概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件

數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)1概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)盡管兩者有密切的聯(lián)系，但本質(zhì)上是兩門不同的課程。概率論是理論基礎(chǔ)課，解決理論問題；數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用專業(yè)課，解決實(shí)際問題。概率論更注重邏輯和體系的嚴(yán)密，是一門真正的數(shù)學(xué)課。數(shù)理統(tǒng)計(jì)則對(duì)同一個(gè)具體問題也沒有一個(gè)最佳的答案，我們往往需要憑經(jīng)驗(yàn)選擇“較優(yōu)”的方法，不是純粹的數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)方法也不同。概率論注重邏輯推導(dǎo)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是以解決問題為導(dǎo)向，黑貓白貓，捉住老鼠就是好貓；以案例為中心。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)盡管兩者有密切的聯(lián)系，但本質(zhì)上是兩門不同的課2數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念3引言

概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，

隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，而一切計(jì)算與推理都是在這已知的基礎(chǔ)上得出來的。

但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言概率論的許多問題中，隨機(jī)4例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的5

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。一言蔽之：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“用局部推斷整體”的特征.

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)一6實(shí)際生活中的問題：長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水泥廠成品打包機(jī)裝袋的重量X服從正態(tài)分布。如何得到該正態(tài)分布的具體形式，即兩參數(shù)確切的值？把打包機(jī)使用周期內(nèi)所有的數(shù)據(jù)全部記錄下來，可近似看做一個(gè)連續(xù)的密度函數(shù)抽取50包水泥，重量分別記為：X1，X2，……X50因?yàn)橐阎篍[X]=μ，Var[X]=σ2考慮：希望和μσ2比較接近總體樣本統(tǒng)計(jì)量實(shí)際生活中的問題：長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水泥廠成品打包機(jī)裝7總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量8總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體。總體可以認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)變量。因?yàn)槲覀冊(cè)诔闃又盁o法預(yù)測(cè)個(gè)體或樣本的取值，或者每次抽取的值并不相同，所以每個(gè)個(gè)體也是一個(gè)隨機(jī)變量，而樣本是n維隨機(jī)向量。若干個(gè)體構(gòu)成的集合稱為樣本。若樣本中包含n個(gè)個(gè)體，則n

稱為這個(gè)樣本的容量.

一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀測(cè)值，簡稱樣本值.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把9隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽

樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。

滿足上述兩點(diǎn)要求的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法叫簡單隨機(jī)抽樣.代表性——樣本()的每個(gè)分量

與總體具有相同的分布。

從簡單隨機(jī)樣本的含義可知，樣本是來自總體、與總體具有相同分布的，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——每次抽樣的結(jié)果既不10

簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本.若總體的分布函數(shù)為F(x)、分布密度函數(shù)為f(x)。由于簡單隨機(jī)抽樣中對(duì)每個(gè)樣本的觀測(cè)相互獨(dú)立，故簡單隨機(jī)樣本視為隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為=F(x1)F(x2)…F(xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到11簡單隨機(jī)抽樣的例子

例如：要通過隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來的總量中，則這是一個(gè)簡單隨機(jī)抽樣。

但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個(gè)簡單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時(shí)，可近似看成是簡單隨機(jī)抽樣。簡單隨機(jī)抽樣的例子例如：要通過12統(tǒng)計(jì)量的定義

