天津大學(xué)2021年《線性代數(shù)》期末試題A及答案

得分一、填空題（753分）得分1 0 0 1 0 0 1．設(shè)A1 2 0，則A -6 ，A11/2 1/2 0 ，13 1 13 1 A2 36 .1 1 0 11 1 2 31

2 3 582．0 1 02 02 0 0 0 1

3 421 4512.1112003．行列式212=18，行列式01-2 12 .3360224．兩個(gè)向量0),2,的內(nèi)積為：3 ，夾角為：/6;1 2把，1 2

用施密特正交化方法得:1

1

（//'5．若向量(4,7),(2,3)，則 用,

組合的表達(dá)式是1 2 1 22.1 26．向量組(2,0),-1,(0,0),' 的線性相關(guān)性為：1 2 3 4線性相關(guān)，它的秩是 3 .7．已知向量組α71

=(1,5,k)線性相關(guān),則k= 2 .233A1，2，3AA6231 0 1 0 0 設(shè)矩陣A=0 1 0 1 0則矩陣A的秩為2 線性方程組AXO 0 0 0 0 0 的基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)為3 .給定線性方程組xx x 11 2 3xx x1 2

,xx1 2

3

2則當(dāng)λ≠1且λ≠0 時(shí)方程組有唯一解當(dāng)λ= 1 時(shí)方程組有窮解； 當(dāng)λ= 0 時(shí)方程組無(wú)解.2 0 0 矩陣A1 2 1的特征值為： 2 、1，對(duì)應(yīng)于特征值1的 1 0 1 0 特征向量為：k1,k0.1 1 設(shè)A設(shè)方陣A滿足E,則A 1 .f(xxxx22x

2x

2xx2x2的矩陣的系數(shù)矩陣為：1 2 3 11 1 0

1 2

2 3 3A1 2 1，該二次型為正定二次型. 0 1 得分二、計(jì)算題（5分）得分設(shè)矩陣A=2 1,求矩陣X,使AXA2E1 1解由AX=A+2E 得XA1(A2E) 2’

1 4 1 1 0 3 -21A A2E 1

1 1 3~0 1 -2 5 3’ 3 - 即X-2 5 得分…得分…三、計(jì)算題（6分）………已知向量組… 1 1 3 2… … 1,

2,

4,

2.1 1 1 … 1 1 1

2 1

3 3

4 2……………線…: …

求向量組，1

，，2 3

的一組極大線性無(wú)關(guān)組,并把其余向量用此組向量表示出來(lái).

113 2 10 2 0 解 ，，

12 4 2r0110 1 2 3

4 113 2 0 0 0 1-11-11 0 0 0 0 由此可知,，,1 2 4 3 1 2

為一組極大線性無(wú)關(guān)向量組,得分四、計(jì)算題（6分）得分xx x

2求非齊次線性方程組1 2 3 4

的通解．2x2x1 2

x x 23 41 1 1 1 -2 r1-100 0解增廣矩陣B2

1 -1 2~001-12 2’ x x還原成線性方程組1 2 1’x x 23 4x 1 0 01 可得方程組通解為x2c

1

00,c,

為任意常. 2’x

10 21 2 1 2x34x

0 1 0 1 得分五、限選題（8分）得分（經(jīng)管類學(xué)生可選做第1、2小題中的一題，理工類學(xué)生僅限做第2小題）(理工類學(xué)生不做此小題)f(x)x2x

x

2xx，a）出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣Ab）C)寫(xiě)出相應(yīng)的可逆線性變換矩陣。

1 2 3 131 0 1 解a）A0 1 0 2’ 1 0 1 b)f(x)x2x2x22xx (xx)2x2 2’1 2 3 13 1 3 2y xx1 1 3令y x2 2y x3 3x y

x 1

1y 1 1

3 ,

1即有變換x

x01 0y 2 2

2 0

233x y333 3

x

y 把二次型f(x)x2x2x22xx化為標(biāo)準(zhǔn)型f(x)y2y2 2’1 2 3 13 1 210 1 C) 對(duì)應(yīng)變換矩陣P01 0 2’ （理工類學(xué)生必做此小題）f(x)ax2x

3x

2x

的秩為2,A,并求參數(shù)A的特征值

1 2 3 1 2XPY，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形（不寫(xiě)正交變換）.a 1 0 解a）A1 1 0 2’ 0 0 R(A0a1 1’b)AE0，得1

