[閱讀]

在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)

為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.[運(yùn)用](1)如圖，矩形ONEF的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，ON，OF

分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原

點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，3)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________；思想2數(shù)形結(jié)合思想(2，1.5)16．[閱讀]思想2數(shù)形結(jié)合思想(2，1.5)41(2)在平面直角坐標(biāo)系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)

三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A，B，C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，

求點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)．若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，①當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴x＝1，y＝－1.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，－1)．解：(2)在平面直角坐標(biāo)系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C42②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴x＝5，y＝3.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，3)．③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴x＝－3，y＝5.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，5)．綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，43第二十二章四邊形全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用習(xí)題課第二十二章四邊形全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用習(xí)題課44本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的計(jì)算和證明等問題．近幾年又出現(xiàn)了許多與平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與全等、相似、函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的綜合題．其主要考點(diǎn)可概括為：一個(gè)定理，一個(gè)性質(zhì)，四個(gè)圖形，四個(gè)判定與性質(zhì)，四個(gè)技巧，兩種思想．本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊451考點(diǎn)一個(gè)定理——三角形的中位線定理1．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點(diǎn)．

求證：(1)四邊形EFGH是矩形；(2)四邊形EQGP是菱形．1考點(diǎn)一個(gè)定理——三角形的中位線定理1．如圖所示，已知在四邊46(1)∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的

中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF＝

AC，GH∥AC且GH＝

AC，EH∥BD，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴?EFGH是矩形．證明：(1)∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的證明：47(2)∵點(diǎn)E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的

中點(diǎn)，∴EP＝

BC，PG＝

AD，GQ＝

BC，QE＝

AD.∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四邊形EQGP是菱形．(2)∵點(diǎn)E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的48在三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)，?？紤]利用三角形中位線得到線段的平行關(guān)系或數(shù)量關(guān)系．在三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)，?？紤]利用三角形中位線得到線段的平行492．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．求證：(1)四邊形ADEF是平行四邊形；(2)∠DHF＝∠DEF.2考點(diǎn)一個(gè)性質(zhì)——直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，2考點(diǎn)50證明：(1)∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC.

同理可得EF∥AB.∴四邊形ADEF是平行四邊形．(2)由(1)知四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DAF＝∠DEF.

在Rt△AHB中，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DH＝

AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.

同理可得HF＝

AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝∠DEF.證明：(1)∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC.513考點(diǎn)四個(gè)圖形3．【中考·涼山州】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC

及斜邊AB為邊向外作等邊三角形ACD及等邊三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連

接DF.(1)求證：AC＝EF；(2)求證：四邊形ADFE是平行四

邊形．圖形1平行四邊形3考點(diǎn)四個(gè)圖形3．【中考·涼山州】如圖，分別以Rt△ABC的52證明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AE＝AB，AB＝2AF，∴AF＝BC.

在Rt△BCA和Rt△AFE中，∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)，∴AC＝EF.證明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，53(2)∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.

又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.∴EF∥AD.∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.∴四邊形ADFE是平行四邊形．(2)∵△ACD是等邊三角形，544．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的

直線與BA的延長(zhǎng)線，DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：△AOE≌△COF.(2)連接EC，AF，則EF與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四

邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由．圖形2矩形4．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的圖55(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.

在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)解：當(dāng)AC＝EF時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：

由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．

又∵AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，565．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形．(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱

形？為什么？圖形3菱形5．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，圖形357(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC.

又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形．(2)解：當(dāng)AB＝BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形．

理由：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝

AB.∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝

BC.

又∵AB＝BC，∴BD＝DE.