定義設(shè)（）為總體X的一個(gè)樣本，為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱為樣本（）的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。則例如：設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的定義定義設(shè)（13每個(gè)樣本都是一個(gè)隨機(jī)變量，而統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，也是隨機(jī)變量。注意統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量！每個(gè)樣本都是一個(gè)隨機(jī)變量，而統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，也是隨機(jī)變量14幾個(gè)最常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本方差：修正樣本方差：幾個(gè)最常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：設(shè)15樣本k階原點(diǎn)矩：樣本k階中心矩：用概率方法來探討一個(gè)統(tǒng)計(jì)量在推斷總體時(shí)，往往要知道統(tǒng)計(jì)量的分布或者近似分布。注意：統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)仍然是統(tǒng)計(jì)量。比如：當(dāng)μ已知時(shí)：當(dāng)σ2已知時(shí)：樣本k階原點(diǎn)矩：樣本k階中心矩：用概率方法來探討一個(gè)統(tǒng)計(jì)量在16統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征先來看最簡單的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值與樣本方差統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征先來看最簡單的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值與樣本方差17證明：（1）利用期望的性質(zhì)及獨(dú)立性證明：（1）利用期望的性質(zhì)及獨(dú)立性18（2）（2）19概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件20三個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大抽樣分布(都是連續(xù)型).它們都是正態(tài)分布某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，有直接的數(shù)理統(tǒng)計(jì)背景：需要怎樣的統(tǒng)計(jì)量，就需要研究相應(yīng)的分布。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。三個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量的連續(xù)型分布，即2分布t分布F分布21—分布（讀作卡方分布）

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)—分布（讀作卡方分布）定義設(shè)總體22分布的密度函數(shù)為其中Gamma函數(shù)Γ(x)通過下面積分定義分布的密度函數(shù)為其中Gamma函數(shù)Γ(x)通過下面23一般的，若X的分布密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為α>0和λ>0的Γ分布，記為X~Γ(α,λ)。不難看出一般的，若X的分布密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為α>0和λ>0的24其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形252分布的性質(zhì)設(shè)X～2(n)，則E[X]=n，Var[X]=2n.證明：只證明期望的性質(zhì)2分布的可加性若且X1,X2相互獨(dú)立，則2分布的性質(zhì)設(shè)X～2(n)，則E[X]=n，V26證明：令即由中心極限定理獨(dú)立同分布，且有若n則當(dāng)n趨于無窮時(shí)，近似的有證明：令即由中心極限定理獨(dú)立同分布，且有若27

定理

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(,2)的樣本，則(1)(2)卡方分布的應(yīng)用(3)樣本均值和樣本方差獨(dú)立定理設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體X～28只證明（1）：

為X1,X2,…,Xn的線性組合，故仍然服從正態(tài)分布，而故只證明（1）：為X1,X2,…,Xn的線性組合，故29(2)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：這表明，當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有n-1項(xiàng)是獨(dú)立的.所以(2)式的自由度是n-1.(2)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)30(1)

定理（抽樣分布基本定理）

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(0,1)的樣本，則樣本均值與樣本方差Sn2相互獨(dú)立；(2)特別的，有：(1)定理（抽樣分布基本定理）設(shè)(X1,X2,…,31t分布定義：

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y～2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布，記作t分布的概率密度函數(shù)為T

～t(n).t分布定義：32其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，關(guān)于x=0對(duì)稱.當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，關(guān)于x=0對(duì)稱.當(dāng)n較大時(shí)，33t分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)T～t(n)，則t分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)T～t(n)，則34定理設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(，2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證故由于t分布的應(yīng)用定理設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體證故由于t分布的35由t分布定義得又由于與相互獨(dú)立，且由t分布定義得又由于與相互獨(dú)立，且36定理

設(shè)(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分別是來自正態(tài)總體N(1

,2)和N(2

,2)的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體的樣本方差.定理設(shè)(X1,X2,…,Xn1)和37證明：因此由已知條件可得故證明：因此由已知條件可得故38又因?yàn)楣室虼擞忠驗(yàn)楣室虼?9F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義

設(shè)隨機(jī)變量X～2(n1)、Y～2(n2)，且相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量記作Z～F(n1,n2).顯然，若Z~F(n1,n2)，則1/Z~F(n2,n1).F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，40F分布的分布密度函數(shù)：其中F分布的分布密度函數(shù)：其中41概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件42定理