0，2

2，3

3 2’C）（A）XOi，得單位特征向量i22 22 2 2 022 22p ，p ，p 0；1 2

2 2

3 10 0 22 22 02 2 22 22及正交矩陣P - 0 ， 正交變換XPY 2’2 2 0 0 把二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型: f2y2

3y2 1’32008--2009B卷得分一、填空題（663分）得分1 2 2 1 2 0設(shè)矩陣A0 2 2，B2 3 0則行列式：A -6 ，AB - 0 0 3 12 ，A1 1/6 ，A* 36 .2 0 0 1 2 3 17 2 3 2. 設(shè)A0 2 0 , B4 5 6 , 則8AB4 21 6 , AB 0 0 2 2 4 68 10 12, 14 16 AAA

8,則：a A11 11

a A12

a A13

8 A31 11

2a A32

2a A33

0 Aij為a 的代數(shù)余子.ij1 2 2 A0 2 2320

= -2 0 0 3 1 A1

0 1/2 1/3 0 0 1/3 6 6 0A的伴隨矩陣A*

0 3 2. 0 0 2 5.向量與向量，則: 向量的長(zhǎng)度 = 2,與的夾角3= 4 ，6，，

的秩等于2 ，1 2 3 1 2 3該組向量線性相 .2 0 0 2

x 17.設(shè)A1 2,B0, X

,則2 1 1 0

23 x3當(dāng) 2 時(shí)，線性方程組AXB有唯一解；1 當(dāng)1時(shí)，線性方程組AXB的解X= k

3,

k為任意常數(shù).1 1 8．設(shè)Ax0，A是45階矩陣，R(A)2，則基礎(chǔ)解系中含有3 個(gè)解向量．9,1 2

的兩個(gè)不同的特征值，p,1

[pp[2 1

] 0 ．p2p10設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值分別為3，則矩陣A為負(fù)定 定矩陣，A55. 6 ；f(x)x2x1，則f(A)=A55.得分二、選擇題（142分）得分 設(shè)n元線性方程組Axb，且R(A)R(A,b)n，則該方程( B )Ａ．無(wú)解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．有無(wú)窮多解 Ｄ．不確定 設(shè)n元線性方程組AxO，且R(A)n1，則該方程組的解( A )個(gè)向量構(gòu)成.Ａ．有無(wú)窮多個(gè) Ｂ.1 Ｃ．nk Ｄ．不確定設(shè),B為n階方陣，滿足等式ABO，則必有（ B ．O或BO Ｂ．A0或B0 BO Ｄ．AB0設(shè)AO,BO為n階方陣，滿足等式ABO，則必有（D ．Ａ．R(0Ｂ．R(B)0Ｃ．R(A)R(B)nＤ．R(A)R(B)n設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（可能不正交 .有非單位向量C）C.組成單位正交向量組C.必含零向量n階方陣A的行列式A0,則A的列向量（A ）Ａ．線性相關(guān)Ｂ．線性無(wú)關(guān)Ｃ．R(0 Ｄ．R(n階方陣A的行列式A0是矩陣A可逆的（ C ）Ａ．充分條件Ｂ．必要條件Ｃ．充要條件Ｄ．無(wú)關(guān)條得分三、計(jì)算題（6分）得分……向量（，（-，），

'(0.3,3)請(qǐng)… 1……把向量組，… 1

2 3表示成向量組，，1 2

1 2的線性組合.… 1 -2 -2 0 0 1 0 0 24… 解 ，，，，

2 -1

r 4’… 2 1 1~0 1 0-11… 1 2 3 4 1 2 2

-1 0 1

0

1 21…… 由此可知…

… 線 1 1 2

23…業(yè) …專 …級(jí) …年 ……………別 …系) 題得分答…得分

2’2 1 2 3四、計(jì)算題（6分）內(nèi)…線… x x 1… 1 2 3123封…非齊次線性方程組xx x 當(dāng)取何值時(shí)）無(wú)解2）有唯一解（）有123… 密 xx… 1 (3

