機(jī)械振動(dòng)理論基礎(chǔ)(第一章)課件

機(jī)械振動(dòng)理論基礎(chǔ)12/23/20221一、關(guān)于振動(dòng)問(wèn)題

振動(dòng)就是物體（形狀，位置或與之有關(guān)的某個(gè)參數(shù)）或某種狀態(tài)隨時(shí)間的往復(fù)變化現(xiàn)象。例如：聲，光，電磁波等等，就是廣泛意義上的振動(dòng)現(xiàn)象。12/23/20222東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1、機(jī)械振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)是指在一定條件下，物體在平衡位置附近所作的往復(fù)性運(yùn)動(dòng)。12/23/20223東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心二、振動(dòng)的分類1、視彈性元件的恢復(fù)力和位移的關(guān)系而定線形振動(dòng)非線形振動(dòng)12/23/20225東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心2、按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)目而定單自由度多自由度系統(tǒng)12/23/20226東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

第一章

單自由度系統(tǒng)

預(yù)備知識(shí)：1、周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)相等時(shí)間間隔又重復(fù)出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)叫周期運(yùn)動(dòng)。周期運(yùn)動(dòng)必須滿足如下關(guān)系式：式中，---周期，單位為秒，其倒數(shù)是義為頻率（每秒種內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)），（Hz）12/23/20227東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（周期運(yùn)動(dòng)的一種）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)中的一種，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述為：

或式中：——振幅，表示位移的最大值?！嘟牵跸嘟恰穷l率或叫園頻率，單位為12/23/20228東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心動(dòng)點(diǎn)P在X方向的速度為：動(dòng)點(diǎn)P在X方向上的加速度為：3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面中，橫軸表示一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分謂之實(shí)軸，縱軸表示一個(gè)數(shù)的虛數(shù)部分謂之虛軸，單位為，在復(fù)平面中矢量表示為：12/23/202210東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-1節(jié)一個(gè)自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)。

1、方程式的建立——彈簧原長(zhǎng)——彈簧的靜伸長(zhǎng)建立運(yùn)微分方程的步驟：A)選取研究對(duì)象，物塊。B)建立座標(biāo)系，取靜平衡位置為座標(biāo)原點(diǎn)。C)運(yùn)動(dòng)對(duì)象的受力分析。D)根據(jù)牛頓第二定律列方程。12/23/202212東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心為積分常數(shù)，可根據(jù)初始條件來(lái)確定。設(shè)代入原方程設(shè)所以無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的（特）通解為：12/23/202214東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心式中：

其中稱之為圓頻率。----又稱之為固有頻率，僅與系統(tǒng)本身的彈簧剛度和振動(dòng)質(zhì)量有關(guān)，與初始條件無(wú)關(guān)。

叫系統(tǒng)的振動(dòng)頻率。單位為或?yàn)镠Z12/23/202215東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

叫系統(tǒng)的振動(dòng)周期，單位為秒。

頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，方程的通解還可以表示為另一種形式。12/23/202216東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心利用旋轉(zhuǎn)矢量法也可以得到這個(gè)解或12/23/202217東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心根據(jù)合角公式——振幅，——初相位與振動(dòng)的固有頻率不同，振幅，初相位取決于初始條件12/23/202218東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

設(shè)彈簧的剛度為K，由平衡條件知，以物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)朝上為正，設(shè)物體與梁碰撞的瞬間為初瞬間時(shí)，則12/23/202220東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心梁的最大撓度：

例1—2求彈簧等效剛度及系統(tǒng)的固有頻率12/23/202221東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由彈簧的伸長(zhǎng)量可知：12/23/202223東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心12/23/202224東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：由之間的夾角來(lái)表示園盤的位置，扭轉(zhuǎn)剛度用表示，既使軸轉(zhuǎn)動(dòng)單位角度所施加的力矩。單位為由材料力學(xué)知：12/23/202226東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，（或由動(dòng)量矩定理）或12/23/202227東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—3軸長(zhǎng)度分別為，，直為，，求等效剛度。12/23/202228東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心又故有：12/23/202230東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-3節(jié)能量法無(wú)阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)保守系統(tǒng)（運(yùn)動(dòng)中無(wú)能量損失）對(duì)保守系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律是適用的，在振動(dòng)的任何時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能，勢(shì)能之和恒為常數(shù)。12/23/202231東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