為正態(tài)總體

設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量卡方分布的應(yīng)用定理43證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有44三大抽樣分布的總結(jié)卡方分布t分布F分布正態(tài)分布的平方和正態(tài)分布和卡方分布開根號(hào)的商兩個(gè)卡方分布的商三大抽樣分布的總結(jié)卡方分布正態(tài)分布的平方和正態(tài)分布和卡方分布45

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1,X2,…,Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？解(1)因?yàn)閄i～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1－X2～N(0,2)，故～t(2).例1設(shè)總體X～N(0,1)，X1,46

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1,X2,…,Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？續(xù)解(2)因?yàn)閄1～N(0,1)，故～t(n-1).例1設(shè)總體X～N(0,1)，X1,47

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1,X2,…,Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？續(xù)解(3)因?yàn)樗浴獸(3,n-3).例1設(shè)總體X～N(0,1)，X1,48例2

若T～t(n)，問T2服從什么分布？解因?yàn)門～t(n)，可以認(rèn)為其中U～N(0,1)，V～2(n)，U2～2(1)，～F(1,n).例2若T～t(n)，問T2服從什么分布？解因?yàn)?9當(dāng)μ已知當(dāng)σ2已知當(dāng)μ，σ2已知有關(guān)三大分布在區(qū)間估計(jì)中應(yīng)用的重要注解統(tǒng)計(jì)量~N(0,1)~χ2(n-1)~t(n-1)思考：如果參數(shù)值未知，情況如何？分布仍然滿足，與參數(shù)選取無關(guān)在參數(shù)的區(qū)間估計(jì)中有著關(guān)鍵性的應(yīng)用已知：X~N(μ,σ2)當(dāng)μ已知當(dāng)σ2已知當(dāng)μ，σ2已知有關(guān)三大分布在區(qū)間估計(jì)中應(yīng)用50另外幾個(gè)比較常用的統(tǒng)計(jì)量及其分布順序統(tǒng)計(jì)量：樣本極差：樣本中位數(shù)：另外幾個(gè)比較常用的統(tǒng)計(jì)量及其分布順序統(tǒng)計(jì)量：樣本極差：樣本中51經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)絕大多數(shù)統(tǒng)計(jì)問題的背景是已經(jīng)知道分布的類型，但是不確定分布的參數(shù)。但是有些情況下分布的類型也不清楚，此時(shí)就需要引入經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)絕大多數(shù)統(tǒng)計(jì)問題的背景是已經(jīng)知道分布的類型，但是52概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件53概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件54設(shè)總體X的分布函數(shù)為FX，利用伯努利大數(shù)定律可以證明，對(duì)于任意ε>0，有故當(dāng)樣本容量n足夠大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體的分布函數(shù)差距很小。因此只要樣本容量足夠大，就可以近似推斷總體的分布。設(shè)總體X的分布函數(shù)為FX，利用伯努利大數(shù)定律可以55事實(shí)上，對(duì)于任意給定x，我們可以定義事件A=｛隨機(jī)變量取值xt≤x｝，而故有則由伯努利大數(shù)定律顯然表示觀測(cè)值小于x的樣本個(gè)數(shù),E[Y]=P(A)定義隨機(jī)變量Yi=1如果A發(fā)生，否則為0事實(shí)上，對(duì)于任意給定x，我們可以定義事件A=｛隨機(jī)變量56命題6.3.5設(shè)總體X的分布函數(shù)為FX，分布密度函數(shù)為fX，則Xn按大小順序排列，第k個(gè)隨機(jī)變量X(k)的密度函數(shù)為順序統(tǒng)計(jì)量的分布命題6.3.5設(shè)總體X的分布函數(shù)為FX，分布密度順57證明：故有證明：故有58數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)59概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)盡管兩者有密切的聯(lián)系，但本質(zhì)上是兩門不同的課程。概率論是理論基礎(chǔ)課，解決理論問題；數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用專業(yè)課，解決實(shí)際問題。概率論更注重邏輯和體系的嚴(yán)密，是一門真正的數(shù)學(xué)課。數(shù)理統(tǒng)計(jì)則對(duì)同一個(gè)具體問題也沒有一個(gè)最佳的答案，我們往往需要憑經(jīng)驗(yàn)選擇“較優(yōu)”的方法，不是純粹的數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)方法也不同。概率論注重邏輯推導(dǎo)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是以解決問題為導(dǎo)向，黑貓白貓，捉住老鼠就是好貓；以案例為中心。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)盡管兩者有密切的聯(lián)系，但本質(zhì)上是兩門不同的課60數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念61引言