2…無(wú)窮解，并相應(yīng)的通解．…

-1 -1: … 學(xué) …解方程組的系數(shù)矩陣A

-1的行列式A(1)2 2’……………密……: …

-1 -1 （1）當(dāng)2時(shí)，方程有唯一解； 1’當(dāng)2時(shí)，方程組無(wú)解； 1’111 -1r 當(dāng)1時(shí)，增廣矩陣B~0 0 0 0，可得方程組有無(wú)窮多解 0 0 0 1 1 1 Xc1

0 0 2’10 21 0 五、計(jì)算題（8分

得分得分1 0 0 試求一個(gè)正交的相似變換矩,把矩陣A0 2 1化為對(duì)角矩陣0 1 2解 解特征方程AE0，得特征值1

1，31

3 3’0 解方程A

XO,X

0

1 ,. C

c20 1’1 1 0

21 1 2 0 解方程(A3

)XO,得相應(yīng)的特征向量XC1,C0. 1’1 1

0 P0

1

P1令 ， 1’1 0

2 2

3 2 1

1 2 1 0 0

2

1 0 0 P0

1PAP

1 0 ， 2’ 2 2 0 0 30 1 1 2 22008--2009C卷得分一、填空題（603分）得分3 2 2

3 2 28 ，它的第2行第3列元素1的代數(shù)余子式A = -232 2 322.-16為3A222A-16

B) 4 ，A1 1/2 .1 0 0 1 0 0 1 0 0 3.設(shè)A0 1 1,B0 2 0,則AB0 2 2, 0 1 2 1 0 0 A1= 0 2 1. 0 1 1 A4AA

3，則：a A11 11

a A12

a A13

3 , a A11 21

a A12

a A13

0 .5.向量與向量，則:與的夾= 36，，

的秩等于2 ，1 2 3 1 2 3該組向量線性 相 . 1 0 1

x 17.設(shè)A1 1 0,B0, X

,則0 0 2 0

23 x3當(dāng) 0 時(shí)，線性方程組AXB有唯一解；（1，-1，0）當(dāng)2 時(shí)，線性方程組AXB的解（1，-1，0） 8．設(shè)Ax0，A是34階矩陣，基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，則R(A) 3 ．9,1 2

的兩個(gè)不同的特征值，p,1

[pp[2 1

] 0 ．p2p設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值分別為3則矩陣A為 正 定矩, A的列式A6 .f(xx1 2

,x)x3 1

x2

x3

2xx2

1 0 0 所對(duì)應(yīng)的矩陣為A0 1 1,該矩陣 0 1 0 的最大特征值是2 ,該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是c1 ,c0. 得分二、選擇題（202分）得分 設(shè)n元線性方程組Axb，且R(A,b)n1，則該方程( B)Ａ．有唯一解Ｂ．有無(wú)窮多解 Ｃ．無(wú)解 Ｄ．不確定 設(shè)n元線性方程組AxO，且R(k，則該方程組的基礎(chǔ)解系( C )個(gè)向量構(gòu)成.Ａ．有無(wú)窮多個(gè) Ｂ．有唯一個(gè) Ｃ．nk Ｄ．不確定BC為nABC，則下列錯(cuò)誤的論述是（ B ．AA的列向量線性表示；C． ABC ;Ｄ．矩陣Ｃ的行向量由矩陣B的行向量線性表示.BCnABC，則下列關(guān)于矩陣秩的論述正確的是（ ．A)R(C) Ｂ．R(B)R(C) A)R(B)n A)R(C)設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（C ）可能不正交 B.有非單位向量 C.組成單位正交向量組 C.必含零量n階方陣的乘積的行列式AB5,則A的列向量（Ａ．方陣A的列向量線性相關(guān)Ｂ．方陣A的列向量線性無(wú)關(guān)Ｃ．R(A)5 Ｄ．R(n7．n階方陣A的行列式A0是齊次線性方程組AXO有非零解的（C ）(注:此空得分值為2分)Ａ．充分條件Ｂ．必要條件Ｃ．充要條件Ｄ．無(wú)關(guān)條件得分三、計(jì)算題（6分）得分……向量（（-表示成向量… 1……組，，… 1 2

2 3的線性組合.…解解方程…,… 1

,)X,3…AX 1'…

2 21

1 … 1 1 ……線…: …

XA1 2 1 20 2 92 2 10 3’專 … 即1級(jí) … 9 年 ………得分…得分

29

29

1’四、計(jì)算題（6分）…… x…求非齊次線性方程組1

2x

x x2 3

的通解．…