又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形．(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，586．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后至△DBE，再把△ABC沿射線AB平移至△FEG，DE，F(xiàn)G相交于

點(diǎn)H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形．圖形4正方形6．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把圖形459(1)解：DE⊥FG.理由如下：由題意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠EDB＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)證明：∵△ABC沿射線AB平移至△FEG.∴CB∥GE，CB＝GE.∴四邊形CBEG是平行四邊形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四邊形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四邊形CBEG是正方形．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由題意，得∠A＝∠EDB＝607．如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的AD，BC邊上的點(diǎn)，且AE

＝CF.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接MF，EN，試

判斷四邊形MFNE是怎樣的四

邊形，并證明你的結(jié)論．判定與性質(zhì)1平行四邊形4四個(gè)判定與性質(zhì)考點(diǎn)7．如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的AD，BC邊上的點(diǎn)，且AE61(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四邊形MFNE是平行四邊形．證明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.

又∵M(jìn)，N分別是BE，DF的中點(diǎn)，∴ME＝FN.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四邊形MFNE是平行四邊形．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，62本題是一道猜想型問題，先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論．本題已知一個(gè)四邊形是平行四邊形，借助其性質(zhì)，利用平行四邊形的判定方法判定另一個(gè)四邊形是平行四邊形．規(guī)律總結(jié)：本題是一道猜想型問題，先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論．本題已知一個(gè)四638．【中考·湘西州】如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證：(1)△ADE≌△CBF；(2)四邊形DEBF為矩形．判定與性質(zhì)2矩形8．【中考·湘西州】如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，判定與64(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.

又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE≌△CBF.(2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.

又∵CD∥AB，∴四邊形DEBF為平行四邊形．

又∵∠DEB＝90°，∴四邊形DEBF為矩形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，證明：659．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E

是AB上一點(diǎn)，且AE＝AC，EF∥BC交AD于點(diǎn)F.

求證：四邊形CDEF是菱形．判定與性質(zhì)3菱形9．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E判定66證明：如答圖，連接CE，交AD于點(diǎn)O.∵AC＝AE，∴△ACE為等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE與DF互相垂直且平分，∴四邊形CDEF是菱形．證明：如答圖，連接CE，交AD于點(diǎn)O.6710．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，H為GE的中點(diǎn)．

求證：FB⊥BH.判定與性質(zhì)4正方形10．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，判定與68∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，DC∥AE，∠CBE＝90°，∴∠CDF＝∠E.又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E.∵H為GE的中點(diǎn)，∴HB＝HG＝

GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，∴∠FBG＋∠HBG＝90°，即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝6911．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，

使點(diǎn)A，D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1，D1處，

求陰影部分圖形的周長(zhǎng)．技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧(軸對(duì)稱變換法)5四個(gè)技巧考點(diǎn)11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E，技70∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A，D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1，D1處，∴根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.設(shè)線段D1F與線段AB交于點(diǎn)M，則陰影部分的周長(zhǎng)為(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，解：7112．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O也

是正方形A′B′C′O的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形

的邊長(zhǎng)都等于1，那么正方形A′B′C′O繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)

動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)

律？請(qǐng)說明理由．技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧(特殊位置法)12．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O也技巧2解72兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四邊形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于S△BOC.∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝

S正方形ABCD＝.∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.解：兩個(gè)正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.解：7313．如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，

對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)及菱形ABCD的面積．(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE＋OF的

值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE＋OF

的值是否發(fā)生變化？若

不變，請(qǐng)說明理由；若

變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E，OF

之間的數(shù)量關(guān)系．技巧3解與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題的技巧(固定位置法)13．如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，74(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝

BD＝×16＝8，

由勾股定理得AG＝

＝6，

所以AC＝2AG＝2×6＝12.

所以菱形ABCD的面積＝

AC·BD＝×12×16＝96.解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，解：75(2)不發(fā)生變化．理由如下：

如圖①，連接AO，

則S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，

所以

BD·AG＝

AB·OE＋

AD·OF，

即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.

解得OE＋OF＝9.6，是定值，不變．(2)不發(fā)生變化．理由如下：76(3)發(fā)生變化．

如圖②，連接AO，

則S△ABD＝S△ABO－S△AOD，

所以

BD·AG＝

AB·OE－

AD·OF.

即×16×6＝×10·OE－×10·OF.

解得OE－OF＝9.6，是定值，不變．

所以O(shè)E＋OF的值發(fā)生變化，OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系