如圖所示的系統(tǒng)不計(jì)阻尼，則在振動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有能量損失，即振動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)機(jī)械能保持不變。

T+V=常數(shù)T---系統(tǒng)的動(dòng)能V---系統(tǒng)的重力勢(shì)能和彈性力勢(shì)能

以平衡位0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以0點(diǎn)作為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)和重力勢(shì)能的零點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在任意位置X所具有的勢(shì)能等于質(zhì)點(diǎn)從該處到零點(diǎn)場(chǎng)力所做的功，故質(zhì)點(diǎn)在X處的勢(shì)能為：12/23/202232東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由上式可見(jiàn)，本系統(tǒng)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和計(jì)算勢(shì)能的零點(diǎn)（重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能都以它為原點(diǎn)）總勢(shì)能的表達(dá)式很簡(jiǎn)單。機(jī)械能守恒表達(dá)式也可以表示為下面的形式：即任選兩個(gè)瞬時(shí)，其機(jī)械能的總和相等，我們通常選兩個(gè)特殊的瞬時(shí)，一為質(zhì)點(diǎn)通過(guò)靜平衡位置瞬間該時(shí)動(dòng)能最大，12/23/202233東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心（）而勢(shì)能等于零，另一為質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大位移時(shí)，該時(shí)的動(dòng)能為零，勢(shì)能達(dá)最大值，

則有：所以：12/23/202234東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由于系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振：對(duì)于上面的簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，能量法并沒(méi)有顯出它的優(yōu)勢(shì)所在，但對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)上復(fù)雜的系統(tǒng)，能量法常為計(jì)算因有頻率的一種簡(jiǎn)單的方法。12/23/202235東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—4如圖所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件——無(wú)定向擺。試求系統(tǒng)的固有頻率12/23/202236東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)已知整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：解：以搖桿偏離靜平衡位置的角位移為廣義坐標(biāo),并設(shè):12/23/202237東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心在搖桿過(guò)平衡位置的瞬間，系統(tǒng)具有最大值的動(dòng)能。當(dāng)搖桿擺到最大位移時(shí)，系統(tǒng)具有最大的勢(shì)能12/23/202238東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心代入數(shù)據(jù)：由此可見(jiàn)傳感器的固有頻率很低，因而可用來(lái)測(cè)量2----30HZ范圍內(nèi)的低頻振動(dòng)。12/23/202239東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-4節(jié)瑞利法

瑞利法（Rayleign）是一種考慮彈性元件自身質(zhì)量影響以求系統(tǒng)基頻的近似方法，此法很有效且較準(zhǔn)確。1、等效質(zhì)量在以上的討論中我們都假定系統(tǒng)的彈性元件的質(zhì)量可以略去，當(dāng)彈性元件的質(zhì)量相對(duì)于運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量較小時(shí)，這樣的處理帶來(lái)的誤差不大，常為工程實(shí)際允許，但也有12/23/202240東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心許多場(chǎng)合彈性體的質(zhì)量相對(duì)于運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量不能算小或者計(jì)算的精確度要求較高，此時(shí)就不能忽略彈性元件質(zhì)量去計(jì)算系統(tǒng)的振動(dòng)周期和頻率。如果考慮系統(tǒng)彈性元件質(zhì)量的影響，系統(tǒng)就成為無(wú)窮多的自由度系統(tǒng)，其固有頻率也就有無(wú)窮多個(gè)，用瑞利法求出的頻率是系統(tǒng)的最低頻率，一般稱為基頻。欲應(yīng)用瑞利法，首先必須對(duì)彈性元件每點(diǎn)速度分怖作出恰當(dāng)?shù)募俣ǎ俣ㄏ到y(tǒng)振動(dòng)過(guò)程中有某一不變的振動(dòng)形式。12/23/202241東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心（簡(jiǎn)稱振型），[當(dāng)假定的振型與實(shí)際振型愈接近，其精確度就愈高]，把系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)然后應(yīng)用能量法求出相當(dāng)準(zhǔn)確的固有頻率。設(shè)質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)的物塊重M，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈簧剛度為K，單位長(zhǎng)度上的彈簧質(zhì)量m’,考慮彈簧質(zhì)量來(lái)求系統(tǒng)的固有頻率.12/23/202242東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)彈簧末端受一力的靜作用下有一靜位移彈簧任意點(diǎn)應(yīng)有位移,某一瞬時(shí),質(zhì)量塊的速度為,則彈簧上任意點(diǎn)處的速度為設(shè)為單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量,則彈簧段的動(dòng)能為:這樣，整根彈簧的動(dòng)能為：(考慮彈簧質(zhì)量)當(dāng)系統(tǒng)過(guò)平衡位置時(shí)，動(dòng)能達(dá)最大值.12/23/202243東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為：當(dāng)系統(tǒng)過(guò)平衡位置時(shí)，動(dòng)能達(dá)最大值：