概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，

隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，而一切計(jì)算與推理都是在這已知的基礎(chǔ)上得出來的。

但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言概率論的許多問題中，隨機(jī)62例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的63

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。一言蔽之：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“用局部推斷整體”的特征.

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)一64實(shí)際生活中的問題：長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水泥廠成品打包機(jī)裝袋的重量X服從正態(tài)分布。如何得到該正態(tài)分布的具體形式，即兩參數(shù)確切的值？把打包機(jī)使用周期內(nèi)所有的數(shù)據(jù)全部記錄下來，可近似看做一個(gè)連續(xù)的密度函數(shù)抽取50包水泥，重量分別記為：X1，X2，……X50因?yàn)橐阎篍[X]=μ，Var[X]=σ2考慮：希望和μσ2比較接近總體樣本統(tǒng)計(jì)量實(shí)際生活中的問題：長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水泥廠成品打包機(jī)裝65總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量66總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體?？傮w可以認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)變量。因?yàn)槲覀冊(cè)诔闃又盁o法預(yù)測(cè)個(gè)體或樣本的取值，或者每次抽取的值并不相同，所以每個(gè)個(gè)體也是一個(gè)隨機(jī)變量，而樣本是n維隨機(jī)向量。若干個(gè)體構(gòu)成的集合稱為樣本。若樣本中包含n個(gè)個(gè)體，則n

稱為這個(gè)樣本的容量.

一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀測(cè)值，簡稱樣本值.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把67隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽

樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。

滿足上述兩點(diǎn)要求的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法叫簡單隨機(jī)抽樣.代表性——樣本()的每個(gè)分量

與總體具有相同的分布。

從簡單隨機(jī)樣本的含義可知，樣本是來自總體、與總體具有相同分布的，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——每次抽樣的結(jié)果既不68

簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本.若總體的分布函數(shù)為F(x)、分布密度函數(shù)為f(x)。由于簡單隨機(jī)抽樣中對(duì)每個(gè)樣本的觀測(cè)相互獨(dú)立，故簡單隨機(jī)樣本視為隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為=F(x1)F(x2)…F(xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到69簡單隨機(jī)抽樣的例子

例如：要通過隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來的總量中，則這是一個(gè)簡單隨機(jī)抽樣。

但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個(gè)簡單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時(shí)，可近似看成是簡單隨機(jī)抽樣。簡單隨機(jī)抽樣的例子例如：要通過70統(tǒng)計(jì)量的定義

定義設(shè)（）為總體X的一個(gè)樣本，為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱為樣本（）的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。則例如：設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的定義定義設(shè)（71每個(gè)樣本都是一個(gè)隨機(jī)變量，而統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，也是隨機(jī)變量。注意統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量！每個(gè)樣本都是一個(gè)隨機(jī)變量，而統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，也是隨機(jī)變量72幾個(gè)最常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本方差：修正樣本方差：幾個(gè)最常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值：設(shè)73樣本k階原點(diǎn)矩：樣本k階中心矩：用概率方法來探討一個(gè)統(tǒng)計(jì)量在推斷總體時(shí)，往往要知道統(tǒng)計(jì)量的分布或者近似分布。注意：統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)仍然是統(tǒng)計(jì)量。比如：當(dāng)μ已知時(shí)：當(dāng)σ2已知時(shí)：樣本k階原點(diǎn)矩：樣本k階中心矩：用概率方法來探討一個(gè)統(tǒng)計(jì)量在74統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征先來看最簡單的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值與樣本方差統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征先來看最簡單的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值與樣本方差75證明：（1）利用期望的性質(zhì)及獨(dú)立性證明：（1）利用期望的性質(zhì)及獨(dú)立性76（2）（2）77概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件78三個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大抽樣分布(都是連續(xù)型).它們都是正態(tài)分布某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，有直接的數(shù)理統(tǒng)計(jì)背景：需要怎樣的統(tǒng)計(jì)量，就需要研究相應(yīng)的分布。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。三個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量的連續(xù)型分布，即2分布t分布F分布79—分布（讀作卡方分布）

