概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：第二章 一維隨機變量及其分布

第二章一維隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布許多事件的概率不能用等可能概型的計算公式，應(yīng)該如何計算呢？

E6在一批燈泡中任取一只，測試其壽命只利用了初等數(shù)學(xué)的知識，如何把微積分這些工具引入到這門課程呢？

……例1將一枚硬幣拋擲3次.

以X記三次拋擲中出現(xiàn)H的總數(shù),則對樣本空間S={e}中的每一個樣本點e,X都有一個數(shù)與之對應(yīng),即有樣本點HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110§1隨機變量定義設(shè)X＝X(e

)是定義在樣本空間S上的實值函數(shù)，稱X＝X(e

)為隨機變量.隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，...等表示．Sx例1將一枚硬幣拋擲3次.

以X記三次拋擲中出現(xiàn)H的次數(shù),則對樣本空間S={e}中的每一個樣本點e,X都有一個數(shù)與之對應(yīng),即有樣本點HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110例1

一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記為0分.設(shè)X表示該射手在一次射擊中的得分，它是一個隨機變量，可以表示為

例2

觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)．如果用X表示呼叫次數(shù)，那么表示一隨機事件，顯然也表示一隨機事件．

有些隨機變量,它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為離散型隨機變量.

§2離散型隨機變量及其分布律記X為擲骰子出現(xiàn)的點數(shù);記Y為燈泡的壽命;要掌握一個離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律,必須且只需知道X的所有可能取的值及取每一個可能值的概率.

設(shè)X所有可能取的值為xk(k=1,2,...),而

P{X=xk}=pk,k=1,2,.... (2.1)

pk滿足如下兩個條件稱(2.1)式為離散型隨機變量X的分布律.

分布律也可用表格的形式來表示:Xx1x2...xn...pkp1p2...pn...(2.4)擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)X為一個離散型隨機變量，其分布律為P(X=k)=1/6k=1,2,…,6X123456pk1/61/61/61/61/61/6例1設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈,每組信號燈以p=1/2概率禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時,它已通過的信號燈組數(shù)(設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的),求X的分布律.

P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4.

X01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4列表法列式法課堂練習(xí)P55第2題（1）(一)(0-1)分布

設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律是

P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1),

則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.

X01pk1-pp三種常用的離散型隨機變量S={e1,e2}從而得到定義在S上服從（0-1）分布的隨機變量

對性別進(jìn)行登記,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格,某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗，都可以用(0-1)分布的隨機變量來描述。(二)伯努利試驗，二項分布

方式共有種，而且兩兩互不相容．定義隨機變量X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),我們來求它的分布律.X所有可能取的值為0,1,2,...,n.

記q=1-p,即有

稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為X~b(n,p).二項分布兩點分布例2按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,...,20)為一級品的概率是多少?

解

檢查一只元件看它是否為一級品,檢查20只元件相當(dāng)于20重貝努利試驗,以X記其中一級品總數(shù),則例3

某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.

解將一次射擊看成是一次試驗，

400次射擊就是400重伯努利試驗。

設(shè)400次射擊擊中的次數(shù)為X,則X~b(400,0.02).二項分布

泊松分布(三)泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,...,而取各個值的概率為其中l(wèi)>0是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為l的泊松分布,記為X~p(l).泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水泊松定理設(shè)l>0是一個常數(shù),n是任意正整數(shù),設(shè)npn=l,則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)k,有24上述定理表明當(dāng)n很大,p很小(np=l)時有以下近似式

例5計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片,次品率達(dá)1%,各芯片成為次品相互獨立.求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率.

以X記產(chǎn)品中的次品數(shù),

X~b(1000,0.001).

25分布律用來描述離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，那么對于非離散型隨機變量呢？關(guān)注隨機變量落在某個區(qū)間的概率，如何更方便地求出？定義設(shè)X是一個隨機變量,x是任意實數(shù).函數(shù)F(x)=P{Xx},稱為X的分布函數(shù).

§3隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質(zhì):

1.F(x)是一個不減函數(shù).

3.F(x+0)=F(x),

即F(x)是右連續(xù)的.2.0F(x)1,且xX例1設(shè)隨機變量X的分布律為X-123pk1/41/21/4求X的分布函數(shù)。結(jié)果-1O123x1F(x)

一般,設(shè)離散型隨機變量X的分布律為

P{X=xk}=pk,k=1,2,....

則X的分布函數(shù)為分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,...)處有跳躍,其跳躍值為pk=P{X=xk}.例2一個靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數(shù).

x1231/21OF(x)容易看到本例中的分布函數(shù)F(x)對于任意x可以寫成形式

F(x)是非負(fù)函數(shù)f(t)在區(qū)間(-,x]上的積分,在這種情況下我們稱X為連續(xù)型隨機變量.其中

如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),

使對于任意實數(shù)x有

則稱X為連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度由定義知道,概率密度f(x)具有以下性質(zhì):這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為概率密度的充要條件例1設(shè)隨機變量X具有概率密度

f(x)的曲線形狀如圖所示Ox341/2f(x)x/6xx(2)X的分布函數(shù)為注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機變量取a的概率等于零.即由此可得連續(xù)型隨機變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)第二章一維隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布10月18日要交作業(yè)55頁起2（1）1617（1）

(一)均勻分布

設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).af(x)b由(4.1)式得X的分布函數(shù)為Oab1F(x)x(二)指數(shù)分布

設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中q>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為q的指數(shù)分布.X的分布函數(shù)為f(x)的圖形:Oxf(x)123123q=1/3q=1q=2

X服從指數(shù)分布,則任給s,t>0,有

P{X>s+t

|X>s}=P{X>t} (4.9)

性質(zhì)(4.9)稱為無記憶性.3.正態(tài)分布(或高斯分布)Omxf(x)Omm1xf(x)固定s，改變m0.2660.3990.798mxOs=1.5s=1.0s=0.5由(4.10)式得X的分布函數(shù)為1F(x)0.5xOm稱

N(0,1)

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常分別用

來表示。書末P382附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，m-3sm-2sm-sm+sm+2sm+3s68.26%95.44%99.74%【例6】由j(x)的對稱性知z1-a=-zazaa設(shè)X~N(0,1),

若za滿足條件

P{X>za}=a, 0<a<1, (4.18)

則稱點za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點.

問題的提出

在實際中，有時對隨機變量的函數(shù)更感興趣。

§2.4隨機變量的函數(shù)的分布測量圓軸截面直徑

d，關(guān)心截面面積問題：已知隨機變量X