由于我們假定的振動(dòng)形勢(shì)和不計(jì)彈簧質(zhì)量時(shí)的振型是一樣的，所以系統(tǒng)的勢(shì)能仍和不計(jì)彈簧質(zhì)量時(shí)一樣。12/23/202244東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由于又假設(shè)系統(tǒng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：12/23/202245東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心可見(jiàn)，要計(jì)及彈簧質(zhì)量雙系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要把彈簧質(zhì)量的當(dāng)作集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去，就可以得到滿意的結(jié)果。用（Rayleigh）法求固有頻率，關(guān)鍵在于假定振型的形式，能得到較高的精度。例如：當(dāng)時(shí)，近似解的誤差僅為0.5%,當(dāng)時(shí)，誤差為0.75%，當(dāng)時(shí)，誤差為3%。由于假定振型相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了剛度，用Rayleigh法求得的固有頻率偏高。12/23/202246東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1-5設(shè)有一均質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁，如圖所示，中點(diǎn)集中一質(zhì)量，梁的質(zhì)量為，求系統(tǒng)的固有頻率。12/23/202247東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，梁的振型和不計(jì)梁的質(zhì)量接近，即梁在m質(zhì)量的作用下產(chǎn)生的靜撓曲線一樣。所以我們假定靜撓度為系統(tǒng)的振型。由材料力學(xué)知：(a)恒能成立12/23/202248東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)振動(dòng)過(guò)程中各點(diǎn)位移間的比值不變，即振型不變，這樣系統(tǒng)又簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。設(shè)為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上的質(zhì)量，則整個(gè)梁的動(dòng)能為：12/23/202249東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心梁的剛度為撓度的倒數(shù)12/23/202250東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心若計(jì)算梁的質(zhì)對(duì)系統(tǒng)的影響只要加上17m’/35即可。1—5節(jié)有限尼的自由振動(dòng)工程上的任何系統(tǒng)中，振動(dòng)時(shí)總是存在著各種形式的阻尼，因此振動(dòng)系統(tǒng)過(guò)程中振幅逐漸減少而停止。阻尼有各種各樣這樣的系統(tǒng)稱之為耗散系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)。12/23/202251東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

現(xiàn)在我們來(lái)討論一下有阻尼系統(tǒng)，仍以靜平衡位置為座標(biāo)原點(diǎn)，寫出運(yùn)動(dòng)微分方程如下12/23/202252東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心令解：得特征方程其解為：

為待定系數(shù),由初始條件來(lái)確定。解:12/23/202253東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)決定于根式是實(shí)數(shù),零,還是虛數(shù),引進(jìn)一個(gè)無(wú)量剛的量

稱為相對(duì)阻尼系數(shù)（或稱之為阻尼比）當(dāng)：12/23/202254東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心下面分別加以討論(1）弱阻尼狀態(tài)此時(shí)或利用歐拉公式:則解可寫成:式中的為初始條件所確定：設(shè)：12/23/202255東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心令：式中：12/23/202256東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心可看成兩條曲線的疊加。12/23/202257東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由振動(dòng)圖形可以求出，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是一衰減振動(dòng)，振幅被限制在之內(nèi)，隨時(shí)間不斷衰減，最終振動(dòng)將消失，不在是周期函數(shù)，但相鄰兩峰間的時(shí)間是一定的，我們?nèi)苑Q之為周期用表示。由上式：為無(wú)阻尼自由振動(dòng)周期，可見(jiàn)阻尼使系統(tǒng)的振動(dòng)周期增大了，當(dāng)阻尼較小時(shí)12/23/202258東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例如：時(shí)，時(shí)，很小時(shí)，阻尼對(duì)周期的影響可忽略不計(jì)。系統(tǒng)的振幅接幾何級(jí)數(shù)衰減，相鄰兩振幅之比為：式中稱為減幅系數(shù)，快速減小12/23/202259東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心當(dāng)時(shí)，振動(dòng)一周后振幅減少，可見(jiàn)衰減是顯著的。減幅系數(shù)的自然對(duì)數(shù)稱為對(duì)數(shù)減幅系數(shù)用表示。可用來(lái)測(cè)定阻尼系數(shù)。12/23/202260東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心（2）強(qiáng)阻尼狀態(tài)根式是實(shí)根。兩個(gè)指數(shù)函數(shù)均為負(fù)實(shí)數(shù)，位移X按指數(shù)函數(shù)衰減，不再有振動(dòng)的特征。