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)—分布（讀作卡方分布）定義設(shè)總體80分布的密度函數(shù)為其中Gamma函數(shù)Γ(x)通過下面積分定義分布的密度函數(shù)為其中Gamma函數(shù)Γ(x)通過下面81一般的，若X的分布密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為α>0和λ>0的Γ分布，記為X~Γ(α,λ)。不難看出一般的，若X的分布密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為α>0和λ>0的82其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形832分布的性質(zhì)設(shè)X～2(n)，則E[X]=n，Var[X]=2n.證明：只證明期望的性質(zhì)2分布的可加性若且X1,X2相互獨(dú)立，則2分布的性質(zhì)設(shè)X～2(n)，則E[X]=n，V84證明：令即由中心極限定理獨(dú)立同分布，且有若n則當(dāng)n趨于無窮時(shí)，近似的有證明：令即由中心極限定理獨(dú)立同分布，且有若85

定理

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(,2)的樣本，則(1)(2)卡方分布的應(yīng)用(3)樣本均值和樣本方差獨(dú)立定理設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體X～86只證明（1）：

為X1,X2,…,Xn的線性組合，故仍然服從正態(tài)分布，而故只證明（1）：為X1,X2,…,Xn的線性組合，故87(2)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：這表明，當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有n-1項(xiàng)是獨(dú)立的.所以(2)式的自由度是n-1.(2)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)88(1)

定理（抽樣分布基本定理）

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(0,1)的樣本，則樣本均值與樣本方差Sn2相互獨(dú)立；(2)特別的，有：(1)定理（抽樣分布基本定理）設(shè)(X1,X2,…,89t分布定義：

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y～2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布，記作t分布的概率密度函數(shù)為T

～t(n).t分布定義：90其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，關(guān)于x=0對(duì)稱.當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，關(guān)于x=0對(duì)稱.當(dāng)n較大時(shí)，91t分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)T～t(n)，則t分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)T～t(n)，則92定理設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(，2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證故由于t分布的應(yīng)用定理設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體證故由于t分布的93由t分布定義得又由于與相互獨(dú)立，且由t分布定義得又由于與相互獨(dú)立，且94定理

設(shè)(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分別是來自正態(tài)總體N(1

,2)和N(2

,2)的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體的樣本方差.定理設(shè)(X1,X2,…,Xn1)和95證明：因此由已知條件可得故證明：因此由已知條件可得故96又因?yàn)楣室虼擞忠驗(yàn)楣室虼?7F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義

設(shè)隨機(jī)變量X～2(n1)、Y～2(n2)，且相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量記作Z～F(n1,n2).顯然，若Z~F(n1,n2)，則1/Z~F(n2,n1).F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，98F分布的分布密度函數(shù)：其中F分布的分布密度函數(shù)：其中99概率論-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件100定理

為正態(tài)總體

設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量卡方分布的應(yīng)用定理101證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有102三大抽樣分布的總結(jié)卡方分布t分布F分布正態(tài)分布的平方和正態(tài)分布和卡方分布開根號(hào)的商兩個(gè)卡方分布的商三大抽樣分布的總結(jié)卡方分布正態(tài)分布的平方和正態(tài)分布和卡方分布103

例1

設(shè)總體X～N(0,1)