12/23/202261東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

（3）臨界阻尼狀態(tài)特征方程具有二重根即：通解為：顯然運(yùn)動(dòng)也是非周期性的。臨界阻尼以表示12/23/202262東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—6圖示系統(tǒng)，彈簧剛度K=400N/cm，阻尼器阻尼系數(shù)C=2Nsec/cm,活塞質(zhì)量m=5kg,以速度V=15m/s在缸內(nèi)勻速移動(dòng)，求碰上彈簧和阻尼器后的運(yùn)動(dòng)，碰上彈簧后的最大位移，及達(dá)最大位移所需的時(shí)間。12/23/202263東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：碰上彈簧后的運(yùn)動(dòng)微分方程為：運(yùn)動(dòng)方程：式中[由化為米]12/23/202264東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由初始條件：當(dāng)活塞向右移至最大位移的速度為零，由上式：令=0，得最大位移所需的時(shí)間：12/23/202265東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心求得最大位移:12/23/202266東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-6節(jié)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的課題是求系統(tǒng)在外擾力作用下的響應(yīng)，系統(tǒng)由外界持續(xù)激勵(lì)所引起的振動(dòng)，叫強(qiáng)迫振動(dòng)。激振力的形式?jīng)Q定了響應(yīng)的振動(dòng)規(guī)律，我們從最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧激振動(dòng)力講起，然后推廣到周期力的情況，最后討論任意激勵(lì)的響應(yīng)。12/23/202267東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-6-1簡(jiǎn)諧激振力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)我們以電磁式振動(dòng)臺(tái)為例來(lái)說(shuō)明有阻尼的單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下的響應(yīng)。1--平臺(tái)面2—平板彈簧3—外殼4—導(dǎo)磁體5—?jiǎng)?lì)磁線圈6—振動(dòng)線圈7—導(dǎo)桿12/23/202268東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心（1）振動(dòng)微分方程及其解振動(dòng)器供給的交流電是正旋波，所以產(chǎn)生的電磁力是簡(jiǎn)諧的,用來(lái)表示。頻率與激振力幅值都可以調(diào)節(jié)。由受力分析：12/23/202269東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

簡(jiǎn)化為：設(shè)：則有：（a）這個(gè)一個(gè)二階常數(shù)非齊次微分方程，其全解由齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解組成，即：齊次微分方程的解這在上一節(jié)已經(jīng)討論過(guò)，對(duì)應(yīng)于有阻尼的振動(dòng)解：12/23/202270東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心

（b）為任意常數(shù)下面我們來(lái)討論特解令：（c）式中的為待定常數(shù)

12/23/202271東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心（c）式代入（a）式得：

—（d）—（e）將(e)式代入(d)整理得:(利用數(shù)學(xué)二角和公式)12/23/202272東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心這個(gè)方程對(duì)任意時(shí)間t都應(yīng)恒等于零，由于對(duì)任意時(shí)刻：這個(gè)以與為未知量的一組二元一次方程組，聯(lián)立解得：12/23/202273東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由初始條件求待定系數(shù)設(shè)：12/23/202274東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心12/23/202275東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心這就是在初始條件下，簡(jiǎn)諧激振力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)兩部分組成，第一項(xiàng)為初條件下的自由衰減振動(dòng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)為初位移，初速度均為零（不含初始條件）條件下系統(tǒng)突加激勵(lì)引起的振動(dòng)。所以系統(tǒng)的響應(yīng)可看成作為12/23/202276東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心這兩種運(yùn)動(dòng)的疊加?！@也是線性系統(tǒng)的重要特征之一。從得到的解可以看出，前兩項(xiàng)是衰減的，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后這兩項(xiàng)系統(tǒng)的振動(dòng)就會(huì)消失，最后的系統(tǒng)振動(dòng)為：這是一種持續(xù)的等幅振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。（2）穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的特性。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下，穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率等于激振力的頻率，強(qiáng)迫振動(dòng)振幅B和相位差，只決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)12/23/202277東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心和激振力的大小以及頻率的大小，與初始條件無(wú)關(guān)。A）幅頻特性振幅B的表達(dá)式改寫如下：令：12/23/202278東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心得：12/23/202279東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心以為橫座標(biāo)，為縱坐標(biāo)，對(duì)于不同的值，得一組頻率響應(yīng)曲線：討論曲線：12/23/202280東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心B）相頻特性激振力為，而它的強(qiáng)迫振動(dòng)為后者比前者滯后一相角，——稱為相角差。12/23/202281東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心12/23/202282東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-6-2偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象很多。例如電機(jī)安裝在簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)，若電子轉(zhuǎn)子偏心，則運(yùn)動(dòng)時(shí)將引起電機(jī)梁系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)。12/23/202283東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)電機(jī)質(zhì)量M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量m，偏心距e，不計(jì)梁的質(zhì)量，轉(zhuǎn)子以等角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，以電機(jī)軸的靜平衡位置為座標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸X向上為正，則任意瞬時(shí)電機(jī)（不包括偏心質(zhì)量）的位置用坐標(biāo)軸X表示，其加速度為，而偏心質(zhì)量的加速度，由動(dòng)靜法寫出平衡方程。得：12/23/202284東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心顯然，偏心質(zhì)量的離心慣性力在鉛垂方向的投影相當(dāng)于作用于系統(tǒng)上的激振力。整理上式：設(shè)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)方程為：12/23/202285東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由上式可以看到，振幅B與偏心質(zhì)量距me成正比，所以要減小系統(tǒng)的振動(dòng)，必須盡量使轉(zhuǎn)動(dòng)部分不偏心，所以發(fā)電機(jī)，離心機(jī)，汽輪機(jī)等高速運(yùn)轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子都要做平衡試驗(yàn)，以解正其不平衡狀態(tài)。由于偏心激振的“激振力”幅隨而變化，所以幅頻特性和上節(jié)介紹簡(jiǎn)諧激振力的情況有些不同，將上式改寫成無(wú)量綱的量形式：12/23/202286東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心的物理意義是，把電機(jī)放在光滑的水平面上（無(wú)任何約束）當(dāng)偏心質(zhì)量由鉛垂位置轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，電機(jī)有水平位移X，由質(zhì)心守恒條件知：

得：以為橫坐標(biāo)，（表示振幅是的多少倍）為縱坐標(biāo)，畫出幅頻的響應(yīng)曲線圖。12/23/202287東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心當(dāng)12/23/202288東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—7慣性式激振器由兩個(gè)帶有偏心質(zhì)塊反向等速向內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪子構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏心力水平方向的分水相互平衡，慣性力的合力，為了測(cè)定某結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，將激振器按裝于結(jié)構(gòu)的頂部。該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為200kg。激振器的轉(zhuǎn)速為900rpm，閃光觀測(cè)儀示出當(dāng)結(jié)構(gòu)物向上運(yùn)動(dòng)通過(guò)其平衡位置瞬間偏心重在頂上，且對(duì)應(yīng)的振幅為2cm，如果每輪不均衡質(zhì)量矩me是5kgcm。求：A）結(jié)構(gòu)的固有頻率B）結(jié)構(gòu)的阻尼因子C）當(dāng)激振器轉(zhuǎn)速為1200rpm時(shí)的振幅和結(jié)構(gòu)向上運(yùn)動(dòng)通過(guò)平衡位置，其偏心位置。12/23/202289東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心12/23/202290東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：1）方程與穩(wěn)態(tài)解。穩(wěn)態(tài)解為：由前面的結(jié)論共振時(shí)12/23/202291東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心2）向上運(yùn)動(dòng)通過(guò)平衡位置時(shí)，偏心在頂上，這名話意味著位移X的相位落后激振力，這是共振時(shí)的情形，因此，系統(tǒng)的固有頻率等于此時(shí)的激振頻率。由已知條件及振幅B的表達(dá)式：12/23/202292東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心3）當(dāng)轉(zhuǎn)數(shù)為可見(jiàn)此時(shí)位移與激振力的相角差是177033’，即當(dāng)結(jié)構(gòu)向上運(yùn)動(dòng)通過(guò)其平衡位置的瞬間，偏心在第二象限與水平線成而向下運(yùn)動(dòng)。12/23/202293東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—8為了測(cè)定某一結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)，在其上按一慣性式激振器，不斷變化激振器的速度，測(cè)得共振時(shí)的垂直振幅為1.07cm，在超過(guò)共振區(qū)很遠(yuǎn)時(shí)，垂直振幅趨于一定的值0.32cm。試計(jì)算該結(jié)構(gòu)垂直方向的相對(duì)阻尼系數(shù)。解：由上例的結(jié)論為激振器的偏心矩12/23/202294東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由于結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)不易計(jì)算，上面的方法是一種簡(jiǎn)單的測(cè)定阻尼系數(shù)的方法。1-6-3支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

在許多情況下，系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)是由支承點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的。例如，機(jī)器振動(dòng)引起儀表的振動(dòng)，汽車駛過(guò)不平的路面產(chǎn)生的振動(dòng)等等。

12/23/202295東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)支承點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)以質(zhì)塊平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，得出的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：或：彈性力阻尼力12/23/202296東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心從上式可以看到，支承運(yùn)動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于系統(tǒng)上作用有兩個(gè)激振力，即：彈簧傳遞過(guò)來(lái)的彈性力為阻尼力為。激振力：則有，合力則上式改寫為：12/23/202297東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)：則有：代入上式：12/23/202298東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由矢量圖知：求出B12/23/202299東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心位移支承間的相位差可求出如下：由于12/23/2022100東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心放大因子例1-9有一阻尼彈簧系統(tǒng)，如圖所示，地面有水平運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)塊對(duì)地面的穩(wěn)態(tài)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。12/23/2022101東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：以X表示質(zhì)量塊對(duì)慣性參數(shù)系坐標(biāo)以表示質(zhì)量塊相對(duì)于地面的坐標(biāo)，12/23/2022102東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-6-4隔振原理

有些機(jī)器設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，振動(dòng)是不可避免，不但會(huì)引起機(jī)器本身結(jié)構(gòu)疲勞破壞，而且會(huì)影響周圍機(jī)器的正常工作，振動(dòng)時(shí)的噪聲對(duì)人體也很有害，因此有效地隔振是現(xiàn)代化工業(yè)中的重要問(wèn)題。隔振有主動(dòng)隔振與被動(dòng)隔振之分。12/23/2022103東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心被動(dòng)隔振的情況如下圖所示，振源來(lái)至地基，圖示為未采取隔振措施的情形，機(jī)器隨地基一起振動(dòng)，振動(dòng)的規(guī)律為：（a）未采取隔振措施(b)采取隔振措施的情形12/23/2022104東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心在基礎(chǔ)上按上橡膠彈簧或其它彈性材料，由前面討論的式子知：隔振效果用隔振系數(shù)來(lái)表示上式表示機(jī)器在采取隔振措施后，機(jī)器的振幅和未采取隔振措施時(shí)機(jī)器的振幅之比。12/23/2022105東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心主動(dòng)隔振：機(jī)器本身是振源，例如共振篩，振動(dòng)成型機(jī)等，為了減少對(duì)周圍的影響，也把它與地基礎(chǔ)隔離開(kāi)來(lái)。主動(dòng)隔振的效果用隔振系數(shù)表示，它是采取隔振措施后傳到地基的力和沒(méi)有隔振時(shí)傳給地基的力之比。12/23/2022106東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心未隔振前，機(jī)器傳給基礎(chǔ)上的力為機(jī)器隔振傳給基礎(chǔ)上的力為：彈性力：阻尼力：兩個(gè)同頻率的合力相差，用旋轉(zhuǎn)矢量合成得合力為：12/23/2022107東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心于是得隔振系數(shù)從被動(dòng)隔振系數(shù)與主動(dòng)隔振系數(shù)表達(dá)式，的隨頻率變化規(guī)律是相同的，從表達(dá)式中可以得出，只有當(dāng)頻率比時(shí)，才有隔振效果。12/23/2022108東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—10冷凍設(shè)備質(zhì)量，由3根彈簧K支承，設(shè)備在條件下運(yùn)轉(zhuǎn)，要求只有的振動(dòng)力傳給支承結(jié)構(gòu)，忽略阻尼，求K=？解：由題意，而無(wú)阻尼時(shí)，12/23/2022109東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—11一臺(tái)精密儀器有8根彈簧（每邊四個(gè)并聯(lián)）作隔振裝置，儀器，已知地板按規(guī)律振動(dòng)，求隔振系數(shù)。解：系統(tǒng)的固有頻率為：12/23/2022110東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心1-6-5周期激勵(lì)的響應(yīng)現(xiàn)在我們共同來(lái)討論周期激振力

單缸活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)——圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量——相對(duì)機(jī)身往復(fù)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量12/23/2022111東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心解：坐標(biāo)原點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸0的靜平衡位置上，X軸向下為正。12/23/2022112東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量為M，以X表示機(jī)身的位置由動(dòng)靜法寫出方程。

得：兩個(gè)不平衡質(zhì)量的相對(duì)慣性力相當(dāng)于激振力，顯然，激振力包括兩部分一部分具有與曲柄轉(zhuǎn)速相同頻率，另一部分為兩倍于曲柄轉(zhuǎn)速的頻率，總激勵(lì)不再是簡(jiǎn)諧，而是周期激勵(lì)。12/23/2022113東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心現(xiàn)設(shè)：這樣總激振力為，利用線性振動(dòng)的疊加原理，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（忽略阻尼）得：顯然，其振動(dòng)的解已不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)而是周期振動(dòng)了。12/23/2022114東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心由于激振力由兩部分組成，此系統(tǒng)共有兩個(gè)共振的可能性，一個(gè)是曲柄的轉(zhuǎn)速等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，一是當(dāng)曲柄的轉(zhuǎn)速等于固有頻率的一半時(shí)，由于我們用富氏展開(kāi)時(shí)，僅取的是前兩項(xiàng)，略去了高次項(xiàng)，而實(shí)際系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生許多高次共振的，只是它們的幅值很小很小，一般情況下，任何一種周期干擾力都可以展開(kāi)12/23/2022115東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心為富氏級(jí)數(shù)，也就是說(shuō)可以把一組周期激勵(lì)展成不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)，設(shè)周期激振力用表示。則：由富氏展開(kāi)：式中：為基頻可求出如下：12/23/2022116東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心如果周期激勵(lì)能夠展開(kāi)為富氏級(jí)數(shù)，則有阻尼振動(dòng)微分方程如下：系統(tǒng)的解由兩部分組成，一部分為微分方程的齊次解，另一部分為解齊次微分方程的特解，由疊加原理和穩(wěn)態(tài)解的定義。12/23/2022117東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：式中：

從上式可知：右端任何一項(xiàng)的頻率與固有頻率相同時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生共振。也就是說(shuō)，只要干擾的周期T等于固有振動(dòng)周期或等于固有振動(dòng)周期的整數(shù)倍，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生共振。12/23/2022118東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心例1—12一周期激振力為方型波，作用于一無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)為，K，M，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：把方波力函數(shù)展開(kāi)為富氏級(jí)數(shù)。12/23/2022119東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心首先討論值：由于對(duì)成反對(duì)稱，而對(duì)成對(duì)稱，所以兩者乘積在一周期內(nèi)積分等于零。又：中的偶數(shù)項(xiàng)，（是偶數(shù)）對(duì)成對(duì)稱。而對(duì)成反對(duì)稱，所以偶數(shù)項(xiàng)的，而為奇數(shù)時(shí)，12/23/2022120東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心得：設(shè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率為，則求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為：12/23/2022121東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心仍為頻率比：1-6-6任意激勵(lì)的響應(yīng)本節(jié)我們來(lái)共同討論任意激勵(lì)的情況。求任意激勵(lì)振動(dòng)的響應(yīng)有幾種方法，本節(jié)只給出杜哈曼積分（Duhamel）法。本方法的基本思想是把任意激振力的作用時(shí)間分為一系列的微小時(shí)間間隔每一小段時(shí)間12/23/2022122東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心內(nèi)力的作用用元沖量來(lái)表示，分別求出系統(tǒng)對(duì)每個(gè)元沖量的響應(yīng)，然后根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，把它們疊加起來(lái)，得到任意激勵(lì)的響應(yīng)。設(shè)任意激振力用表示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：把時(shí)間分成一系列的小間隔，任意力的作用成為一系列元沖量的相繼作用，先看第一個(gè)元沖量的作用效果。12/23/2022123東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心設(shè)，在元沖量作用后，獲得動(dòng)量于是，